Тема Ломоносов

Ломоносов - задания по годам → .12 Ломоносов 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Разделы подтемы Ломоносов - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31221Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму цифр числа

63 25 106 22 44 105 2 ⋅4 ⋅5 − 2 ⋅4 ⋅5 − 1

Источники: Ломоносов-2020, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте преобразовать сумму первых двух слагаемых, вынеся максимальную степень числа 10.

Подсказка 2

Теперь выражение выгдядит как (некое число) - 1. Распишите это некое число в десятичном виде и подумайте, что будет, если вычесть из этого единицу. Теперь можно посмотреть на это с точки зрения суммы цифр!

Показать ответ и решение

113 106 110 105 105 105 8 5 2 5 − 2 5 − 1= 2 ⋅5 (2 ⋅5 − 2 )− 1 =

105 7 5 105 = 10 ⋅(2 ⋅10− 2)− 1= 10 (1280− 32)− 1=

= 1248 ⋅10105 − 1= 12479...9 ◟ ◝10◜5 ◞

Сумма цифр равна $1+ 2+ 4+ 7+9 ⋅105= 959$ .

Ответ:

$959$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#45589Максимум баллов за задание: 7

Точки $A$ и $B$ лежат на окружности с центром $O$ и радиусом $6,$ а точка $C$ равноудалена от точек $A,B$ и $O$ . Другая окружность с центром $Q$ и радиусом $8$ описана вокруг треугольника $ACO$ . Найдите $BQ.$

Источники: Ломоносов-2020, 11.4 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии много чего написано, но не особо понятно, как собрать все факты вместе и не погрязнуть в рисунке. Постепенно будем решать задачу. Внимательно посмотрим на отрезок, который нам надо найти. Он состоит в треугольнике с известными сторонами 6 и 8. О какой схеме решения тогда можно подумать, чтобы найти эту сторону?

Подсказка 2

Верно, ведь если мы будем знать угол напротив стороны, то легко найдём её по теореме косинусов. К тому же можно предположить, что это какой-то хороший угол. Вернёмся к условию. Нам дали замысловатую точку С. А не можем ли мы сказать, что это за точка в треугольнике?

Подсказка 3

Ага, это же "засекреченный" центр описанной окружности в треугольнике AOB. И из-за того, что он равнобедренный, мы даже знаем, где лежит точка С. Она располагается на серединном перпендикуляре. Хм... Какой тогда можно вспомнить факт, про вписанный и центральный угол?

Подсказка 4

Да, ведь центральный угол в два раза больше вписанного! Тогда получается, что OBA в два раза меньше OCA. Теперь давайте снова заглянем в условие и увидим, что мы ещё не пользовались точкой Q. Что можно сказать про пару треугольников ею образованных?

Подсказка 5

Верно, образуется пара равных треугольников по трём сторонам. Но тогда углы OCQ и OBA равны между собой. Осталось только вспомнить про высоту CO и понять, что угол QOB равен 90 градусам.

Показать ответ и решение

$PIC$

Из условия вытекает, что

1) точка $C$ является центром описанной окружности треугольника $OBA,$ поэтому центральный угол $OCA$ вдвое больше угла $OBA;$

2) треугольники $OBC$ и $OCA$ равны по трём сторонам, поэтому $OC$ является биссектрисой равнобедренного треугольника $OBA,$ следовательно, и высотой;

3) треугольники $OCQ$ и $ACQ$ равны по трём сторонам, поэтому угол $OCQ$ в два раза меньше угла $OCA.$

Из пунктов $(1)$ и $(3)$ делаем вывод, что $∠OCQ = ∠OBA.$ С учётом пункта $(2)$ получаем, что $∠OCQ +∠BOC =90∘.$

Тогда $∠QOB = ∠QOC +∠BOC = ∠QCO +∠BOC = 90∘.$

По теореме Пифагора $QB = 10.$

Ответ:

$10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#47233Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

(-5 ) ( 10- ) arcsin 2π arccosx > arccos 3π arcsinx

Источники: Ломоносов - 2020, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим арки от сложных аргументов, при том, внутри друг друга. Что нужно сделать первым делом? Конечно, записать ОДЗ. Что можно тогда сказать, в силу ОДЗ? Какие значения принимает арксинус и арккосинус?

