23 Производные функции в точке

На вебинаре было доказано, что если дифференцируема в точке то это, в частности, означает, что у неё существует дифференциал в этой точке, то есть такая функция
что

Далее, поскольку по определению о-малого, где при то последнее наше равенство можно переписать как раз в таком виде:

Далее, устремляя к видим, что правая часть равенства очевидно стремится к Следовательно, к нулю стремится и левая часть, то есть Но это в точности и означает по определению непрерывность в точке

Стандартным примером в таком случае является функция модуля в точке

Действительно, нетрудно понять, что в точке у неё есть предел, равный : (слева от нуля эта функция равна просто а у очевидно предел равен в точке ; справа же модуль вообще равен и тоже стремится к при )
А это и означает, что - непрерывна в точке

А что можно сказать про дифференцируемость в точке ?
По определению, чтобы она была в точке дифференцируема, нужно, чтобы существовал предел Существует ли последний предел? То есть предел отношения модуля приращения аргумента к просто приращению аргумента.
На самом деле, он не существует. Объясним, почему.
Потому что если мы будем подходить к справа, то будет больше то есть и наш предел превращается в
С другой стороны, если мы будем подходить к точке слева, то есть брать маленькие отрицательные иксы, то будет меньше то есть и наш предел превращается в

Но напомним, что, чтобы существовал нужно, чтобы при любом стремлении к значение предела получалось одним и тем же. А у нас при правом стремлении этот предел получается равен а при левом стремлении Значит, ни о каком пределе не может идти и речи. А тем самым не существует и исходный предел Таким образом, функция - не дифференцируема в точке

Давайте для начала сформулируем и докажем очень полезную
Лемму. Пусть И пусть, кроме того, Тогда
Докажем лемму: посчитаем по определению производную Она должна быть равна пределу: Немного преобразуем числитель, приведя дроби в числителе к общему знаменателю:

Мы получили произведение двух выражений. Разберёмся с пределом каждого из них:
1. - по определению того что такое
2. - т.к. в знаменателе первый сомножитель стремится к в силу непрерывности функции в точке , а второй сомножитель так и остаётся поскольку он не зависит от

Вот мы и доказали лемму. Перейдём к доказательству основного утверждения:
Рассмотрим дробь как произведение Но мы знаем, что если и были дифференцируемы в точке то и оба сомножителя в произведении будут дифференцируемы в точке (второй сомножитель дифференцируем как раз по вышедоказанной лемме).

Осталось лишь применить формулу Лейбница для производной произведения:

Что и требовалось доказать.

a) Линейная функция дифференцируема в каждой точке в силу того, что представляет из себя сумму дифференцируемых в каждой точке функции (она дифференцируема всюду, потому что является произведением константы на а они - всюду дифференцируемы - проверьте для функции !) и постоянной функции тоже всюду дифференцируемой.

Значит, в любой точке будет верно, что Таким образом, получается, что производная нашей линейной функции в любой точке всегда равна то есть не зависит от Но действительно, как мы помним, производная линейной функции - постоянна; да и геометрически это ясно - касательная к прямой линии всегда одна и та же в каждой точке.
b) Здесь расписывается всё аналогично предыдущему пункту a). По сути здесь просто мы предлагаем вывести общую формулу, которой удобно постоянно пользоваться:
c) Мы уже знаем, что производная квадратичной функции в любой точке равна А далее пользуемся утверждениями о производной суммы функций и о том, что константу можно выносить за знак производной, и получаем, что будет выполнено:

d) Здесь, разумеется, то же самое рассуждение что и в пункте c). Общая формула такая:
e) Пользуясь правилом дифференцирования для дроби, получаем, что

Заметим, кроме прочего, что наша исходная функция дифференцируема во всех точках где её знаменатель не обращается в Однако знаменатель что невозможно.
Значит, - дифференцируема

a) Представим нашу функцию сначала в виде произведения двух функций (чтобы применить правило Лейбница): где Давайте найдём общую формулу для (поскольку у нас дифференцируема при всех ), а затем подставим в эту общую формулу

Итак, И всё бы хорошо, но вот только для второго сомножителя во втором слагаемом, а именно, для нам вновь придётся применить формулу Лейбница, представив в виде произведения где

Таким образом, получаем, что
Значит,
Осталось "всего лишь" подставить вместо в это выражение Оставляем в качестве упражнения то, что в итоге должно получиться
b) Пользуемся правилом для производной отношения (со знаменателем в точке всё в порядке, там синус не равен )

Имеем: (типа мы посчитали это)
c) Тут два раза надо будет посчитать по формуле производной композиции функций:
d) Применим формулу для производной дроби:
e)

Понятно, что если или если то мы будем иметь в одном случае, что а в другом, соответственно - Обе эти функции дифференцируемы в любой точке что строго меньше, что строго больше Следовательно, мы очевидно можем заключить, что наша функция уже и так дифференцируема в любой точке кроме точки про которую мы сейчас и попробуем выяснить, что нам нужно, чтобы в ней тоже оказалась дифференцируема.

