19.02 Задачи №19 из сборника И.В. Ященко

Разложим число на простые множители, получим

Пусть число — делитель числа Заметим, что у не может быть простых делителей, которых нет в так как если они есть, то на не поделится. Хорошо, пусть при этом, возможно, для некоторых Тогда, так как — делитель числа то для любого верно, что Попробуем посчитать количество делителей числа Для этого посчитаем, сколько есть наборов которые подходят под наше условие. Выбрать есть вариант: 0, 1, …, Тогда делителей у числа ровно Теперь начнем решать пункты задачи.

а) Если число имеет делителей, то чтобы построить пример, достаточно взять два различных простых числа и возвести их в степени и

Трехзначное число подходит, так как у него делителей.

б) Если число имеет делителей, то чтобы построить пример, достаточно взять три различных простых числа и возвести их в степени и

Трехзначное число подходит, так как у него делителей.

в) Докажем, что у числа менее 5 различных простых делителей. Пусть это не так. Тогда

так как это 5 наименьших различных простых делителей. Значит, у 5 и более простых делителей быть не может.

• Пусть у числа ровно 4 различных простых делителя. Если хотя бы 2 из них входят в число в степени то

  

  а число трехзначное. Тогда в входит не более одного простого в степени Тогда 3 простых входят в ровно в 1 степени. Поймем, что если одно простое входит в степени ровно 2, а остальные в степени 1, то всего делителей

  

  Значит, наше простое входит в степени

  Если оно входит в степени то

  

  чего не может быть. Значит, одно простое входит в степени 3, а остальные — в степени 1.

  Если степень 3 у простого числа, большего 2, то

  

  значит такого не могло быть.

  Если же степень 3 у двойки, то

  

  оно трехзначное, количество его делителей равно

  

• Пусть у числа ровно 3 различных простых делителя. Обозначим степени их вхождения за Заметим, что

  1)

  иначе общее количество делителей не более

  

  2)

  иначе

  

  Тогда имеем:

  

  3)

  иначе

  

  Откуда получаем, что или

  Объединяя эти наблюдения, получаем следующее:

  • Если то по наблюдению 2

    

    Тогда

    

  • Если то по наблюдению 2

    

    Тогда

    

  Итого, получили, что единственный возможный вариант — Заметим, что и Если же не делится на 2, то

  

  Поэтому подходит только

  

• Пусть у числа ровно 2 различных простых делителя. Обозначим степени их вхождения за Заметим, что иначе

  

  Переберем значения

  • Если то

    

    Тогда

    

  • Если то

    

    Тогда

    

  • Если то

    

    Тогда

    

  Как мы видим, ни один из вариантов не возможен.

• Если у ровно 1 простой делитель, то степень его вхождения хотя бы 29, но тогда очевидно, что не трехзначное.

Таким образом, мы получили, что возможны только 2 варианта: 720, 840.

а) Да, может, например:

Предисловие для б) и в)

Очевидно, что если среднее геометрическое набора из нескольких различных чисел равно то наименьшее число из набора меньше, чем При этом, среди его простых делителей не должно встречаться чисел, отличных от простых делителей Чтобы воспользоваться этим фактом в пунктах б) и в), выпишем, какие простые делители есть у двузначных чисел от 10 до 24:

Как видно из таблицы, средним геометрическим в данном интервале могут быть числа: 18, 20, 22, 24.

б) Будем считать, что — различные двузначные числа и

• Пусть Тогда

  

  Тогда или

  • Пусть Тогда и обязаны быть степенями тройки, иначе либо степень вхождения двойки в произведение будет более 4, либо в нем появится множитель, отличный от 2 и 3. Но среди двузначных чисел есть всего два числа, которые равны степени тройки: 27 и 81. Тогда

  • Пусть Тогда

    

    Заметим, что так как тогда степень вхождения 2 в будет более 4. Значит, не меньше 18.