Подсказка 2

Верно, только положительные, поскольку иначе, в силу ОДЗ, не будет выполнено свойство, что arccos(x)+arcsin(x)=pi/2. Кстати, мы вспомнили это свойство. Видно, что аргументы арков слева и справа в неравенстве делятся на pi. Значит, если пробовать вводить замену на арксинус, то как ее стоит вводить? Не просто ведь t?

Подсказка 3

Стоит ввести замену arcsin(x)=pi*t, тогда pi сократится и получится и слева и справа выражение, зависящее только от t. При этом, и слева и справа у нас понятные функции(arccos и arcsin, которые выражаются друг через друг друга). Вот когда мы работаем с логарифмами, есть одно действие, чтобы преобразовать выражение и свести его к чему-то более понятному и без степеней(в общем то за степени и отвечает логарифм, грубо говоря). А какое действие нужно сделать здесь, чтобы избавиться от арков и перейти к аргументам?

Подсказка 4

Нужно взять синус от обеих частей. При этом, нужно учесть, что arcsin(5/4-5t/2)<=pi/2, а значит, arccos(10t/3)<=pi/2, а значит t<=3pi/20 . Тогда, после взятия синуса от обеих частей у нас выйдет неравенство 5/4-5t/2>sqrt(1-100t^2/9). Осталось учесть, что если arccos(x)<=2pi/5, по ОДЗ, то arcsin(x)>=pi/10, а также arcsin(x)<=3pi/10, решить неравенство на t, перевести его на арксинус, потом на х, и получить ответ!

Показать ответ и решение

Для начала запишем ОДЗ:

(| |x|≤1 { | 5-arccosx|≤ 1 |( 21π0 |3π arcsinx|≤ 1

Отсюда следует, что $arccosx≤ 2π,arcsinx ≤ 3π, 5 10$ поэтому $arcsin x> 0,arccosx> 0$ , ведь иначе не выполняется известное тождество $arccosx+ arcsinx = π. 2$

Обозначим $t= arcsinx (t> 0), π$ тогда $arccosx= π − πt. 2$ Неравенство из условия принимает вид

(5 5) ( 10) arcsin 4 − 2t > arccos 3 t

Если $(10 ) π arccos 3 t ≥ 2,$ то неравенство не может выполняться в силу области значений арксинуса.

Нам могут подойти только $10t π 10t π 3π arccos-3 ≤ 2 ⇐⇒ -3 ≤ 2 ⇐⇒ t≤ 20.$

Возьмём синус обеих частей полученного выше неравенства. На промежутке $[π2;π2]$ синус является монотонно возрастающей функцией, поэтому знак неравенства не изменится:

∘-------- 5− 5t> 1 − 100t2 4 2 9

При $5 − 5t< 0 4 2$ решений нет, иначе при $t≤ 1 2$ возведём в квадрат

( 2) ( 100-2) 25 1− 4t+ 4t > 16 1− 9 t

3 3 9 t∈ [− 10,10]∖{50}

arcsinx∈ [− 3π-,3π-]∖ {9π-} 10 10 50

Остаётся учесть, что $arcsinx,arccosx> 0,$ а из условия $arccosx ≤ 2π5-$ следует $arcsinx≥ π10.$

Ответ:

$[sin π-,sin9π)∪(sin9π,sin3π] 10 50 50 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#82708Максимум баллов за задание: 7

Каждый киндер-сюрприз содержит ровно 3 различных гномика, а всего есть 12 разновидностей гномиков. В коробке лежит достаточно много киндер-сюрпризов, причем в любых двух из них тройки гномиков не одинаковы. Какое наименьшее количество киндер-сюрпризов нужно купить, чтобы после их вскрытия в них заведомо оказалось хотя бы по одному гномику всех 12 разновидностей?

Источники: Ломоносов - 2020, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте вместо поставленной задачи подумаем, а насколько много киндеров с различными тройками мы можем купить (зная, какие тройки в них лежат), чтобы у нас не набралось 11 видов?