Что же происходит в этой точке ?

Ясно, что мы просто по сути приклеиваем к экспоненте слева параболу с ветвями вверх справа. Причём у параболы мы можем за счёт выбора и менять размах ветвей и высоту подъема над
Итак, от нас требуется чтобы была дифференцируемой в точке Но слева производная у равна производной в нуле у то есть равна А справа у производная равна Следовательно, чтобы была дифференцируема в нуле, необходимо и достаточно, чтобы

Но неужели на этом всё? То есть можно взять любым? - Конечно, нет. Ведь дифференцируемая в точке функция обязана быть непрерывной в этой точке. А коэффициентом мы и можем как раз поднять или опустить параболу так, чтобы она непрерывно "приклеилась" к левому куску экспоненты.
Итак, чтобы была ещё и непрерывна в нуле, нужно, чтобы её значение слева от было равно значению справа. Слева она равна а справа как раз Значит, для непрерывности необходимо и достаточно, чтобы Итого, мы получили, что
Давайте посмотрим на то, как будет выглядеть график чтобы проверить себя, что мы действительно получили дифференцируемую склейку. Итак,

Проверим просто по определению, существует ли
Итак, когда мы будем вычислять нас будут интересовать только проколотые окрестности нуля, а значит в них будет работать формула
Имеем: Последний предел равен в силу того, что мы имели в нём произведение бесконечно малой на ограниченный Тем самым, мы доказали, что наша функция - дифференцируема в точке Более того, мы даже между делом доказали, что

Просто по определению проверим, что дифференцируема в точке Для этого нужно проверить существование предела

Имеем: (в силу непрерывности в точке )

Вот мы убили двух зайцев одним выстрелом. С одной стороны, мы показали, что - дифференцируема в точке Но, более того, результатом наших вычислений является и то, что

Наша функция распадается в следующую композицию:

И тогда ясно, что

Причем все наши функции дифференцируемы всюду на своих областях определения. А определены они тогда, когда и когда Именно в этих точках мы и будем пользоваться теоремой о производной композиции, а заодно и теоремой о производной суммы функций:

Наша функция распадается в следующую композицию:

И тогда ясно, что

Причем все наши функции дифференцируемы всюду на своих областях определения. А определены они тогда, когда и Именно в этих точках мы и будем пользоваться теоремой о производной композиции:

a) Да, так бывает. Пусть - не дифференцируемая в нуле функция. Пусть - константная функция, во всех точках равная нулю. Тогда, как и любая константная функция - дифференцируема во всех точках.
И, нетрудно видеть, - дифференцируема в точке хотя не была дифференцируема в

b) Подойдёт тот же пример, что и в пункте a), только и надо поменять местами.

c) Рассмотрим такие функции:

Ясно, что ни ни не дифференцируемы в точке - у них в этой точке есть только односторонние производные - правая и левая - и эти правая и левая производная у них в точке 0 не совпадают. А значит ни о какой дифференцируемости в нуле для функций и речи идти не может.

Однако - всюду дифференцируемая функция, в частности, эта композиция дифференцируема в точке

Пусть где Тогда - обратная к на интервале
Тогда, по теореме о производной обратной функции (где ):

Где последний корень взят со знаком плюс, коль скоро при Ну и осталось лишь вернуться к аргументу :

Представим нашу функцию как произведение двух функций: где

Тогда, по теореме о производной композиции, будем иметь:

Далее, по теореме о производной композиции, поскольку можно представить как где мы получим, что по теореме о производной композиции:

Аналогично, поскольку можно представить как композицию где мы получим, что по теореме о производной композиции: И, таким образом, окончательно будем иметь:

Логарифм от нашей функции будет равен:

Далее, находим производную по правилу дифференцирования композиции и дифференцирования произведения:

С другой же стороны, Следовательно,

Преобразуем нашу функцию:

Достаточно доказать, что для функции верно при .

Вычислим производную функции :

Поскольку при

функция убывает на , при этом

Следовательно, на , что и требовалось.

Ответ

На промежутке производная . На промежутке производная . На промежутке производная . Получаем: