Тема Натуральные числа и нуль

05 НОД и НОК

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела натуральные числа и нуль

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#105373

Используя алгоритм Евклида, найти:

(a) $НОД(607,477);$

(b) $НОД(343,246);$

Источники: "Задачи на целые числа с решениями и указаниями" из серии "ВМК МГУ - школе", Н. Л. Семендяева (см. www.mathedu.ru)

Показать ответ и решение

(a) Будем вычитать из большего числа меньшее, пока числа не станут равны:


$607$	$477$

$607− 477= 130$	$477$

$130$	$477− 3⋅130= 477− 390= 87$

$130 − 87= 43$	$87$

$43$	$87 − 2⋅43= 87− 86 =1$

$43− 42 ⋅1 =43− 42= 1$	$1$

$1$	$1$

(b) Будем вычитать из большего числа меньшее, пока числа не станут равны:


343	$246$

$343− 246= 97$	$246$

$97$	$246 − 2⋅97= 246− 194= 52$

$97− 52 =45$	$52$

$45$	$52− 45 =7$

$45− 6⋅7= 45 − 42= 3$	$7$

$3$	$7− 2⋅3= 7− 6 =1$

$3− 2⋅1= 3− 2= 1$	$1$

$1$	$1$


$6494$	$63$

$6494 − 103⋅63= 6494− 6489 =5$	$63$

$5$	$63− 12 ⋅5 =63− 60= 3$

$5− 3=2$	$3$

$2$	$3 − 2 =1$

$2− 1=1$	$1$

$1$	$1$

Ответ:

(a) $НОД(607,477)=1;$ (b) $НОД (343,246)= 1;$ (c) $НОД (6494,63)= 1.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#105380

Сократите дробь:

(a) $3985713;$

(b) $60125491;$

(d) $10027- 32671.$

Показать ответ и решение

Чтобы сократить дробь, необходимо разделить её числитель и знаменатель на их НОД. Найдём НОД наших чисел, используя алгоритм Евклида.

(a) Будем вычитать из большего числа меньшее, пока числа не станут равны:


$3953$	$871$

$3953 − 4⋅871= 3953− 3484 =469$	$871$

$469$	$871− 469=402$

$469− 402= 67$	$402$

$67$	$402 − 5⋅67= 402− 335= 67$

$67$	$67$

Сократим нашу дробь на $67:$

∖:67 -3958371---= 5913-

(b) Будем вычитать из большего числа меньшее, пока числа не станут равны:


$6059$	$1241$

$6059 − 4⋅1241= 6059− 4964 =1095$	$1241$

$1095$	$1241− 1095= 146$

$1095− 7 ⋅146= 1095 − 1022= 73$	$146$

$73$	$146− 73 =73$

$73$	$73$

Сократим нашу дробь на $73:$

∖:73 -6059----= 83- 1241 17


$6821$	$2147$

$6821 − 3⋅2147= 6821− 6441 =380$	$2147$

$380$	$2147− 5⋅380 =2147− 1900= 247$

$380− 247= 133$	$247$

$133$	$247− 133 =114$

$133− 114= 19$	$114$

$19$	$114− 5 ⋅19 =114− 95 =19$

$19$	$19$

Сократим нашу дробь на $19:$

6821∖:19 359 --2147--= 113

(d) Будем вычитать из большего числа меньшее, пока числа не станут равны:


$10027$	$32671$

$10027$	$32671− 3⋅10027 =32671− 30081= 2590$

$10027− 3⋅2590 =10027− 7770= 2257$	$2590$

$2257$	$2590− 2257= 333$

$2257− 6⋅333 =2257− 1998= 259$	$333$

$259$	$333− 259= 74$

$259− 3⋅74= 259 − 222= 37$	$74$

$37$	$74− 37= 37$

$37$	$37$

Сократим нашу дробь на $37:$

10027∖:37 271 --32671-- = 883-

Ответ:

(a) $3953 59 871 = 13;$ (b) $6059 83- 1241 = 17;$ (c) $6821 359 2147 = 113;$ (d) $10027 271 32671 = 883.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#105381

Найдите НОД чисел:

(a) $72$ и $108;$

(b) $168$ и $180;$

(d) $270,$ $450$ и $555.$

Источники: "НОД и НОК", Яковлев И. В. (см mathus.ru)