Подсказка 2

Будем собирать тройки в киндеры из 11 гномиков. На первое место у нас есть возможность поставить одного из 11, на второе.... но ведь тогда все тройки будут посчитаны несколько раз? Нужно это исправить ;)

Показать ответ и решение

Предположим, что $k$ киндер-сюрпризов недостаточно. Тогда среди всех $k$ троек гномиков у нас нет хотя бы одного. Значит, мы получили не более $11$ гномиков, следовательно, не более

11⋅10⋅9 ---3!---= 165

троек гномиков (первый гномик может быть выбран не более, чем $11$ способами, второй — $10$ способами, третий — $9$ способами, при этом порядок выбора гномиков не важен).

Таким образом, для любого $k≤ 165$ нельзя утверждать, что обязательно найдутся все 12 гномиков. При этом, если $k =166,$ то все гномики имеются, ведь если бы у нас не было хотя бы одного гномика, то троек было бы не более, чем $165.$

Ответ: 166

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#91460Максимум баллов за задание: 7

Найдите разложение на простые множители наименьшего натурального числа, имеющего ровно $2020$ различных натуральных делителей.

Источники: Ломоносов - 2020

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно разложение на простые множители натурального числа и мы знаем его количество делителей. Может, есть подходящая формула, которая свяжет условия задачи?

Подсказка 2

Получили равенство, где с одной стороны стоит 2020, а значит, обе части делятся на 101, и мы хотим найти наименьшее натуральное подходящее число. Что это может значить?

Подсказка 3

С 101 разобрались, остались случаи с 2²*5. Аккуратно рассматриваем случаи и находим наименьшее число!

Показать ответ и решение

Разложим 2020 на простые множители

2 2020= 2 ⋅5 ⋅101

Значит, если мы ищем число

n= pα1...pαk, 1 k

то

(α1+ 1)...(αk+ 1)= 22⋅5⋅101

Заметим, что у числа $2100⋅34⋅53$ ровно 2020 делителей. Рассмотрим, какие еще числа подходят.

Какое-то $. αi+1 ..101$ , значит, либо $αi ≥201$ и $n≥ 2201 > 22⋅5⋅101$ (этот случай нам не интересен), либо $αi = 100$ . Далее либо $pi ≥ 3$ и $n≥ 3100 > 22⋅5⋅101$ (этот случай нам не интересен), либо $pi = 2$ .

Без ограничения общности $i= 1$ . Тогда

(α2+ 1)...(αk +1)= 22⋅5

Это выражение можно разложить как $22⋅5 =4 ⋅5 =2 ⋅10= 20$ . Значит, либо какое-то $αj +1 ≥10$ и $n≥ 2100⋅39 > 2100⋅34⋅53$ (этот случай нам не интересен), либо есть $αj = 4$ .

Тут остаются варианты, что $(α1+ 1)...(αk +1)= 22⋅5⋅101$ или $4⋅5⋅101$ . Тогда минимальное $n$ либо $2100 ⋅34⋅53$ , либо $2100 ⋅34⋅5⋅7.$

Ответ:

$2100 ⋅34⋅5⋅7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#98293Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство:

tgarccosx ≤sin arctg x.

Источники: Ломоносов - 2020, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте преобразуем левую и правую часть, чтобы это были выражения, которые мы бы могли выразить через х без тригонометрических функций, пользуясь тем, что tg(x) = sin(x)/cos(x).

Подсказка 2

Получили неравенство √(1 - x²)/x ≤ x/√(1 + x²).

Подсказка 3

Лучше всего здесь, чтобы не думать над знаком икса, привести всё к общему знаменателю, после чего избавиться от иррациональности в числителе и получить стандартное неравенство. Важно не забыть ОДЗ корня и ОДЗ тангенсов в условии!

