Тема Ломоносов

Ломоносов - задания по годам → .13 Ломоносов 2021

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Разделы подтемы Ломоносов - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#38125Максимум баллов за задание: 7

Пусть $f(x)= x2 +10x+ 20$ . Решите уравнение

f(f(f(f(f(x)))))= 0.

Источники: Ломоносов-2021, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выглядит конечно страшно... 4 раза подставлять аргумент и находить значение функции. Так мы делать точно не хотим и не будем. Давайте будем верить в лучшее, иначе эта задача гроб. Попробуем найти какую-то закономерность, не просто так же нам дали такую задачу. Какое есть "правило" при виде квадратного трёхчлена? Что хочется сделать, видя х²+ 2*5*х+20?

Подсказка 2

Конечно, можем выделить полный квадрат! Тогда выйдет, что квадратный трёхчлен равен (х+5)²-5. Хм... Интересно получилось. У нас в скобках +5, а снаружи -5. Попробуйте найти хотя бы f(f(x)). Что хорошего вы видите? Как это продолжается дальше при подстановках?

Подсказка 3

Верно, получается, что пятёрка сокращается внутри скобок при подстановке, и у нас выходит четвёртая степень, а остальное то же самое. Теперь поняв закономерность, попробуйте сделать это столько раз, сколько вам нужно и получить ответ.

Показать ответ и решение

Поскольку $f(x)= (x+ 5)2− 5$ , то

2 2 2 4 f(f(x))=(f(x)+ 5) − 5 =((x +5) − 5+5) − 5= (x+ 5) − 5

Отсюда $f(f(f(f(f(x)))))= (x+5)32− 5 =0$ . Тогда $x+ 5= ± 32√5 ⇐ ⇒ x =± 32√5− 5$ .

Ответ:

$± 32√5 − 5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#39875Максимум баллов за задание: 7

На столе лежат $2021$ красных и $2022$ зелёных камня. Аня и Петя делают ходы по очереди. Аня ходит первой. При каждом ходе игрок выбирает цвет и удаляет $n$ камней этого цвета, где число $n$ должно быть делителем текущего числа камней другого цвета. Кто возьмёт последний камень, тот выиграет. Кто из игроков может обеспечить себе победу независимо от ходов соперника?

Источники: Ломоносов - 2021, 11.7 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Так, заметим, что ситуация почти симметричная... Вот бы была симметрия!

Подсказка 2!

Так можно ее создать! Пусть Аня первым ходом заберет 1 камешек из зеленых. Как тогда дальше действовать игрокам..?

Показать ответ и решение

Пусть Аня возьмёт $1$ камень из второй кучки (число 1 является делителем числа 2021), то есть число камней станет равным. Дальше её стратегия очень проста — повторять ход Пети в другой кучке. Если Петя нашёл делитель $d$ числа $n$ и забрал $d$ камней из какой-то кучи, то Аня может забрать $d$ камней из другой кучки (в которой перед её ходом тоже будет $n$ камней), поскольку число $d$ является делителем текущего числа $n− d$ камней в кучке, откуда брал Петя. Раз игра когда-нибудь закончится, то Аня победит.

Ответ:

Аня

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#47043Максимум баллов за задание: 7

Число

1 0 −1 −2 −2021 x =2 + 2 + 2 +2 + ...+ 2

Найдите значение выражения

∘2x-+-4√2x-− 4-+∘2x-−-4√2x-− 4.

Источники: Ломоносов-2021, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что не нравится в этой задаче, — это то, чему равен x. С такой суммой нельзя нормально работать, надо её как-то посчитать. Попробуйте выделить в ней знакомую нам сумму геометрической прогрессии, которую можно посчитать по формуле.

Подсказка 2

Конкретно, вынесите 2⁻²⁰²¹. Теперь обратим внимание на само выражение. Такое количество корней — это неприятно, выделить полные квадраты в них не получается. Как тогда уменьшить число корней?

