Тема Ломоносов

Ломоносов - задания по годам → .11 Ломоносов 2019

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Разделы подтемы Ломоносов - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#47235Максимум баллов за задание: 7

Из поселка на станцию по одной дороге одновременно отправились дачник А пешком и мотоцикл с пассажиром - дачником Б. Не доехав до станции, мотоциклист высадил пассажира и сразу поехал обратно к поселку, а дачник Б пошел к станции пешком. Встретив дачника А, мотоциклист посадил его к себе и привез на станцию. В результате оба дачника прибыли на станцию одновременно. Какую часть пути от поселка до станции дачник А проехал на мотоцикле, если дачники шли с одинаковой скоростью, в $9$ раз меньшей скорости мотоцикла?

Источники: Ломоносов-2019, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если дачники отправились и прибыли одновременно, могли ли они проехать на мотоцикле разную долю пути?

Подсказка 2

Подумайте, сколько проехал мотоциклист прежде, чем забрал дачника А? Для удобства, можно ввести переменную на долю пути, которую прошел дачник самостоятельно.

Подсказка 3

А что можем сказать о времени, затраченном на путь мотоциклистом и дачником А до их встречи? Составьте уравнения, используя условие на скорости и найденные расстояния и вычислите все нужные величины!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть расстояние от посёлка до станции равно $1$ . Если какой-то из дачников ехал на мотоцикле дольше другого, то он должен был преодолеть большее расстояние (меньше перемещаясь пешком), поскольку их скорости пешком равны. Значит, дачники ехали на мотоцикле (и шли пешком) одинаковое время. Пусть каждый прошёл $x$ , тогда мотоциклист высадил дачника Б в точке $1− x$ , считая от посёлка, а затем забрал дачника А в точке $x$ , проехав до неё $1− x− x= 1− 2x$ . Отсюда суммарно до встречи с дачником А мотоцикл проехал расстояние $1− x+ 1− 2x =2 − 3x$ , за это время сам дачник прошёл $x$ . Из условия на скорости выполнено соотношение

1 2− 3x= 9⋅x ⇐⇒ x= 6

Отсюда на мотоцикле каждый дачник проехал $56$ пути.

Второе решение.

$PIC$

Пусть расстояние от посёлка до станции равно $1.$ Будем решать задачу графически. Условие про скорость в девять раз больше будет означать в 9 раз больший коэффициент наклона. Пусть первый дачник следовал по маршруту $ABC$ , мотоциклист — по $ABDC$ , второй дачник — по $ADC$ . Из равных скоростей дачников следует, что $AD ∥BC$ , из одинаковой скорости мотоциклиста $AB ∥CD$ , значит, $ABCD$ — параллелограмм, откуда мотоциклист проехал с каждым дачником одно и то же расстояние и каждый дачник прошёл одно и то же расстояние. Пусть каждый дачник шёл пешком часть пути $r∈[0,1]$ , тогда мотоциклист вёз каждого из них часть $1− r$ , при этом кусочек $m0$ является частью пути $1− r− r= 1− 2r$ . Тогда пока второй дачник шёл $r$ , мотоциклист проехал $m0 +m1$ , получаем соотношение

1 m1 + m0 = 1− r+ 1− 2r= 2− 3r= 9⋅r⇐⇒ r =6

Ответ:

$5 6$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#47236Максимум баллов за задание: 7

Сколько существует значений параметра $a$ , при которых уравнение

2 2 4a + 3xlgx +3lg x= 13algx+ ax

имеет единственное решение?

Источники: Ломоносов-2019, 11.7 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уж слишком ужасно выглядит наше уравнение. Если оно не раскладывается на скобки, то вообще не понятно как его решать. Давайте поверим в то, что оно раскладывается на два множителя. Т.к. у нас есть произведения x*lgx и x*a, но при этом нету x², скорее всего в одной скобке должны быть слагаемые lgx и a, а в другой lgx, a и x...

Подсказка 2

Действительно, наше выражение раскладывается в (3*lgx-a)(x+lgx-4a)=0. Тогда решения нашего уравнения получаются из решений двух уравнений 3*lgx=a и x+lgx=4a. Что особенного можно сказать про функции f(x)=3*lgx и g(x)=x+lgx?

Подсказка 3

Верно, они обе строго возрастают и пробегают все действительные значения при x>0. Это значит, что существуют единственные c и d такие, что f(c)=a и g(d)=4a. Значит, решения нашего уравнения- это в точности точки c и d, а мы хотим, чтобы решение было единственным. Когда такое может случится?

Подсказка 4

Нам нужно, чтобы c=d ⇒ 3*lgc=a и с+lgc=4a ⇒ 10^(a/3)+a/3=4a. Осталось лишь найти количество корней уравнения h(a)=10^(a/3)-11/3a=0. Как будем это делать?