Показать ответ и решение

В силу тождеств

sinarccosx √1-− x2 tgarccosx = cosarccosx =---x--; sinarctgx =tgarctgx⋅cosarctgx = √-x--- 1+ x2

неравенство принимает вид

√1−-x2 x √1-− x4− x2 --x---≤ √1-+x2 ⇔ --x√1-+-x2-≤ 0 ⇔ (| ( 1)( 1) ⇔ -(-1-− 2x4-)-≤ 0 ⇔ { -x−4√2--x+√42--≥ 0, x √1−-x4+ x2 |( −1≤ x≤x1.

По методу интервалов

[ ) [ ] x ∈ − 1√-;0 ∪ 1√-;1 42 42

Ответ:

$[− 1√-;0)∪[-1√-;1] 42 42$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#102477Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a$ , для каждого из которых при любом $x$ наибольшее из двух чисел

3 x + 3x +a − 9

a+25−x− 3x− 1

положительно.

Источники: Ломоносов - 2020, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По сути задача сводится к тому, что если на координатной плоскости нарисовать верикальную прямую, то верхняя из точек её пересечения с графиками функций из условия должна быть выше оси абцисс. Какой тогда крайний случай такой прямой стоит рассмотреть?

Подсказка 2

Рассмотрите случай, когда она попала в точку пересечения графиков функций из условия! Где должна располагаться это точка?

Подсказка 3

Точка перечения графиков из условия должна располагаться выше оси абцисс! Можем попробовать её угадать ;)

Показать ответ и решение

Функция $f(x)= x3+3x+ a− 9$ строго возрастает, а $g(x)= a+ 25−x − 3x−1$ — убывает. Поэтому указанное в задаче требование на параметр $a$ означает, что точка пересечения графиков этих функций лежит выше оси абсцисс, т.е. их значение в корне $x =2$ (угадываемом) уравнения

3 5−x x−1 x + 3x +a − 9= a+ 2 − 3

положительно, т.е.

3 1 a+ 2 − 3 > 0

a> −5

Ответ:

$(−5;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#102483Максимум баллов за задание: 7

Автомобили Нива и Тойота едут по кольцевой трассе испытательного полигона, четверть которой проходит по грунтовой дороге, а оставшаяся часть — по асфальтовой. Скорость Нивы на грунтовой дороге равна 80 км/ч, а на асфальтовой — 90 км /ч. Скорость Тойоты на грунтовой дороге равна 40 км/ч, а на асфальтовой — 120 км/ч. Автомобили одновременно стартуют в начале грунтовой части трассы и сначала едут по этой грунтовой части. На каком по счёту круге один из автомобилей впервые обгонит другой?

Источники: Ломоносов - 2020, 11.6 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам в условии даны все скорости, а ещё мы можем за S обозначить длину грунтовой части. Давайте тогда попробуем посчитать, кто же кого обгонит и на какой части трассы мог произойти обгон?

Подсказка 2

Мы можем выразить через S время, за которое обе машины проезжают один круг. Давайте порассуждаем, могла ли машина, которая на данном участке едет медленнее, обогнать соперника?

Подсказка 3

Именно Нива совершит обгон на грунтовом участке дороги! Тогда имеет смысл рассмотреть период первого обгона и посчитать, кому же сколько пришлось ехать до данной точки.

Подсказка 4

Пусть к моменту первого обгона Тойота проедет n целых кругов + S*x по грунтовой части, причем 0 < x < 1. Осталось понять, сколько же времени пригодилось машинам, чтобы добраться до этого момента, и воспользоваться условием!

Показать ответ и решение

Пусть $S$ км — длина грунтовой части трассы, тогда $3S$ км — длина асфальтовой части. Нива проезжает один круг за

S- 3S 11S 80 + 90 = 240 ч ,

а Тойота — за

S 3S 12S 11S 40 + 120 = 240 > 240 ч

Поскольку автомобили начинают движение по грунтовой дороге, где скорость Нивы выше, Нива изначально выйдёт вперёд и впоследствии совершит обгон, причём обгон может произойти только на грунтовой дороге, где скорость Нивы выше. Пусть к моменту первого обгона Тойоты Нивой Тойота проедет $n$ целых кругов и ещё расстояние $S⋅x$ , где $0< x< 1$ (если $x= 1$ , обгона не произойдёт: автомобили поравняются, но после выезда на асфальтовую дорогу Тойота поедет быстрее Нивы). Тогда к моменту обгона время Тойоты в пути будет равно $122S40-⋅n+ S4⋅x0-$ , а время Нивы будет равно