Подсказка 3

Ну конечно, надо возвести это выражение в квадрат. Тогда останется всего один корень, который тоже можно убрать! При записи ответа надо только не забыть, что искомое выражение неотрицательно

Показать ответ и решение

Число

−2021 ( 2022) − 2021 22023−-1 −2021 x= 2 ⋅1 +...+ 2 = 2 ⋅ 2− 1 = 4− 2

Обозначим

∘ ----√------ ∘-----√----- a = 2x+ 4 2x− 4,b= 2x− 4 2x− 4

Найдём

∘ ------------ (a+ b)2 = a2+ b2 +2ab= 4x+2 ⋅ 4x2− 16(2x− 4)=

∘ ---------- = 4x +4⋅ x2− 8x +16= 4x+ 4|x− 4|

= 4⋅(4− 2−2021)+4 ⋅2−2021 =16

Откуда сразу же $a+ b=4$ (очевидно, что при $a≥0,b≥ 0$ сумма не может быть равна $− 4).$

Ответ:

$4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#77781Максимум баллов за задание: 7

Числа $a,b,c$ таковы, что каждое из двух уравнений $x2+ bx+a =0$ и $x2+ cx+ a= 1$ имеет по два целых корня, при этом все эти корни меньше $− 1.$ Найдите наименьшее значение $a.$

Источники: Ломоносов - 2021, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если сначала не очень понятно, что вообще делать, то давайте вспомним теорему, которая связывает корни многочлена и его коэффициенты!

Подсказка 2

Верно, это теорема Виета! Чему равно произведение корней у первого и второго уравнения и как дальше искать нужные нам a?

Подсказка 3

Да, у первого уравнения произведение корней равно а, у второго — a-1. Теперь вспоминаем, что корни отрицательные и различные у каждого уравнения и при этом a и a-1 — разной чётности. Тогда какое число хочется найти первым делом?

Подсказка 4

Верно, а и a-1 должны быть положительными и при этом, так как корни различны, то a и a-1 не являются квадратами и простыми числами. А какое минимальное натуральное число является нечётным и при этом произведением двух других чисел, отличных от 1 и -1?

Подсказка 5

Да, это число 15.

Показать ответ и решение

По теореме Виета произведение корней первого уравнения равно $a$ , произведение корней второго уравнения равно $a− 1$ . Ввиду того, что корни целые и меньше $− 1$ , их произведение больше $1$ , поэтому каждое из двух последовательных чисел $a − 1$ и $a$ является произведением двух различных целых чисел, больших $1$ (откуда $a> 1$ ).

Заметим, что $a$ и $a− 1$ не могут быть простыми числами, иначе один из корней — $1$ . Они так же не могут быть квадратами простых чисел, так как иначе либо корни совпадают и равны $√- a$ , либо один из них равен $1.$

Выпишем первые 15 натуральных чисел и вычеркнем все простые и квадраты простых. Останутся $6,8,10,12,14,15.$ Из них мы можем взять в качестве $a$ только число 15, так как в оставшихся случаях $a− 1$ будет вычеркнуто. Тогда

x2+bx+ a= (x+ 3)(x+ 5)= x2+ 8x+ 15

2 2 x + cx+ a− 1=(x+ 2)(x+ 7)= x +9x+ 14

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#80264Максимум баллов за задание: 7

Найдите

f(1)+ f(2)+ f(3)+ ...+ f(13),

если

3 2 f(n)= 4n − 6n + 4n+ 13.

Источники: Ломоносов - 2021, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое-то у нас слишком массивное выражение для f(n), может, попробуем его немного упростить? У нас есть последовательно идущие коэффициенты 4, 6, 4 - на что это нам намекает?

