07 Линейные отображения. Матрицы линейных отображений.

a) Не линейно, поскольку а мы на вебинаре доказали, что любое линейное отображение переводит нулевой вектор в нулевой.
b) Не линейно, доказывается аналогично пункту a) ;
c) Не линейно, поскольку ;
d) Линейно. Поскольку
ибо а Умножение на проверяется аналогично.
e) Линейно. Это частный случай того что мы проверили в предыдущем пункте d), поскольку вся суть состоит в том, что линейно, когда оно на выходе выдаёт линейные комбинации входных чисел. В пункте e) все зависимости от - линейные:
f) Не линейно, поскольку неверно, что выполнено Например если то в то время как
g) Линейно. Поскольку предел суммы последовательностей равен сумме пределов, а предел последовательности умноженной на константу равен константе умноженной на предел.
h) Не линейно. Поскольку можно рассмотреть, допустим но поэтому и это не равно

Здесь работает общее наблюдение, которое мы сделали на вебинаре: чтобы выписать матрицу линейного отображения нужно по столбцам выписать то, куда переходят базисные векторы стандартного базиса в то есть по столбцам должны стоять

1. d)
e)



2. Ясно, что а поэтому
3. Ясно, что а поэтому
4. Ясно, что , а поэтому

Действительно, пусть существует такой нетривиальный набор что

Применим тогда к обеим частям наше И воспользуемся тем, что линейное отображение всегда 0 переводит в 0. Тогда будем иметь, что

и, пользуясь линейностью

Следовательно, набор является нетривиальным набором таким, что Следовательно, - линейно зависимая система векторов в

Контрольный вопрос: А пользовались ли мы здесь где-то тем, что - биекция? Или хватило бы свойства линейности ?

От противного. Пусть найдётся такой нетривиальный набор что

Но тогда, коль скоро - изоморфизм, то это означает, что у него есть обратное отображение (как и у любой биекции). Применим это к обеим частям равенства

и получим следующее равенство

Далее, нетрудно понять, что если было линейным, то обратное к нему отображение тоже будет линейным. А значит равенство

можно преобразовать в

(Опять воспользовались тем, что линейное отображение 0 переводит в 0, ну и двумя аксиомами линейности для тоже воспользовались).
Но ясно, что для любого - так и должно работать обратное отображение. А, значит, наше последнее равенство превращается в

И если мы предположили, что набор - нетривиальный, то мы получаем противоречие с тем, что - линейно независимая система векторов в Следовательно, мы доказали, что набор может быть только тривиальным. Следовательно, - линейно независимая система в

Нет, не обязательно. Пусть - отражение относительно оси а - поворот на 90 градусов против часовой стрелки относительно начала координат.

Тогда если - первый базисный орт, то - это мы его сначала поворачиваем, а потом отражаем, значит,

А в обратном порядке (поскольку не меняется при отражении относительно оси ), а

Следовательно, даже для базисного неверно, что

Контрольный вопрос: А какое условие надо наложить на размерность, то есть на чтобы для любых линейных отображений выполнялось, что верно ?

Относительно стандартного базиса так сказать все стандартно. Мы должны просто проследить, куда при отображении переходить стандартный базис и записать в столбцы матрицы, чтобы получить матрицу относительно стандартного базиса. Следаем это:
1. ;
2. ;
3. ;
Таким образом, матрица относительно стандартного базиса имеет вид:

Далее, мы по сути перевыбрали базис в поэтому чтобы посчитать матрицу того же самого отображения нам нужно просто найти матрицу перехода в новый базис. Обозначим эту матрицу за тогда по столбцам матрицы будут записаны координаты нового базиса, выраженного через старый. То есть, Тогда, согласно теореме о законе изменения матрицы линейного отображения при смене базисов, матрица уже относительно базиса будет вычисляться по формуле

Тогда, вычисляя получим

Следовательно,

Запишем в таком случае матрицу перехода Напомним, что по столбцам матрицы перехода будут стоять выражения векторов нового базиса через старый.
Все столбцы, кроме го и го в матрице будут такими же, как в единичной матрице а ый столбец поменяется с ым местами.

Нетрудно понять, что матрица в данном случае равна матрице А, значит, матрица в новом базисе будет иметь вид Домножение на такую матрицу cправа меняет местами ый и ый столбец местами. А домножение на слева меняет местами ую и ую строчку местами.

Таким образом, получаем, что в матрице поменяются местами ый и ый столбец, а также ая и ая строчка.