    Рассмотрим, чему может быть равно Оно больше 18. Если оно равно 19, 20, 21, 22, 23, 25 или 26, то в произведении будут содержаться множители, отличные от 2 и 3. Также не может быть равно так как тогда степень вхождения 2 в будет более 4. Следовательно, не меньше 27. Тогда

    

    Но — противоречие. Тогда

  Таким образом, среднее геометрическое четырех различных двузначных чисел не может равняться 18.

• На 20 есть пример: Проверим его:

  

  Значит,

  

в) Будем считать, что — различные двузначные числа и

• Пусть Тогда

  

  Первые шесть двузначных чисел, в разложении на простые которых входят только 2 и 3 — это 12, 16, 18, 24, 27 и 32. Сравним их произведение и

  

  Таким образом,

• Пусть Тогда

  

  Первые шесть двузначных чисел, в разложении на простые которых входят только 2 и 5 — это 10, 16, 20, 25, 32 и 40. Сравним их произведение и

  

  Таким образом,

• Пусть Тогда

  

  Первые шесть двузначных чисел, в разложении на простые которых входят только 2 и 11 — это 11, 16, 22, 32, 44 и 64. Сравним их произведение и

  

  Таким образом, среднее геометрическое шести различных двузначных чисел не может равняться 22.

• На 24 есть пример: Проверим его:

  

  Значит,

  

Пусть в первом наборе чисел, во втором чисел. Тогда

Тогда делится на 6, пусть Тогда

а) Пусть Тогда теперь все числа в первом наборе равны 156. Значит,

б) Пусть может, тогда после этой операции среднее арифметическое равно

Значит, Тогда

Следовательно, но число слева делится на 13, а справа — нет, значит, такого натурального не существует.

в) Пусть мы вычитаем из первого набора. Тогда новое среднее арифметическое равно

Таким образом, должно делиться на 19, то есть должно делиться на 19. Мы знаем, что Значит, подойдут равные 19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, 152, 171. Таким значениям соответствуют следующие значения среднего арифметического: 138, 131, 124, 117, 110, 103, 96, 89, 82.

Пусть вычитаем из второго набора. Тогда новое среднее арифметическое равно

Таким образом, должно делиться на 19, то есть должно делиться на 19. Мы знаем, что Значит, подойдут равные 19, 38, 57, 76. Таким значениям соответствуют следующие значения среднего арифметического: 152, 159, 166, 173.

Итого получаем 13 возможных значений среднего арифметического: 82, 89, 96, 103, 110, 117, 124, 131, 138, 152, 159, 166, 173.

а) Число 1285 подойдет:

б) Разберем несколько случаев:

• Если в числе есть цифра 0, то неравенство очевидно неверно.

• Если в числе есть цифра 1, то есть два варианта:

  1)

  В числе нет цифры 2. Тогда произведение цифр равно хотя бы что больше наибольшей суммы цифр, равной

  2)

  В числе есть цифры 1 и 2. Тогда произведение не меньше чем а сумма цифр не больше чем И в этом случае произведение больше суммы.

• Если наименьшая цифра равна хотя бы 2, то, так как все цифры различны, их произведение равно хотя бы а сумма не больше Значит, неравенство выполнено.

Значит, нам нужно найти количество четырехзначных чисел, в которых все цифры различны и нет цифры 0. Их так как первую цифру можно выбрать 9 способами; вторая цифра должна не совпадать с первой — значит, выбрать ее есть 8 способов, и так далее.

в) Очевидно, что если при каких-то и число — наибольшее, то ни одна из цифр не равна 0.

Будем перебирать значения Так как — двузначное число, то Начнем перебор.

• Если то делится на 11. Такое невозможно, так как — цифры.

• Если то делится на 49, то есть две цифры из четырех равны 7. Тогда третья должна быть четной. Пусть не умаляя общности где Тогда имеем:

  

  Значит, и должны быть степенями двойки. Но следовательно, поэтому равняется 1 или 2. Также, следовательно, поэтому равняется 1, 2 или 4. Таким образом,

  

  Противоречие.