11S ⋅(n+ 1)+ S⋅x- 240 80

Поскольку автомобили стартуют одновременно, получаем уравнение

12S ⋅n+ S⋅x-= 11S-⋅(n +1)+ S⋅x, 240 40 240 80

откуда

12n+ 6x= 11n +11+ 3x

n +3x= 11

Поскольку $0< x< 1$ , отсюда следует, что $n =9$ или $n= 10$ . Значит, к моменту первого обгона Тойота проедет 9 полных кругов и перейдёт на 10-й, а Нива проедет 10 полных кругов и перейдет на 11-й.

Ответ:

Нива на своём $11−$ м круге обгонит Тойоту на её $10−$ м круге

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#103073Максимум баллов за задание: 7

Куб с ребром $a= ∘2+-√3$ освещается цилиндрическим лучом света радиуса $ρ= √2,$ направленным вдоль главной диагонали куба. Найдите площадь освещенной части поверхности куба.

Источники: Ломоносов - 2020, 11.7 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Работать в трёхмерном пространстве не очень хочется, лучше бы перейти в двумерное. В задаче просят найти площадь некоторой фигуры. Но вы же знаете, что площадь фигуры связана с площадью её ортогональной проекции, умноженной на косинус угла между плоскостями. Дак почему бы не перейти на плоскость?

Подсказка 2

Ясно, что нужно рассмотреть проекцию куба на плоскость, перпендикулярную оси луча. Косинус угла между осью луча и нормали к любой грани равен 1/√3 (почему?). Осталось посчитать плоскость проекции.

Подсказка 3

Ясно, что проекцией куба будет правильный шестиугольник. Осталось разобраться, какую часть шестиугольника охватит луч.

Подсказка 4

Он охватит почти весь шестиугольник, за исключением шести сегментов. Их площади можно найти как разность между соответствующими треугольником и сегментом окружности.

Показать ответ и решение

Используя скалярное произведение, легко показать, что косинус угла между главной диагональю (осью луча) и любым ребром куба равен $√- 1∕ 3$ . Такое же значение имеет косинус угла между осью луча и нормалью к любой грани куба.

$PIC$

Изобразим проекцию куба на плоскость, перпендикулярную оси луча. Площадь проекции на эту плоскость любой плоской фигуры, расположенной на какой-либо грани куба, равна площади самой фигуры, умноженной на косинус угла между гранью и плоскостью проекции, т. е. на $1∕√3$ . Поэтому, вычислив площадь проекции освещённого участка куба и умножив её на $√3-$ , мы получим требуемый ответ.

Длина проекции любого ребра равна произведению длины ребра $a$ на косинус угла между ребром и плоскостью проекции или на синус угла между реброми осью луча, т. е. $a∘2∕3.$ В случае, когда радиус луча $ρ$ не превышает радиуса $r$ вписанного в изображённый правильный шестиугольник окружности, проекция освещённого участка имеет площадь, равную $πρ2.$ Радиус вписанной в шестиугольник окружности равен $r =a∘2-∕3-⋅√3-∕2 =a∕√2.$ Таким образом, при $ρ≤ a∕√2-$ площадь освёщенного участка равна $πρ2√3.$ Если радиус $ρ$ больше или равен радиусу $R$ описанной около шестиугольника окружности, то полностью освещены три грани куба, т. е. при $ρ ≥R = a∘2-∕3$ площадь освещенного участка равна $3a2.$ Рассмотрим случай $a∕√2 <ρ <a∘2-∕3.$ Площадь проекции освещённого участка получается вычитанием из $πρ2$ шести площадей сегментов, вылезающих за шестиугольник. Площадь каждого такого сегмента равна разности площадей соответствующих сектора и треугольника. Угол сектора равен $2arccosa∕ρ√2.$ Поэтому площадь сегмента равна