Показать ответ и решение

(a) Разложим числа $72$ и $108$ на простые множители и определим общие:

72= 8⋅9= 2⋅4⋅3⋅3= 2⋅2⋅2⋅3⋅3

108= 9⋅12 =3 ⋅3 ⋅3 ⋅4 =3⋅3⋅3⋅2⋅2= 2⋅2⋅3⋅3⋅3

Найдём НОД, перемножив выбранные множители:

Н ОД(72,108)= 2⋅2⋅3⋅3= 36

(b) Разложим числа $168$ и $180$ на простые множители и определим общие:

168 =12⋅14= 3⋅4⋅2⋅7= 3⋅2⋅2⋅2⋅7= 2⋅2⋅2⋅3⋅7

180 =10⋅18= 2⋅5⋅3⋅6= 2⋅5⋅3⋅2⋅3= 2⋅2⋅3⋅3⋅5

Найдём НОД, перемножив выбранные множители:

НОД (168,180)= 2⋅2⋅3=12

360 =18⋅20= 3⋅6⋅4⋅5= 3⋅2⋅3⋅2⋅2⋅5= 2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅5

1050= 25 ⋅42= 5⋅5⋅6⋅7= 5⋅5⋅2⋅3⋅7= 2⋅3⋅5⋅5⋅7

Найдём НОД, перемножив выбранные множители:

Н ОД(360,1050)= 2⋅3⋅5= 30

(d) Разложим числа $270,$ $450$ и $555$ на простые множители и определим общие:

270 =10⋅27= 2⋅5⋅3⋅9= 2⋅5⋅3⋅3⋅3= 2⋅3⋅3⋅3⋅5

450 =15⋅30= 3⋅5⋅5⋅6= 3⋅5⋅5⋅2⋅3= 2⋅3⋅3⋅5⋅5

555= 15⋅37 =3⋅5⋅37

Найдём НОД, перемножив выбранные множители:

Н ОД(270,450,555)= 3⋅5= 15

Ответ:

(a) $36;$ (b) $12;$ (c) $30;$ (d) $15.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#105382

Найдите НОК чисел:

(a) $15$ и $18;$

(b) $36$ и $48;$

(d) $72,$ $120$ и $264.$

Источники: "НОД и НОК", Яковлев И. В. (см mathus.ru)

Показать ответ и решение

(a) Разложим числа $15$ и $18$ на простые множители и определим общие:

15= 3⋅5

18= 3⋅6= 3⋅2⋅3= 2⋅3⋅3

Найдём НОК, перемножив одно число на уникальные множители другого:

Н ОК(15,18)=15⋅2⋅3 =18⋅5= 90

(b) Разложим числа $36$ и $48$ на простые множители и определим общие:

36= 6⋅6= 2⋅3⋅2⋅3= 2⋅2⋅3⋅3

48= 6⋅8= 2⋅3⋅2⋅4=2 ⋅3 ⋅2 ⋅2 ⋅2 =2 ⋅2 ⋅2⋅2⋅3

Найдём НОК, перемножив одно число на уникальные множители другого:

НОК (36,48)= 36⋅2⋅2= 48⋅3= 144

252 =12⋅21= 3⋅4⋅3⋅7= 3⋅2⋅2⋅3⋅7= 2⋅2⋅3⋅3⋅7

360 =18⋅20= 3⋅6⋅4⋅5= 3⋅2⋅3⋅2⋅2⋅5= 2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅5

Найдём НОК, перемножив одно число на уникальные множители другого:

НОК (252,360)= 252⋅2⋅5 =360⋅7= 2520

(d) Разложим числа $72,$ $120$ и $264$ на простые множители и определим общие:

72= 8⋅9= 2⋅4⋅3⋅3= 2⋅2⋅2⋅3⋅3

120 =10⋅12= 2⋅5⋅3⋅4= 2⋅5⋅3⋅2⋅2= 2⋅2⋅2⋅3⋅5

264= 12⋅22= 3⋅4⋅2⋅11 =3⋅2⋅2⋅2⋅11= 2⋅2⋅2⋅3⋅11

Найдём НОК, перемножив одно число на уникальные множители других:

НО К(72,120,264)= 72⋅5⋅11= 120 ⋅3 ⋅11= 264⋅3⋅5= 3960

Ответ:

(a) $90;$ (b) $144;$ (c) $2520;$ (d) $3960.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#105383

Садовый участок площадью $54$ м на $48$ м решили окружить забором. Для этого в каждом углу участка и по периметру через равные промежутки установят столбы. Какое минимальное количество столбов можно установить и на каком расстоянии друг от друга они должны находиться?