Подсказка 2

Конечно, эти же коэффициенты встречаются при разложении разности четвёртой степени. Теперь нужно только аккуратно выделить такую четвёртую степень в выражении для f(n) и вычесть лишнее. Смотрите, теперь при подстановке f(n) в изначальную сумму многое сокращается, и остаются только несложные вычисления

Показать ответ и решение

Попробуем сгруппировать $4n3− 6n2+4n +13.$ Заметим, что у нас есть последовательно идущие коэффициенты $4, 6, 4,$ тогда попробуем собрать многочлены $4$ степени. Получаем

3 2 4 4 f(n) =4n − 6n +4n +13= n − (n − 1) +14

Посчитаем искомое выражение:

4 4 4 4 4 4 f(1)+ f(2)+ f(3)+ ...+ f(13)= 1 +2 + ...+ 13 − (0 +1 + ...+ 12)+ 14⋅13 =

134+14⋅13= 28743

Ответ: 28743

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#88271Максимум баллов за задание: 7

Сколько существует делителей числа $20212021$ , кубический корень из которых является натуральным числом?

Источники: Ломоносов - 2021, 9 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

2021 — большое число и рассуждать про него в целом неудобно, надо как-то разбить его на множители, как?

Подсказка 2:

Разложим его на простые! 2021 = 43*47. Какой тогда вывод можно сделать про делители числа 43²⁰²¹47²⁰²¹?...

Подсказка 3:

Именно! Они все имеют вид 43^α * 47^β, где α, β — натуральные и α, β ∈ [0; 2021]. Какие из них будут искомыми делителями?

Подсказка 4:

Те, что представимы в виде 43^{3n}*47^{3m}, где n, m — натуральные и n, m ∈ [0, 673]. Сколько тогда есть способов выбрать такой делитель? Осталось посчитать количество делителей. Успехов!

Показать ответ и решение

Так как $2021= 43⋅47$ , все делители числа $20212021$ имеют вид $43α⋅47β$ , где $α,β ∈[0;2021]$ . При этом точными кубами являются числа вида $3n 3k 43 ⋅47$ , где $3n,3k∈ [0;2021]$ , то есть $n,k ∈[0;673]$ . Таких чисел $2 674 = 454276$ .

Ответ:

$6742 = 454276$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#88480Максимум баллов за задание: 7

Вася ставит короля на шахматную доску $8 ×8,$ после чего они с Петей начинают играть в следующую игру. Каждый игрок своим ходом должен передвинуть короля по правилам шахмат (на соседнюю по стороне или диагонали клетку). Нельзя наступать на те клетки, в которых король бывал ранее. Начинает Петя, ходы делают по очереди, проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может победить, как бы ни играл соперник?

Источники: Ломоносов-2021, 11.7 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так-с, симметрию тут не применишь... Тогда будем пытаться дополнить ход противника. Но до чего дополнять ходы противника на шахматной доске? Чтобы такое придумать, чтобы это дополнить?)

Подсказка 2

Вот если получится разбить клетки доски как-нибудь на пары соседних, то можно дополнять ход противника ходом в парную клетку.
Но как бы разбить все клетки доски на пары соседей?

Подсказка 3

Давайте разобьем доску на доминошки 2×1. Дело осталось за малым - определить победителя, который сможет применить стратегию дополнения)

Показать ответ и решение

Разобьем клетки доски на пары-доминошки следующим образом:

$PIC$

Пусть Петя своим ходом переставляет короля из текущей клетки в парную ей. Заметим, что Петя всегда сможет так сходить, потому что после его хода во всех доминошках король побывал или на обеих клетках, или ни на одной. Тогда Вася может переставить короля только в доминошку, где обе клетки не посещены. В итоге, Петя сделает последний ход и победит в игре.

Ответ:

Петя

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90892Максимум баллов за задание: 7

Велосипедист и мотоциклист едут с постоянными скоростями по имеющей форму окружности кольцевой трассе. Если они едут навстречу друг другу, то регулярно встречаются, причем расстояние по прямой между точками последовательных (по времени) встреч равно 4022 м. Если они едут в одном направлении, то мотоциклист регулярно (хотя и реже) обгоняет велосипедиста, причем расстояние по прямой между точками последовательных (по времени) обгонов также равно 4022 м. Если велосипедист стоит и отдыхает, то мотоциклист проезжает мимо него каждые 32 минуты. Если же, наоборот, отдыхает мотоциклист, то велосипедист проезжает мимо него реже, чем каждые 55 минут, но чаще, чем каждые 64 минуты. Найдите радиус окружности, по которой проходит трасса.

