Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Физтех - задания по годам → .16 Физтех 2024

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Разделы подтемы Физтех - задания по годам

Физтех до 2010 и вступительные на Физтех

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#135357Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ на медиане $AM$ и биссектрисе $CL$ как на диаметрах построены окружности $Ω$ и $ω$ соответственно, пересекающиеся в точках $P$ и $Q.$ Отрезок $PQ$ параллелен высоте треугольника $ABC,$ проведённой из вершины $B.$ Окружность $Ω$ пересекает сторону $AC$ повторно в точке $N.$ Найдите длины сторон $AC$ и $BC,$ если $AB = 10,$ $AN = 8.$

Источники: Физтех - 2024, 10.7 (см. olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $T$ — точка пересечения $AM$ и $CL,$ $O 1$ и $O 2$ — середины этих отрезков соответственно. Тогда $O O ⊥ PQ, 1 2$ так как $PQ$ параллелен высоте, проведенной к $AC,$ то $AC ∥O1O2.$ Треугольники $TO1O2$ и $TAC$ подобны по двум углам. Обозначим $TO1 =x,$ $TO2 = y,$ $AO1 k= TO1.$ Тогда

TA = (k +1)x

TC = (k+1)y

Поскольку $O1$ и $O2$ — середины $AM$ и $CL,$

MT = AO − TO =(k− 1)x 1 1

LT =CO2 − TO2 = (k− 1)y

Значит, $LT :TC = MT :TA,$ и треугольники $LMT$ и $CAT$ подобны, откуда $LM ∥ AC.$ Следовательно, $L$ — середина стороны $AB,$ отрезок $CL$ является в треугольнике $ABC$ медианой и биссектрисой, поэтому треугольник равнобедренный $(AC = BC).$

$PIC$

Пусть окружность $Ω$ пересекает сторону $AB$ в точке $K,$ а сторону $BC$ вторично пересекает в точке $V.$ Угол $MKA$ прямой, поскольку $AM$ — диаметр окружности, поэтому $MK$ — средняя линия треугольника $CBL.$ Отсюда