• Если то делится на 97, которое является простым числом. Такое невозможно, так как — цифры.

На 96 есть пример — число из цифр 5, 8, 8 и 9. Произведение его цифр равно а сумма цифр равна

Тогда

Значит, наибольшее число при котором равно 9885.

а) Пусть первый член последовательности равен второй в 7 раз больше первого, то есть равен третий в 7 раз больше второго, то есть равен По условию сумма всех членов последовательности равна 9177, то есть

Рассмотрим последовательность, состоящую из чисел

Тогда эта последовательность удовлетворяет условию.

б) Пусть первый член последовательности равен второй — третий — четвёртый — пятый — По условию имеем:

Рассмотрим последовательность, состоящую из чисел

Тогда эта последовательность удовлетворяет условию.

в) Разобьём все числа на пары соседних: в первой паре — первое и второе число, во второй паре — третье и четвёртое число и так далее. Пусть меньшее число в паре равно Тогда большее в 7 раз больше, то есть равно Сумма чисел в паре равна Так как числа натуральные, то Значит, сумма чисел в каждой паре не меньше чем

Так как сумма всех чисел равна 9177, то пар не больше чем

Тогда всего чисел в последовательности не больше чем

Приведём пример на 2295 чисел. Пусть каждый нечётный член последовательности равен 1, каждый чётный член последовательности равен 7:

Тогда сумма всех чисел равна

Пусть масса детали нового типа равна кг. Тогда масса детали старого типа равна кг. Пусть из 64 кг можно сделать деталей старого типа. По условию из 63 кг можно сделать на две детали нового типа больше, то есть Тогда из условия где получаем:

Так и то

Значит,

Так как и — массы деталей, то а значит,

Тогда необходимо решить систему

Но соответственно,

а) Пусть такое возможно и масса новой детали кг. На изготовление 15 деталей 63 кг хватит, на изготовление 16 деталей — нет. Значит,

Таким образом, Значит, такого не может быть.

б) Пусть такое возможно и масса новой детали кг. Аналогично пункту а:

Таким образом, Значит, такого не может быть.

в) Пусть — число новых деталей массой кг, которое фабрика может выпустить из 80 кг материала. Тогда

Так как фабрика не может выпустить деталь из 80 кг материала, то не существует такого что

По доказанному ранее Значит,

Таким образом, так как — натуральное число. Заметим, что должно найтись такое что

— количество деталей старого типа, которое можно сделать из 64 кг материала. Из 63 кг материала можно сделать деталь нового типа. По доказанному ранее должно выполняться:

Значит, между числами и должно быть два натуральных числа: и

Оценим

Оценим

Получаем

Тогда между числами и нет двух натуральных чисел. Поэтому получить нельзя.

Приведём пример на Заметим, что не существует такого что по доказанному ранее. Осталось показать, что существует такое, что, во-первых во-вторых, найдется такое что из 64 кг можно будет сделать деталей старого типа и из 63 кг можно будет сделать детали нового типа:

Возьмём Тогда

При этом Значит, наименьшее возможное равно 27.

Пусть дано трёхзначное число Сумма цифр такого трёхзначного числа равна По условию

а)

Пусть Тогда

б)

Так как — чётное число, — чётное число, то — тоже чётное. Значит, делится на 2. Если то Значит,

Но — число от 0 до 9. Значит, Тогда делится на 19, значит тоже делится на 19. Числа 14 и 19 взаимно просты, поэтому делится на 19. Но так как то Противоречие.

в) Оценим сверху.

Так как то Тогда

Так как то Тогда

Так как то Тогда

— натуральное, поэтому

1.

Если то

Так как — чётные числа, то — тоже чётное число. Значит, делится на 2. По условию все цифры ненулевые, поэтому Так как то Тогда Противоречие.

2.

Если то

Если то так как то Тогда Противоречие. Значит, При этом если то Тогда Противоречие. Тогда Найдём

Но должно быть целым числом. Противоречие.