Источники: Ломоносов - 2021, 11.4 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Задача на движение, значит нам хотелось бы как-то обозначить скорости велосипедиста и мотоциклиста. Может, стоит попробовать их связать?

Подсказка 2

Используем условие на то, что происходит, если один из гонщиков отдыхает. Подумаем, а как их скоростей выразить длину трассы?

Подсказка 3

Отлично, теперь мы можем связать скорости гонщиков при помощи неравенств и знаем, как выразить длину трассы с помощью скорости одного из них! Теперь нужно понять, как использовать другое условие. С какой скоростью происходит обгон?

Подсказка 4

Итак, теперь мы можем оценить то, сколько времени нужно, чтобы со скоростью обгона пройти весь круг! А на что могут намекать равные расстояния между последовательными встречами/обгонами?

Подсказка 5

А что если места встреч совпадают?

Показать ответ и решение

Пусть $v 1$ — скорость велосипедиста, $v 2$ — скорость мотоцикла. Тогда из условия “если велосипедист стоит и отдыхает, то мотоциклист проезжает мимо него каждые 32 минуты” следует, что длина трассы $32v2$ , а из второго условия следует, что $55v1 < 32v2 <64v1,$ то есть $1 32 2v2 < v1 < 55v2.$

Если они едут в одном направлении, то мотоциклист регулярно (хотя и реже) обгоняет велосипедиста каждые $32v2- v2−v1.$ Тогда

32v2 32 32⋅55 64< v2− v1-< 1−-32-=-23--< 77 55

Это значит за это время мотоцикл проедет от 2 кругов до 2.5 кругов.

Когда они едут навстречу друг другу, то до момента встречи он проезжает не больше половины круга, так как скорость велосипеда меньше. Так как оба места встречи находятся на одном расстоянии от начала и в одной и той же половине круга, то эти места встречи совпадают.

Пусть по дуге от начала место встречи находится на расстоянии $x.$ Тогда

-x = 32v2−-x- v1 v2

32v2 +x 2⋅32v2+ x --v1---= ---v2----

Отсюда получаем, что

32v2−-x- 2-⋅32v2+-x v2 (32v2+ x)− x v2 = 0

(32v2− x)(32v2+ x)− x(2⋅32v2+ x)= 0

Обозначим $-x- t= 32v2$ .

2 (1− t)(1+ t)− t(2 +t)=− 2t− 2t+1 =0

Оттуда $t= √3−1. 2$ Так как это отношение длины дуги ко всей окружности, то угол, который опирается на эту дугу из центра равен $√ - ( 3− 1)π,$ а угол, который опирается на эту дугу из точки на окружности равен $(√3−1)π- 2 .$ По теореме синусов

4022 2R =---((√3−1)π) sin 2

Ответ:

$--(-20√11--) sin (-3−21)π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#92158Максимум баллов за задание: 7

В неправильной пирамиде $ABCD$ сумма плоских углов при вершине $A$ равна $180∘$ . Найдите площадь поверхности этой пирамиды, если площадь грани $BCD$ равна $s$ и $AB = CD,AD = BC.$

Источники: Ломоносов - 2021, 11.6 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Дана пирамида и некие условия на неё, которые касаются углов и сторон. А вычислить нужно площадь поверхности, то есть "плоскую" характеристику. Что тогда можно сделать, чтобы упростить себе восприятие задачи?

Подсказка 2

Естественное желание при решении почти любой стереометрической задачи — свести её к задаче по планиметрии. Здесь, поскольку речь идёт о сторонах, плоских углах и площадях, будет удобно рассмотреть развёртку пирамиды. Воспользуемся же всеми условиями задачи на развёртке!

Подсказка 3

Теперь наглядно можно увидеть, что мы имеем 4 треугольника, кучу равных отрезков и 3 угла при вершине А, составляющие в сумме развёрнутый. Что хочется доказать про эти треугольники?