Источники: "Сборник текстовых задач на нахождение НОД и НОК" (см. vk.com)

Показать ответ и решение

Садовый участок имеет форму прямоугольника, найдём его периметр в метрах:

P = 2⋅(a+b)= 2⋅(54+ 48)=2 ⋅102= 204

Чтобы установить минимальное количество столбов, необходимо, чтобы расстояние между ними было максимальным. И чтобы столбы находились на равных промежутках по каждой из сторон, это расстояние должно быть равно их наибольшему общему делителю. Найдём НОД чисел $54$ и $48,$ разложив их на множители и определив общие:

54= 6⋅9 =2 ⋅3 ⋅3 ⋅3

48= 6⋅8= 2⋅3⋅2⋅4=2 ⋅3 ⋅2 ⋅2 ⋅2 =2 ⋅2 ⋅2⋅2⋅3

НО Д(54,48)= 2⋅3= 6

6 м — максимальное расстояние между столбами. Тогда необходимое количество столбов — $204:6= 34.$

Ответ:

$34$ столба, $6$ м.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#105385

Маша на день рождения Медведя надула шарики. Сколько было надувных шаров, если Маша смогла поделить их количество на $2,$ на $3,$ на $5,$ на $10,$ на $15$ нацело и при этом количество шаров является наименьшим из возможных?

Источники: "Сборник текстовых задач на нахождение НОД и НОК" (см. vk.com)

Показать ответ и решение

Чтобы найти количество шаров, которое делится на $2,$ $3,$ $5,$ $10$ и $15$ , необходимо вычислить наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел.

Разложим каждое число на простые множители и определим их НОК:

2= 2

3= 3

5= 5

10= 2⋅5

15= 3⋅5

Н ОК(2,3,5,10,15)= 2⋅3⋅5= 30

Таким образом, количество шаров должно быть кратно $30.$ Наименьшее количество шаров, удовлетворяющее условию, равно $30.$

Ответ:

$30$ шаров.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#105386

В теплице посадили в $2$ ряда разные сорта орхидей. Цветы одного сорта разместили на расстоянии $15$ см между растениями, а другого — на $18$ см. Через какое расстояние орхидеи обоих сортов окажутся рядом?

Источники: "Сборник текстовых задач на нахождение НОД и НОК" (см. vk.com)

Показать ответ и решение

Чтобы найти расстояние, на котором орхидеи обоих сортов окажутся рядом, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) расстояний между растениями.

Разложим числа $15$ и $18$ на простые множители и определим общие:

15= 3⋅5

18= 3⋅6= 3⋅2⋅3= 2⋅3⋅3

Перемножим одно из данных нам чисел на уникальные множители другого:

Н ОК(15,18)=15⋅2⋅3 =18⋅5= 90

Таким образом, орхидеи обоих сортов будут рядом через каждые $90$ см.

Ответ:

$90$ см.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#105387

Жили-были дед и баба. Была у них курочка Ряба. Может ли Ряба сносить каждое второе яичко простое, а каждое третье — золотое?

Источники: "Сборник текстовых задач на нахождение НОД и НОК" (см. vk.com)

Показать ответ и решение

Нет, не может, потому что тогда каждые $2 ⋅3 =6$ яичек будет появляться яйцо, одновременно простое и золотое.

Ответ:

Нет, не может.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#105388

НОК двух чисел равно $240,$ а их НОД равен $8.$ Найти эти числа, если известно, что меньшее из чисел содержит только один множитель $5,$ не входящий в большее.

Показать ответ и решение

Согласно свойству НОК и НОД, выполняется равенство:

НОД(a,b)⋅НО К(a,b)= ab

Тогда произведение наших чисел равно $240⋅8 =1920.$

При этом НОД наших чисел равен $8$ и меньшее из чисел содержит только один множитель $5,$ не входящий в большее число. Значит, меньшее число будет делиться на $40.$ То есть оно может быть равно $40,$ $80,$ $120$ и т. д.