3.

Если то

Так как и делятся на 10, то делится на 10. Тогда делится 10. Все цифры ненулевые, поэтому Противоречие.

4.

Если то

Пусть Тогда

а) Переберём все варианты.

1.

Пусть первое число второе в 7 раз больше, чем первое, то есть третье число в 7 раз больше второго, то есть равно Тогда

Число не целое, поэтому такой вариант не подходит.

2.

Пусть первое число второе в 7 раз больше первого, то есть а третье в 7 раз меньше второго, то есть Тогда

Число не целое, поэтому этот вариант тоже не подходит.

3.

Пусть первое число второе число в 7 раз меньше, то есть равно а третье в 7 раз больше, чем второе, то есть равно Тогда

Так как число не целое, то данный вариант тоже не подходит.

4.

Пусть первое число второе в 7 раз меньше, чем первое, то есть третье число в 7 раз меньше второго, то есть равно Тогда

Число не целое, поэтому этот вариант тоже не подходит.

Таким образом, сумма трёх чисел не может быть равна 7735.

б) Разобьём все числа на пары соседних: в первой паре первое и второе число, во второй паре третьей и четвёртое число и так далее. Пусть меньшее число в паре равно Тогда большее в 7 раз больше, то есть равно Сумма чисел в паре равна Тогда в каждой паре сумма чисел делится на 8. Так как пар — целое число, то сумма всех чисел последовательности делится на 8. Но не делится на 8. Значит, последовательность не может состоять из 6 чисел.

в) Разобьём все числа на пары соседних так же, как в пункте б. Пусть меньшее число в паре равно Тогда большее в 7 раз больше, то есть равно Сумма чисел в паре равна Так как числа натуральные, то Значит, сумма чисел в каждой паре не меньше, чем Так как сумма всех чисел равна 7735, то пар не больше, чем Тогда всего чисел в последовательности не больше, чем

Приведём пример на 1933 числа. Пусть каждый нечётный член последовательности равен 7, каждый чётный член последовательности равен 1, то есть последовательности выглядит как 7, 1, 7, 1, …, 7. Тогда сумма всех чисел равна

а) Пусть первое число равно 3441. Тогда второе число — Значит, третье число — При этом

б) Целое число при делении на 3 дает такой же остаток, как и сумма его цифр.

Тогда если первое число при делении на 3 давало остаток то второе число, равное сумме цифр первого, дает такой же остаток при делении на 3, то есть тоже Значит, сумма цифр второго числа, тогда и третье число, тоже дает остаток при делении на 3. Тогда сумма трёх чисел при делении на 3 дает остаток то есть делится на 3. Так как число 2345 не делится на 3, то сумма трех чисел не может быть равна 2345.

в) Так как первое число — трёхзначное, то сумма его цифр не больше, чем Тогда второе число не больше, чем 27. Третье число равно сумме цифр второго числа, и равно 5. Среди чисел от 1 до 27 с суммой цифр 5 — только Значит, второе число равно либо 5, либо 14, либо 23. По условию все числа различные, поэтому второе число равно либо 14, либо 23. Разберём каждый случай.

Если второе число равно 14, значит, сумма цифр первого трёхзначного числа равна 14. Найдём количество таких чисел.

1.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 14, начинающихся на 1, 6 штук: 149, 158, 167, 176, 185, 194.

2.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 14, начинающихся на 2, 7 штук: 239, 248, 257, 266, 275, 284, 293.

3.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 14, начинающихся на 3, 8 штук: 329, 338, 347, 356, 365, 374, 383, 392.

4.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 14, начинающихся на 4, 9 штук: 419, 428, 437, 446, 455, 464, 473, 482, 491.

5.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 14, начинающихся на 5, 10 штук: 509, 518, 527, 536, 545, 554, 563, 572, 581, 590.

6.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 14, начинающихся на 6, 9 штук: 608, 617, 626, 635, 644, 653, 662, 671, 680.