∘ -----2 ( ∘-----) ρ2arccos-a√- − 12 ⋅2 ρ2− a2-⋅√a-= ρ2 arccosq− q 1 − q2 ρ 2 2

где $q =a∕ρ√2∈ (√3∕2;1),$ а площадь освещённого участка равна

S = ρ2√3-(π− 6arccosq+ 6q∘1−-q2)

Отметим, что соотношение $q = a∕ρ√2∈ (√3∕2;1)$ равносильно неравенству $a∕√2< ρ< a∘2∕3,$ определяющему $3$ -й рассматриваемый случай. По условию имеем имеем

∘ ------ ∘ ---√-- -a- 2+-√3 1+--32- π- (√3- ) q = ρ√2-= 2⋅2 = 2 =cos12 ∈ 2 ;1 ∘ ---√--∘ ------√-- q∘1-− q2-= 2+--3 ⋅ 1− 2+--3 = 1 ( 4 ) 4 4 S = 2√3 π − π + 6 =√3(π+ 3) 2 4

Ответ:

$√3(π+ 3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#103074Максимум баллов за задание: 7

Известно, что $m,n,k$ — различные натуральные числа, большие $1,$ число $log n m$ рационально, и, кроме того,

√log-n- √log-k k m =m n

Найдите минимальное из возможных значений суммы $k+5m + n.$

Источники: Ломоносов - 2020, 11.8 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте преобразуем равенство из условия. Что можно сделать с обеими частями, чтобы перейти к равенству произведений?

Подсказка 2

Возьмите от обеих частей логарифм по основанию m! После некоторых преобразований перейдём к произведению логарифмов по одинаковому основанию, и это произведение равно единичке ;)

Подсказка 3

Так как логарифмы у нас по основанию m, имеет место выразить m и k через n в какой-то степени. Тогда можно будет записать равенство без логарифмов.

Подсказка 4

Отлично, теперь видно, что степени, в которые надо возвести n для равенства с k и m, выражаются красиво друг через друга! Теперь мы знаем, какому виду удовлетворяют подходящие тройки чисел.

Подсказка 5

Разберите случаи того, какой вид может принимать q, где n^q = m. В каком диапазоне оно может быть? Рациональное ли оно?

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное равенство, учитывая, что числа $m,n,k$ больше $1$ и соответствующие логарифмы положительны:

√logmn- √lognk ∘----- ∘ ----- k =m ⇔ logm k⋅ lo∘gmn-=- lognk ⇔ ⇔ log k⋅∘log--n= logmk-⇔ m m logmn ⇔ ∘logmk-⋅logm n= 1⇔ logmk⋅log2m n= 1

Выполнив замену $k =np,m =nq,$ где $p⁄= 0,q ⁄= 0,$ получим

p ⋅ 1-= 1⇔ p= q3. q q2

Таким образом, все тройки $(k,m,n),$ удовлетворяющие условию задачи, имеют вид $(nq3,nq,n) .$

Ясно, что $q > 0:$ в противном случае из натуральности числа $n$ следует, что число $nq$ лежит в интервале $(0;1)$ и не является натуральным. Случай $q = 1$ противоречит условию задачи. Если $q ∈ (0;1),$ то $q = 1∕r,$ где $r> 1,$ и тогда тройку натуральных чисел $(q3 q ) n ,n,n$ можно записать в виде $( r2 r3) l,l ,l$ с натуральным $l.$ Сумма $k+ 5m+ n$ для этой тройки будет больше такой же суммы для чисел, входящих в тройку $( 3 ) lr ,lr,l .$ Значит, $q > 1.$

При целых $q$ тройка чисел с минимальной суммой $k +5m + n$ получается при $n =2,q = 2:$ это числа $k= 28,m = 22,n= 2,$ и для них сумма $k +5m +n$ равна $278.$ Если $q$ рациональное, но не целое, то для того, чтобы число $3 nq$ было целым, необходимо, чтобы $n$ было как минимум восьмой степенью целого числа, не меньшего $2,$ и, конечно же, сумма $3 nq + 5nq+n$ будет больше, чем $278$ (т.к. $n ≥256).$

Ответ: 278

Предыдущая подтема

Следующая подтема