Заметим, что на самом деле меньшее из наших чисел не может быть больше $40.$ Если оно будет не меньше $80,$ то станет большим ( $1920 :80 =24,$ $80> 24).$ Значит, меньшее из наших чисел равно $40,$ а большее — $1920 :40 =48.$

Убедимся, что НОД наших чисел равен $240,$ а НОК — $8,$ разложим их на множители и выделив общие:

40= 5⋅8= 5⋅2⋅4=5 ⋅2 ⋅2 ⋅2 =2 ⋅2 ⋅2 ⋅5

48= 6⋅8= 2⋅3⋅2⋅4=2 ⋅3 ⋅2 ⋅2 ⋅2 =2 ⋅2 ⋅2⋅2⋅3

НО Д(40,48)= 2⋅2⋅2= 8

НОК (40,48)= 40⋅2⋅3= 48⋅5= 240

Числа $40$ и $48$ подходят.

Ответ:

$40$ и $48.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#105389

Даны дроби $8- 15$ и $18. 35$ Найти наибольшее из всех чисел, при делении на которое каждой из данных дробей получаются целые числа.

Показать ответ и решение

Для начала отметим, что это число не может быть целым, потому что при делении дроби на целое число получится дробь. Значит, число, которое мы ищем, дробное. Запишем его, как $a b$ и посмотрим, что получится при делении каждой из дробей на него:

-8 : a=-8 ⋅ b=-8b- 15 b 15 a 15a

18 a 18 b 18b 35 :b = 35 ⋅a = 35a

Чтобы числа $8b- 15a$ и $18b- 35a$ оказались целыми, необходимо, чтобы $b$ делилось на $15a$ и на $35a.$ Но тогда $b$ будет делиться и на $a,$ значит, дробь $ab$ можно будет сократить на $a,$ после чего она будет выглядеть, как $1c,$ где $c= b:a,$ $. c..15,$ $. c..35.$ При этом мы хотим, чтобы $1c$ была наибольшей из возможных, значит, хотим, чтобы $c$ было наименьшим из возможных. Тогда $c= НО К(15,35).$

Найдём НОК этих чисел, разложив их на множители и найдя общие из них:

15= 3⋅5

35a =5 ⋅7

НОК (15,35)= 15⋅7= 35⋅3= 105

Получается, $c= 105.$ Тогда искомая дробь — $1105.$

Ответ:

$-1-. 105$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#105390

Даны дроби $35- 396$ и $28. 297$ Найти наименьшее положительное из всех чисел, при делении которого на каждую из данных дробей получаются целые числа.

Показать ответ и решение

-35-: a = 35-⋅ b =-35b 396 b 396 a 396a

-28- a 28- b -28b 297 : b = 297 ⋅a =297a

Чтобы числа $35b 396a$ и $-28b 297a$ оказались целыми, необходимо, чтобы $b$ делилось на $396a$ и на $297a.$ Но тогда $b$ будет делиться и на $a,$ значит, дробь $ab$ можно будет сократить на $a,$ после чего она будет выглядеть, как $1c,$ где $c= b:a,$ $. c..396,$ $. c..297.$ При этом мы хотим, чтобы $1c$ была наибольшей из возможных, значит, хотим, чтобы $c$ было наименьшим из возможных. Тогда $c= НО К(396,297).$

Найдём НОК этих чисел, разложив их на множители и найдя общие из них:

396= 18⋅22= 3⋅6⋅2⋅11 =3⋅2⋅3⋅2⋅11= 2⋅2⋅3⋅3⋅11

297= 11⋅27= 11 ⋅3 ⋅9 =11⋅3⋅3⋅3= 3⋅3⋅3⋅11

НОК (396a,297a) =396a⋅3= 297a⋅2⋅2= 1188a

Получается, $b= 1188a.$ Тогда $ab = 11a88a = 11188.$

Ответ:

$--1 . 1188$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#105391

Существуют ли натуральные числа $a$ и $b$ такие, что дроби $a, b$ $a+1, b$ $a+1 b+1$ несократимы?

Показать ответ и решение

Да, можно, и таких натуральных чисел $a$ и $b$ довольно много. Например, при $a= 2,$ $b=7 :$ $2 7$ несократимая, $3 7$ несократимая и $3 8$ несократимая. А при $a =6$ и $b= 5:$ $6 5$ несократимая, $7 5$ несократимая и $7 6$ несократимая.