7.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 14, начинающихся на 7, 8 штук: 707, 716, 725, 734, 743, 752, 761, 770.

8.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 14, начинающихся на 8, 7 штук: 806, 815, 824, 833, 842, 851, 860.

9.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 14, начинающихся на 9, 6 штук: 905, 914, 923, 932, 941, 950.

Таким образом, трёхзначных чисел с суммой цифр 14:

Если второе число равно 23, значит, сумма цифр первого трёхзначного числа равна 23. Найдём количество таких чисел. Каждая из цифр не больше 9, значит, сумма двух последних двух цифр не больше, чем Значит, первая цифра не меньше, чем

1.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 23, начинающихся на 5, одно: 599.

2.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 23, начинающихся на 6, два: 689, 698.

3.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 23, начинающихся на 7, три: 779, 788, 797.

4.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 23, начинающихся на 8, четыре: 869, 878, 887, 896.

5.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 23, начинающихся на 9, пять: 959, 968, 977, 986, 995.

Таким образом, трёхзначных чисел с суммой цифр 23:

Значит, всего чисел, удовлетворяющих условию:

а) Пусть

Тогда

б) Так как дробь несократимая, то делится на 240.

Пусть среди чисел нет 16. Тогда, чтобы получить число, делящееся на 16, нужно перемножить 2, 4 и 6. Но не делится на 5. Значит, один из знаменателей равен 16.

Так как делится на 5, то одно из чисел — это 5.

делится на 3, поэтому оставшееся число — это либо 3, либо 6. Значит, знаменатели дробей — это либо 3, 5, 16, либо 6, 5, 16.

Оценим сумму дробей в первом случае. Среди оставшихся чисел самое большое равно 6. Значит, числитель каждой дроби не больше 6. Тогда

Значит, этот случай не возможен.

Рассмотрим второй случай. Среди оставшихся чисел самое большое число равно 4. Значит, числитель каждой дроби не больше 4. Тогда

Значит, сумма дробей не может быть равна

в) Пусть среди знаменателей дробей, которые дают минимальную сумму, нет числа 16. Тогда 16 — числитель какой-то дроби. Пусть это дробь Так как то Значит,

Тогда предположение, что среди знаменателей дробей, дающих минимальную сумму, нет числа 16, неверно.

Аналогично если среди оставшихся знаменателей нет 6, то 6 — числитель какой-то дроби. Пусть это дробь Так как то Тогда замена дроби на сумму уменьшит.

Самое большое из оставшихся чисел — это 5. Аналогично замена на уменьшает сумму.

Значит, числа — это числа 2, 3, 4 в каком-то порядке. Всего 6 различных перестановок. Посчитаем сумму в каждом случае и найдём минимальную сумму.

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

 

6.

 

Таким образом, наименьшая сумма равна

а)

Значит, такого не существует.

б)

Пусть Тогда Проверим, что подойдёт:

в) Пусть натуральное число при делении на 2, 3, 8, 23 даёт остатки и соответственно. Тогда — наибольшее целое число, не превосходящее которое делится на 2, — наибольшее целое число, не превосходящее которое делится на 3, — наибольшее целое число, не превосходящее которое делится на 8, — наибольшее целое число, не превосходящее которое делится на 23. Значит,

По условию

Остаток может принимать два значения (0 или 1), остаток может принимать три значения (от 0 до 2), остаток — 8 значений (от 0 до 7), остаток — 23 значения (от 0 до 22). Заметим, что если мы знаем остаток при делении на 8, то есть то остаток при делении на 2, то есть однозначно определяется. Покажем это. Пусть Если — чётное, то число тоже чётное, а значит, Если нечётное, то тоже нечётное, а значит,

Таким образом, выражение а, следовательно, и число может принимать не более, чем значения (3 варианта для 8 вариантов для 23 варианта для ).

Покажем, что каждый из 552 вариантов можно получить.

Так как выражение делится на 23, то имеет остаток при делении на 23.