Подсказка 4

Конечно, хочется доказать, что все 4 треугольника равны между собой. Воспользуемся признаками равенства треугольников и параллельностью!

Показать ответ и решение

Докажем, что грани пирамиды — равные треугольники. Для этого рассмотрим развёртку $AD ′′′BD ′CD ′′$ пирамиды $ABCD$ , где

′′ ′′′ ′′′ ′ ′′ ′ AD =AD =AD, BD = BD =BD, CD =CD = CD

$PIC$

Пусть $∠BAC = α,∠BAD ′′′ = β,∠CAD′′ = γ$ . Так как $α+ β+ γ = 180∘$ , то точки $D ′′,A,D ′′′$ лежат на одной прямой. Так как $AD ′′ = BC,AB = D′′C$ , то $ABCD ′′$ — параллелограмм и $BC ∥AD′′$ . Аналогично $AD′′′BC$ — тоже параллелограмм. Треугольник $ACD ′′$ равен треугольнику $BCD ′$ . Значит, грани пирамиды — равные треугольники.

Ответ:

$4s$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#92159Максимум баллов за задание: 7

Из равнобедренного треугольника с углом $α$ при вершине и площадью 1 вырезают максимальный по площади круг, а из него — максимальный по площади треугольник, подобный исходному. Какое наибольшее и наименьшее значение принимает площадь $S(α)$ полученного в итоге треугольника при $∘ ∘ 60 ≤α ≤120 ?$

Источники: Ломоносов - 2021, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала поймём, что это за треугольники и окружности — очевидно, что это соотвественно вписанная окружность и вписанный в нее треугольник (иначе, мы могли бы увеличить площадь, дополнив до вписанной/ого). Значит, площадь вырезанного треугольника легко считается и выражается через наши параметры — площадь начального и угол. Однако нужно ли нам выражать? Просто ли так нам дали площадь большого?

Подсказка 2

Конечно, не просто так. Нам можно получить лишь отношение сторон и найти отношение площадей как коэффициент подобия в квадрате. Поэтому, найдя отношение сторон, мы сможем его промаксимизировать. Но через что выразить? Через стороны большого треугольника долго и некрасиво, а вот через радиус и угол - более чем! Подумайте лишь над тем, всегда ли одинаково все выражается.

Подсказка 3

При разных alpha размер стороны вырезанного треугольника выражается одинаково, вот только угол будет разный в зависимости от того, тупой ли треугольник, но синус остается неизменным. Осталось понять, как нам максимизировать функцию отношения… Но ведь она монотонна!

Показать ответ и решение

Пусть дан треугольник $ABC,$ $M$ — это середина $AB.$ Заметим, что максимальный по площади круг лежащий в данном треугольник является кругом, ограниченный вписанной окружностью. Пусть $I$ — центр вписанной окружности, $α- β = 2$ и $r$ — радиус окружности.

$PIC$

Тогда половина основания можно вычислить из подобия $△ACM$ и $△CID$

AM CM -ID- = CD-

r AM sin-β + r --r = -rcosβ-- sinβ

AM = r(1c+ossinββ)-

Так как вырезаемый треугольник $△A ′B ′C ′,$ подобный исходному $△ABC,$ лежит внутри фиксированной окружности, то у него по крайней мере две вершины лежат на окружности, в противном случаи мы сможем увеличить площадь. Дальше рассмотрим два варианта:

Исходный треугольник $ABC$ остроугольный или прямоугольный, то есть тогда $β ≤45∘.$ Тогда треугольник $A ′B′C′$ будет вписан в вырезанную окружность.

$PIC$

В этом случаи половина основания вырезанного треугольника равна
$A′M′ = rsin2β$
Исходный треугольник $ABC$ тупоугольным, то есть тогда $β >45∘.$ Тогда треугольник $A′B ′C′$ будет расположен так, что $AB$ будет диаметром вырезанной окружности.

$PIC$

В этом случаи половина основания вырезанного треугольника равна
$′ ′ A M = r$