Как дойти до этого примера, не перебирая слишком много чисел? Заметим, что если дроби $a b,$ $a+1 b$ и $a+1 b+1$ несократимы, то $НОД(a,b)= НОД (a +1,b)= НО Д(a+1,b+ 1)= 1.$ При этом хотя бы одно из чисел $a$ и $a+1$ чисел чётное, как и одно из чисел $b$ и $b+ 1.$ НОД чётных чисел всегда больше $1,$ т. к. содержит в своём разложении на множители множитель $2.$ Значит, нам нужно внимательно следить за чётностью чисел $a$ и $b.$

Если $a$ и $b$ чётные, то дробь $a b$ сократима на $2.$ Если $a$ чётное, а $b$ нечётное, то никаких видимых проблем нет. Если $a$ нечётное, а $b$ чётное, то дробь $a+1 -b-$ сократима на $2.$ Если $a$ и $b$ нечётные, то дробь $a+1 -b+1$ сократима на $2.$ Получается, единственный вариант, который нас устраивает — когда числитель дробь чётный, а знаменатель — нечётный.

Если мы переберём для $a$ несколько чётных значений, а для $b$ — несколько нечётных, то мы обязательно найдём подходящие нам числа.

Ответ:

Да, существуют, например, $a= 2$ и $b= 7$ или же $a= 6$ и $b= 5.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#105392

На складе имеются ножи и вилки. Число тех и других, вместе взятых, больше $300,$ но меньше $400.$ Если ножи и вилки вместе считать десятками или дюжинами, то в обоих случаях получается целое число десятков и целое число дюжин. Сколько было ножей и вилок на складе, если ножей было на $160$ меньше, чем вилок?

Показать ответ и решение

Если ножи и вилки вместе считать десятками или дюжинами, то в обоих случаях получается целое число десятков и целое число дюжин. Значит, количество приборов делится на $НОК(10,12).$ Посчитаем его, разложив числа на множители и определив общие из них:

10= 2⋅5

12= 3⋅4= 3⋅2⋅2= 2⋅2⋅3

Н ОК(10,12)=10⋅2⋅3 =12⋅5= 60

Таким образом, количество приборов должно делиться на $60.$ Среди чисел, больших $300,$ но меньших $400,$ ровно $1$ число, делящееся на $60 :$ это $360.$ Значит, на складе было $300$ приборов.

Теперь выясним, сколько ножей и сколько вилок было на складе. Обозначим количество ножей за $x.$ Если ножей $x$ штук, то вилок — $x +160.$ Составим уравнение:

x +(x+ 160)= 360

x+ x+ 160 =360

2x+ 160 =360

2x= 200

x= 100

Таким образом, на складе было $100$ ножей и $100+ 160= 260$ вилок.

Ответ:

$100$ ножей, $260$ вилок.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#105393

Три автобуса в $6$ часов утра отправились с одной и той же станции по трём различным маршрутам и совершают рейс туда и обратно: первый автобус — за $1$ ч $30$ мин, второй — за $1$ ч $50$ мин и третий — за $1$ ч $10$ мин. По совершении каждого рейса автобусы через $10$ минут отправляются в следующий рейс по тому же маршруту. Во сколько

(a) первый автобус отправится одновременно со вторым;

(b) второй автобус — с третьим;

Показать ответ и решение

Для удобства переведём все временные промежутки в минуту: $1$ ч $30$ мин $= 60+ 30$ мин $=90$ мин, $1$ ч $50$ мин $= 60+ 50$ мин $=110$ мин, $1$ ч $10$ мин $= 60+ 10$ мин $=70$ мин.

С учётом $10−$ минутных перерывов, первый автобус отправится одновременно со вторым через $НО К(100,120)$ мин, второй с третьим — через $НО К(120,80)$ мин, все три автобуса — через $Н ОК(100,120,80)$ мин. Поэтому будет полезно заранее разложить каждое из чисел $100,$ $120$ и $80$ на множители и выделить общие из них:

100= 10 ⋅10 =2⋅5⋅2⋅5= 2⋅2⋅5⋅5

120 =10⋅12= 2⋅5⋅3⋅4= 2⋅5⋅3⋅2⋅2= 2⋅2⋅2⋅3⋅5

80= 8⋅10 =2 ⋅4 ⋅2 ⋅5 =2 ⋅2⋅2⋅2⋅5

Теперь можем посчитать НОК чисел для каждого из пунктов.