Подсказка 5

Нетрудно видеть, что производная функции h(a) один раз обращается в нуль, который является точкой минимума. Значит, в силу непрерывности и неограниченности на бесконечностях нашей функции, она два раза пересечет прямую y=0.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0$ . Заметим, что левую часть уравнения можно разложить на скобки

(3lgx − a)(x +lgx− 4a)= 0

Решениями этого уравнения будет объединение решений $f(x)= 3lgx =a ⇐ ⇒ lgx= a,x= 10a∕3 3$ и $g(x)= x+ lgx = 4a$ . Заметим, что обе функции монотонно возрастают на ОДЗ и принимают все действительные значения, потому оба уравнения имеют единственное решение при каждом значении параметра. Но тогда решения уравнений должны совпадать, то есть

a a a 11 103 + 3 =4a ⇐⇒ h(a) =103 − 3 a =0

Осталось найти количество решений этого уравнения. Поскольку $′ 1 a 11- h(a)= 3ln 10 ⋅103 − 3$ имеет единственный нуль, который является точкой минимума, а также $1∕3 11 11 h(1)= 10 − 3 < 3− 3 < 0$ (то есть она принимает отрицательные значения), то уравнение $h(a)= 0$ имеет два решения. Это следует из того, что функция $h$ не ограничена на $±∞$ , поэтому по каждую сторону от точки минимума будет пересекать прямую $y = 0$ .

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#71248Максимум баллов за задание: 7

Найдите все решения неравенства

2018 −2019 2018 − 2019 sin x+ cos x ≥cos x+ sin x,

принадлежащие отрезку $[− π;7π]. 4 4$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание, правая и левая часть неравенства очень похожи, но всё-таки не до конца. Давайте перенесем всё с синусами в одну сторону, а с косинусами - в другую. Что можно заметить и как можно иначе переписать данное неравенство?

Подсказка 2

На самом деле в правой и левой части у нас одна и та же функция f(t) = t^2018 - 1/t^2019, а наше неравенство можно переписать как f(sinx) ≥ f(cosx). Что мы можем сказать про f(t) на промежутке от -1 до 1, если возьмем производную?

Подсказка 3

Если взять производную, то станет понятно, что f(t) - возрастающая с точкой разрыва в 0. Рассмотрите два случая, когда t ∈ [-1; 0) и t ∈ (0; 1]. Подумайте, что можно сказать про значения функции на данных промежутках.

Подсказка 4

Мы можем утверждать, что f(t) на положительных значениях всегда будет меньше, чем при отрицательных. Значит наше неравенство можно переписать в виде совокупности двух других: 1) При sinx > 0, sinx >= cosx 2) При sinx < 0, cosx>0.

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство в виде

2018 −2019 2018 −2019 sin x− sin x ≥cos x− cos x

Нетрудно видеть, что мы решаем неравенство $g(sinx)≥ g(cosx)$ и $g(t)= t2018− 21019- t$ , где $t∈ [−1;1]$ , возьмём производную этой функции

g′(t)= 2018t2017+ 2019-≥ −2018 +2019= 1> 0 t2020

То есть функция всюду монотонно возрастает, имея разрыв в точке $t= 0.$

Что же происходит при разных знаках $t?$ Если $t< 0,$ то $g(t)≥ g(−1)= 2;$ при $t> 0$ получаем $g(t)≤ g(1)= 0,$ следовательно, $g$ всегда меньше на положительных $t,$ чем на отрицательных.

Тогда решениями $g(sinx)≥ g(cosx)$ будут

⌊ | sinx ≥cosx> 0, ||| 0{> sinx≥ cosx, ⌈ sinx <0, cosx> 0.

Получаем решения

π π π 5π- x ∈(−2 + 2πn,2πn)∪[4 + 2πn,2 + 2πn)∪(π+ 2πn,4 + 2πn),n∈ ℤ

Значит, ответ на периоде от $π − 4$ до $7π 4$ выглядит так:

[ π ) [π π ) ( 5π ] ( 3π 7π ] − 4;0 ∪ 4;2 ∪ π;4- ∪ 2-;4-

Ответ:

$[− π;0)∪[π;π )∪ 4 4 2$ $(π;5π]∪ (3π;7π] 4 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#80458Максимум баллов за задание: 7

Про последовательность ${a } n$ известно, что $a =1,5 1$ и $a = -1-- n n2− 1$ при $n ∈ℕ,n> 1$ . Существуют ли такие значения $n$ , что сумма первых $n$ членов этой последовательности отличается от 2,25 меньше, чем на 0,01? Если да, то найдите наименьшее из них.