Покажем, что число делится на 8, то есть число делится на 2. Если — нечётное число, то есть 1, 3, 5 или 7, то Тогда делится на 2. Если — чётное число, то есть 0, 2, 4 или 6, то Тогда делистя на 2. Значит, делится на 8. Тогда выражение тоже делится на 8. Значит, число имеет остаток при делении на 8. Если — нечётное, то нечётное и Если — чётное, то чётное и Тогда при делении на 2 имеет остаток

Наконец,

Так как выражение делится на 3, то число при делении на 3 имеет остаток

Таким образом, каждый из 552 различных вариантов однозначно определяет Таким образом, всего 552 различных

а) Пусть всего положительных чисел, отрицательных и чисел, равных 0. Так как среднее арифметическое положительных чисел равно 14, то сумма положительных чисел равна Среднее арифметическое отрицательных чисел равно поэтому сумма отрицательных чисел равна По условию среднее арифметическое всех чисел равно 5, а значит, сумма всех чисел равна Тогда

делится на 7, поэтому тоже делится на 7. 5 и 7 — взаимно просты, поэтому делится на 7. Тогда количество всех чисел делится на 7. Среди чисел, больших 35, но меньших 49 только одно число делится на 7 — 42. Значит, на доске написано 42 числа.

б) Из пункта а:

Так как а (среднее арифметическое отрицательных чисел равно а значит, отрицательных чисел не может быть 0), то а значит, Тогда то есть положительных чисел больше, чем отрицательных.

в) Из пункта а тогда

Так как всего чисел 42, то положительных и отрицательных не больше, чем 42, то есть

Значит, положительных чисел не больше, чем 24. Приведём пример на 24. Пусть на доске было написано 24 числа 14 и 18 чисел Среднее арифметическое положительных чисел равно 14, среднее арифметическое отрицательных чисел равно Найдём среднее арифметическое всех чисел:

а) Пусть число в первой группе равно 1, число во второй группе равно 2, число в третьей группе равно 9. Сумма чисел до изменений равна После изменений на доске оказались числа 11, 28 и 9. Их сумма равна

б) Пусть сумма всех чисел в первой группе до изменений равна а количество чисел равно сумма всех чисел во второй группе до изменений — а количество сумма всех чисел в третьей группе — Если к числу приписать справа цифру , то оно станет равным Тогда после изменений сумма всех чисел в первой группе стала так как единица прибавилась столько раз, сколько была приписана единица справа, то есть раз. Аналогично сумма чисел во второй группе стала в третьей группе осталась Тогда

Сумма чисел не меньше, чем их количество, поэтому Так как то Значит, такое невозможно.

в) Рассмотрим отношение получившейся суммы к изначальной:

Будем максимизировать то есть максимизировать значение дроби Если в первой группе больше одного числа, перенесём какое-нибудь число во вторую группу. Сумма всех чисел, то есть от этого не изменится. В первой группе станет число, во второй а дробь станет равной

Таким образом, значение увеличилось. Тогда если в первой группе не одно число, мы можем переносить их во вторую группу, пока не останется одно число, увеличивая каждый раз значение Значит, если — максимальное, то в первой группе одно число.

Пусть в третьей группе больше одного числа. Перенесём какое-нибудь число во вторую группу, при этом сумма всех чисел останется прежней. Пусть новая сумма чисел в третьей группе равна Тогда следовательно, Количество чисел во второй группе станет а значит, новое значение дроби будет

Таким образом, если максимально, то в третьей группе тоже одно число. Тогда в первой и в третьей группах по 1 числу, во второй группе чисел ( — новое значение количества чисел во второй группе, после того, как числа из первой и третьей групп были перенесены во вторую), всего числа.