(a) Посчитаем, через сколько минут первый автобус отправится одновременно со вторым:

Н ОК(100,120)= 100⋅2⋅3= 120⋅5= 600

Первый автобус отправится одновременно со вторым через $600$ минут, или же через $600 :60= 10$ часов, то есть в $16:00.$

(b) Посчитаем, через сколько минут второй автобус отправится одновременно со вторым:

НО К(120,80)= 120⋅2= 80 ⋅3 =240

Второй автобус отправится одновременно с третьим через $240$ минут, или же через $240:60= 4$ часа, то есть в $10:00.$

НОК (100,120,80)= 100⋅2⋅3⋅2= 120⋅5⋅2= 80⋅5⋅3= 1200

Все три автобуса одновременно отправятся с конечной станции через $1200$ минут, ли же через $1200:60= 20$ часов, то есть в $2:00$ следующих суток.

Ответ:

(a) $16 :00;$ (b) $10 :00;$ (c) $2 :00$ следующих суток.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#105394

У Деда Мороза $525$ мандаринов и $735$ конфет. Нужно составить из них одинаковые наборы, причём так, чтобы раздать их наибольшему количеству детей. Сколько мандаринов и сколько конфет должно быть тогда в наборе? Сколько детей получат подарки?

Источники: "НОД и НОК", Яковлев И. В. (см mathus.ru)

Показать ответ и решение

Для начала ответим на второй вопрос задачи и определим, сколько детей получат подарки. Так как наибольший общий делитель $525$ и $735$ — это наибольшее число, на которое можно разделить и количество мандаринов, и количество конфет, то количество детей, которые получат подарки, будет равно именно ему.

Найдём НОД количества мандаринов и конфет. Разложим числа $525$ и $735$ на простые множители и определим общие:

525= 21 ⋅25 =3⋅7⋅5⋅5= 3⋅5⋅5⋅7

735= 15⋅49= 3⋅5⋅7⋅7

Перемножим выбранные множители:

Н ОД(525,735)= 3⋅5⋅7= 105

Определим количество мандаринов и конфет в наборе. Для этого разделим количество мандаринов и конфет на НОД.

Количество мандаринов в наборе:

525:105 =5

Количество конфет в наборе:

735:105 =7

Ответ:

$5$ мандаринов и $7$ конфет; $105$ детей.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#105395

Длина шага Вани равна $75$ см, Тани — $60$ см, а их папы — $1$ м $5$ см. Гуляя, все трое сделали целое число шагов. Какое наименьшее расстояние они могли пройти?

Источники: "НОД и НОК", Яковлев И. В. (см mathus.ru)

Показать ответ и решение

Чтобы найти наименьшее общее расстояние, которое могли пройти Ваня, Таня и их папа, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их шагов.

Переведём длину шагов папы в сантиметры для удобства. $1$ м $5$ см = $100$ см + $5$ см = $105$ см.

Теперь найдем НОК чисел $75$ , $60$ и $105$ . Разложим эти числа на простые множители и определим общие:

75= 5⋅15 =5 ⋅3 ⋅5 =3⋅5⋅5

60= 6⋅10 =2 ⋅3 ⋅2 ⋅5 =2⋅2⋅3⋅5

105= 7⋅15= 7⋅3⋅5= 3⋅5⋅7

Перемножим одно из данных нам чисел на уникальные множители других:

НОК(75,60,105)= 75⋅2⋅2⋅7= 60⋅5⋅7=105⋅5⋅2⋅2= 2100

Получается, наименьшее общее расстояние, которое могли пройти Ваня, Таня и их папа составляет $4200$ см $= 42$ м.

Ответ:

$42$ м.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#105396

Робинзон Крузо каждый второй день пополняет запасы питьевой воды из источника, каждый третий день собирает фрукты и каждый пятый день ходит на охоту. Первого января у Робинзона наступил тяжёлый день: он должен сделать все эти три дела. Какого числа у Робинзона наступит следующий тяжёлый день?

Источники: "НОД и НОК", Яковлев И. В. (см mathus.ru)

Показать ответ и решение

Чтобы найти следующий тяжелый день Робинзона Крузо, нужно определить, когда все три занятия совпадают. Это означает, что нам нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел $2,$ $3$ и $5.$

Поскольку все эти числа простые, их НОК будет равен их произведению:

НОК(2,3,5)= 2⋅3⋅5= 30

Это значит, что Робинзон будет делать все три дела каждые $30$ дней. Если первый тяжелый день был $1$ января, то следующий тяжелый день будет через $30$ дней, то есть $31$ января.