Запишем в таком случае матрицу перехода Напомним, что по столбцам матрицы перехода будут стоять выражения векторов нового базиса через старый.
Все столбцы, кроме го у будут такими же, как в единичной матрице а ый столбец умножится на

Тогда ясно, что

то есть обратная матрица к матрице - это матрица, у которой все столбцы кроме го будут такими же, как в единичной матрице а ый столбец умножится на

Но тогда матрица в новом базисе будет иметь вид домножение на cправа умножит ый столбец на а домножение на слева умножит ую срочку на

Таким образом, получаем, что в матрице ый столбец умножится на ая строчка умножится на

1. Сначала найдем матрицу относительно уже данных изначально базисов в и
Нужно лишь выписать результат действия на базисные векторы в и записать их по столбцам этой матрицы.
Получается такая вот матрица

Далее, нужно найти матрицу перехода в пространстве и в пространстве Пусть - матрица перехода от старого базиса к новому в - матрица перехода от старого базиса к новому в

Тогда если - матрица относительно новых базисов, то
Итак, чтобы выписать надо записать новый базис, выраженный через старый, по столбцам. Таким образом,

Аналогично, тогда Значит,

1. Чтобы найти базис нужно нашу матрицу привести к ступенчатому виду. Сделав это, получаем такую матрицу: Значит, мы видим, что

Поэтому, поскольку линейное подпространство, порожденное столбцами матрицы, не меняется при всех преобразованиях метода Гаусса, то то, что было порождено исходными столбцами, будет порождено и столбцами в ступенчатом виде. Следовательно, поскольку ранг 2, нужно для базиса выбрать 2 линейно независимых столбца матрицы Пусть это будут - базис

2. Чтобы найти базис нужно записать общее решение ОСЛУ В данном случае получается, что

Таким образом, по нужно приравнять к единице (других независимых переменных у нас нет), и мы получим единственный вектор, который лежит в базисе а именно это будет

a) Перед нами матрица поворота на угол по часовой стрелке. Ясно, что при умножении двух матриц поворота на два разных угла получится матрица поворота на суммарный угол. Можно это показать и явно:

Значит, ответом на задачу будет матрица поворота по часовой стрелке на угол

b) Посмотрим, что происходит с матрицей при умножении на саму себя:

Нетрудно заметить, что элементы на главной диагонали каждый раз будут умножаться на , потому что на пересечении второй строки и первого столбца стоит 0, а элемент над главной диагональю сначала будет умножаться на , затем к нему будет прибавляться правый нижний элемент из предыдущей степени матрицы. Значит,

1) Нам известны кординаты векторов нового базиса в старом. Запишем матрицу перехода из одного базиса в другой:

Обозначим матрицу в новом базисе, как . Тогда . Найдем :

2) Найдем матрицу перехода:

Запишем матрицы перехода из стандартного базиса в каждый из данных:

Нам нужна матрица перехода .

Обозначим матрицу оператора в новом базисе за .

По определению матрицы перехода, в ней по столбцам должны быть записаны координаты новых базисных векторов в старом базисе. Сначала явно выразим новый базис через старый:

Теперь запишем это в виде матрицы, учитывая порядок базисных векторов:

Да, например, можно взять , заданное формулой .

Тогда для любого и для любого будет выполнено

Однако - не линейно, поскольку , , но

То есть нарушается первая аксиома линейности отображения.

Где мы воспользовались первой аксиомой линейности для .

Далее, вычтем из обеих частей вектор .

Получим

Что и требовалось доказать.

1. Проверим первую аксиому линейности: для любых :

Где мы воспользовались сначала линейностью , а затем линейностью .

Следовательно, удовлетворяет первой аксиоме линейности.

2. Проверим вторую аксиому линейности: для любых :

Где мы воспользовались сначала линейностью , а затем линейностью .

Обе аксиомы проверены.

1)

Пользуясь правилом сложения функций (в частности, многочленов) и умножения их на число, имеем:

следовательно отображение линейно.

2)

Пользуясь правилом дифференцирования суммы функций (в частности, многочленов) и вынесения константы, имеем:

следовательно отображение линейно.

3)

Рассмотрим , тогда и

следовательно отображение не является линейным.

4)

Рассмотрим отдельно отображение . Пусть

для определенности .

Тогда

т.е. .

Аналогично проверяется второе свойство , что доказывает линейность отображения . Поскольку дифференцирование – линейная операция (см. п. 2)), исходное отображение линейно как композиция линейных.

5)

Пусть

для определенности .

Тогда

т.е. . Аналогично доказывается, что , следовательно отображение линейно.

Согласно определению операции сложения матриц и функции , имеем:

Аналогично для умножения матрицы на число:

Таким образом, функция следа является линейной.

Пусть - линейная функция на , принадлежит , , где - базис .

Тогда по определению линейной функции:
.
Обозначим - какая-то фиксированная константа.

Получаем, что для любого выполнено:
.
Что и требовалось доказать.

Замечание. Это утверждение на самом деле представляет собой лишь частный случай теоремы о том, что любое отображение между конечномерными пространствами при выборе базисов задаётся некоторой матрицей.