Оценим знаменатель. Чем меньше знаменатель, тем больше значение дроби, а, значит, больше значение Значит, нужно минимизировать значение — сумму различных натуральных чисел, а она не меньше, чем сумма первых натуральных чисел. Значит,

Так как то

Пусть Найдём, при каком значении принимает наибольшее значение. Так как — количество чисел, то будем рассматривать только при натуральных Рассмотрим разность

Значит, при при при Значит, наибольшее значение будет при

Найдём значение при

При функция убывает, значит, если то По условию значит, а всего чисел не больше, чем Приведём пример, когда всего 10 чисел. Пусть в первой группе было написано число 2, в третьей группе число 1, а во второй числа 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11. Тогда изначально сумма всех чисел была:

После изменений числа стали: в первой группе 21, во второй группе 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98, 118, в третьей группе осталось число 1. Новая сумма равна

а) Пусть у Миши двухрублёвых, пятирублёвых, десятирублёвых монет. Так как среди любых 10 монет обязательно найдётся двухрублёвая, то пятирублёвых и десятирублёвых в сумме меньше чем 10. Действительно, иначе можно было бы взять 10 пятирублёвых и десятирублёвых монет и среди них не нашлось бы двухрублёвой монеты. То есть Аналогично

Тогда получаем систему

Таким образом, всего не больше 21 монеты. Значит, у Миши не могло быть 30 монет.

б) В пункте а) получили, что монет не больше чем 21. Приведём пример, в котором монет ровно 21. Нужно, чтобы в каждом неравенстве системы из пункта а) достигалось равенство. Иначе если какое-то из трёх неравенств строгое, то при сложении этих неравенств также получится строгое неравенство и монет в сумме будет меньше 21. Тогда получаем систему

в) По условию если взять 20 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна десятирублёвая. Значит, монет хотя бы 20. При этом из пункта б) монет не больше чем 21. Так как то имеем единственный вариант, в котором 21 монета:

При этом равенство достигается только в случае, если в каждом из неравенств имеет место равенство. Посчитаем сумму рублей в этом случае:

Рассмотрим случай, когда монет 20, то есть Хотим найти максимальное значение Тогда имеем:

Чтобы максимизировать значение выражения нужно минимизировать значение выражения Тогда имеем:

Отсюда получаем

Значит, минимальное значение выражения равно 118. Тогда максимальное значение выражения равно

Приведём пример, в котором у Миши 82 рубля. Пусть двухрублёвых монет было 11, пятирублёвых 6, тогда десятирублёвых было 3. Посчитаем сумму:

Тогда наибольшая сумма рублей получается из 20 монет и равна 82.

Пусть средний балл в школе №1 равен средний балл в школе №2 равен а количество учащихся в первой школе — Тогда количество учащихся во второй школе равно

а) Пусть такое возможно. Суммарный балл до перехода учащегося из школы №1 в школу №2 былл После перехода учащегося средний балл вырос в два раза, то есть стал а количество учащихся стало Тогда суммарный балл после перехода учащегося стал Посмотрим, на сколько уменьшился суммарный балл:

Так как по условию, то то есть Так как каждый учащийся набрал натуральное число баллов, то суммарный балл после перехода учащегося в школу №2 должен был уменьшится на положительное число. Противоречие.

б) Пусть учащийся, который перешёл из школы №1 в школу №2 набрал баллов. Так как средний балл в школе №1 вырос на то он стал при этом количество учащихся стало на 1 меньше, то есть Во второй школе количество учащихся стало а средний балл стал на 10% больше, то есть Суммарный балл в первой школе равен сумме баллов учащегося, который перешел во вторую школу и суммарному баллу в первой школе после перехода этого учащегося, то есть

Так как — натуральное число по условию, то — натуральное число, а значит, и — натуральное число. Тогда

Аналогично

По условию Тогда Так как количество баллов каждого учащегося — натуральное число, то делится на 10. Так как то

Противоречие, так как средний балл по условию — целое число.

в) По условию — целое число. Значит, По пункту б значит, Пусть Из пункта б:

Подставим

Значит, делится на 5, при этом по доказанному ранее Тогда или

Пусть Тогда

По условию средний балл — целое число, значит, такой вариант невозможен.

Пусть Тогда

По условию средний балл — целое число, значит, такой вариант невозможен.

Значит, Тогда имеем уравнение

Приведём пример, в котором

Если то средний балл в школе №1 равен Пусть у перешедшего учащегося было 18 баллов, у оставшегося в школе №1 — 22 балла. Тогда средний балл до перехода в школе №1 был равен После перехода учащегося с 18 баллами средний балл в школе №1 стал равен

Пусть в школе №2 до перехода учащегося из школы №1 было 49 учащихся с баллом 3. Тогда средний балл в школе №2 был 3. После перехода учащегося из школы №1 средний балл стал равен

Пусть в группе детей, в автобусе модели А мест, в автобусе модели Б мест. Пусть необходимо автобусов типа А, чтобы перевезти детей. Тогда для того, чтобы перевезти детей на автобусе модели Б, нужен автобус. Тогда

а) Тогда

Так как делится на 5, то делится на 5. Числа 4 и 5 — взаимно простые числа, поэтому делится на 5. По условию Если то Значит, если то может потребоваться 5 автобусов модели А.

б) Так как детей больше 150, то По условию значит, Тогда нужно хотя бы 4 автобуса модели Б.

Если автобусов модели Б больше 4, то есть хотя бы 5, то так как то всего детей не меньше, чем

Если автобусов модели Б ровно 4, то автобусов модели А нужно 5. Тогда Так как то делится на 5 и 4. Числа 4 и 5 взаимно просты, поэтому делится на 20. Наименьшее число, которое делится на 20 и больше 150 — это 160. Если то но по условию мест в автобусе модели Б больше 40. Значит, Если то — удовлетворяет условию. Значит, наименьшее число детей — 180.

в) Требуется найти максимальное такое, что при целых верно

Тогда

Значит, Так как и взаимно просты, то делится на делится на Заметим, что для чисел от 17 до 20 верно, что при умножении на 3, они дают больше 49, а при умножении на 2 меньше 41. Значит, среди чисел от 41 до 49 нет чисел, делящихся на 17, 18, 19, 20. Значит, Начнём перебирать

1.

По условию но при этом делится на Среди чисел от 31 до 39 нет чисел, делящихся на 15, поэтому этот вариант невозможен.

2.

Тогда делится на Среди чисел от 31 до 39 нет чисел, делящихся на 14, поэтому этот вариант так же невозможен.

3.

Среди чисел от 41 до 49 на 14 делится только 42. Значит, Тогда — удовлетворяет условию. Детей в этом случае

Заметим, что если автобусов модели А будет не больше 13, то всего детей не больше, чем так как в каждом автобусе не более 39 мест. Значит, наибольшее количество детей — 546.

а) Цифры и исходного числа должны удовлетворять следующему условию:

Осталось подобрать какие-нибудь цифры и которые удовлетворяют равенству. Для простоты возьмем тогда подойдут что даст нам исходное число 198. И действительно,

б) Используем подход, аналогичный пункту а). Цифры и должны удовлетворять следующему условию:

Посмотрим на полученное равенство. Число трехзначное, значит, следовательно, слагаемое Слагаемое неотрицательно, то есть Оценим

Значит,

Значит, равенство не может быть верно ни при каких цифрах и

в) Нам нужно максимизировать отношение

при условии, что и не могут быть одновременно равны нулю, иначе число делится на 100.

Заметим, что при и мы можем получить отношение, равное 80:

Докажем, что целое отношение, больше 80, мы получить не сможем. Сравним и 80:

Заметим, что если то

Таким образом, если то искомое отношение всегда меньше 80.

Если то есть три варианта, при этом вариант, когда и является нашим примером. Разберем вариант и

Разберем вариант и

Если то есть два варианта. Разберем вариант и

Разберем вариант и

При этом так как иначе 700 делится на 100.

Значит, наибольшее целое отношение равно 80 и достигается при для числа 720.