Ответ:

$31$ января.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#105397

Какая из дробей больше: $23- 135$ или $-31? 180$ На сколько?

Источники: "НОД и НОК", Яковлев И. В. (см mathus.ru)

Показать ответ и решение

Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями и вычесть из большей меньшую, необходимо привести их к общему знаменателю. Чтобы полученные числа были не слишком большими, желательно приводить дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ), который равен наименьшему общему кратному (НОК) их знаменателей.

Найдём НОК $135$ и $180.$ Для этого разложим эти числа на простые множители и определим общие:

135= 9⋅15 =3⋅3⋅3⋅5

180 =10⋅18= 2⋅5⋅3⋅6= 2⋅5⋅3⋅2⋅3= 2⋅2⋅3⋅3⋅5

Перемножим одно из данных нам чисел на уникальные множители другого:

Н ОК(135,180)= 135⋅2⋅2= 180⋅3= 540

Тогда НОЗ $21335-$ и $13180$ тоже равен 540.

Теперь найдём дополнительный множитель каждой дроби.

Дополнительный множитель $21335-:$

540:135 =4

Дополнительный множитель $31810-:$

540:180 =3

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель:

∖⋅4 -23-- =-23⋅4 =-92 135 135⋅4 540

∖⋅3 -31-- =-31⋅3 =-93 180 180⋅3 540

Теперь у наших дробей один знаменатель, и мы легко можем их сравнить:

23-∨ 31- 135 180

92- 93- 540 < 540

Вторая дробь больше первой. Вычтем из неё меньшую дробь:

-93− -92-= 93−-92= -1- 180 180 180 180

Ответ:

Вторая дробь больше первой; на $-1-. 180$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#105398

Докажите, что числа $27n +4$ и $18n+ 3$ взаимно простые при любом натуральном $n.$

Показать доказательство

Если числа взаимно простые, то их НОД равен $1.$ Попробуем найти НОД данных нам чисел.

Мы не можем разложить $27n+4$ на простые множители. Что же нам тогда делать? Воспользуемся теоремой Евклида! Будем вычитать из большего числа меньшее, пока числа не станут равны:


$27n +4$	$18n+ 3$

$(27n +4)− (18n+ 3)=9n +1$	$18n+ 3$

$9n+ 1$	$(18n +3)− 2(9n+ 1)=1$

$(9n +1)− 9n ⋅1=1$	$1$

$1$	$1$

Выходит, НОД наших чисел равен $1.$ Значит, они взаимно простые, что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#105399

Доказать, что при любом натуральном $n$ несократима дробь:

(a) $12n+1 30n+2;$

(b) $1421nn++34.$

Показать доказательство

(a) Дробь несократима тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель её числителя и знаменателя равен $1.$ Попробуем найти $НОД(12n +1,30n+ 2).$

Мы не можем разложить $12n+ 1$ на простые множители. Что же нам тогда делать? Воспользуемся алгоритмом Евклида! Будем вычитать из большего числа меньшее, пока числа не станут равны:


$12n+ 1$	$30n +2$

$12n+ 1$	$(30n+ 2)− 2(12n+ 1)= 6n$

$(12n +1)− 2⋅6n = 1$	$6n$

$1$	$6n− (6n − 1)⋅1= 1$

$1$	$1$

Выходит, НОД наших чисел равен $1.$ Значит, дробь $12n+1- 30n+2$ несократима, что и требовалось доказать.

(b) Дробь несократима тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель её числителя и знаменателя равен $1.$ Попробуем найти $Н ОД(14n +3,21n +4).$

Мы не можем разложить $14n+ 3$ и $21n+ 4$ на простые множители. Что же нам тогда делать? Воспользуемся алгоритмом Евклида! Будем вычитать из большего числа меньшее, пока числа не станут равны:


$14n+ 3$	$21n +4$

$14n+ 3$	$(21n+ 4)− (14n +3)= 7n+ 1$

$(14n +3)− 2⋅(7n+ 1)= 1$	$1$

$1$	$1$

Выходит, НОД наших чисел равен $1.$ Значит, дробь $14n+3 21n+4-$ несократима, что и требовалось доказать.