Анализ с конца

Обозначим Тогда

Заметим, что если машинка может проехать из клетки в клетку то она может проехать из клетки в клетку — проезжая тот же маршрут в обратном порядке. Поэтому достаточно доказать, что, выезжая из дома, машинка может выехать за границу квадрата.

Пусть знаки как-то расставлены. «Выпустим» машинку из дома. Пусть она движется согласно "правилам дорожного движения поворачивая попеременно то вправо, то влево. Тогда она не может "зациклиться"и когда-то выйдет за пределы квадрата

Поскольку различных значений у слов конечное количество, то среди слов найдутся два с одинаковым значением. Пусть это слова из и букв

Докажем, что слово имеет то же значение, что и слово из букв Если для такой пары оказывается, что то это верно. В противном случае при

То есть одинаковые значения имеют слова из букв. Отсюда и следует верность утверждения, если продолжать до тех пор, пока

Тогда:

Что и требовалось доказать.

Будем нумеровать игры с нуля. Тогда в игре с номером победитель получает денег.

Обозначим через сумму денег, на которую Паша стал богаче (а Игорь - беднее) по результатам всех игр.

Заметим, что последнюю игру Паша выиграл (иначе за неё он потерял бы больше денег, чем приобрел на всех предыдущих этапах). Значит, последовательность игр можно разбить на серии, в каждой из которых Паша выиграл последнюю игру и проиграл все остальные в серии (возможно, никакие). Если серия началась с игры номер и окончилась игрой номер то Паша выиграл за эту серию

Если то сразу же получаем серию из одного выигрыша такой же суммы

Итак, двоичное представление числа однозначно описывает набор выигранных Пашей игр (за исключением номера последней игры): слагаемое (для означает, что очередная серия началась с игры номер а предыдущая серия оканчивается победой на игре с номером

По условию, Но все числа от 901 до 998 содержат в двоичном представлении поэтому Паша выиграл и игры. При этом есть и последняя игра под номером 9, которую Паша тоже должен был выиграть (как мы отметили в начале решения). В итоге Паша выиграл хотя бы 4 игры.

Кроме этого, за первые 6 игр Паша должен был выиграть хотя бы 3 раза:

1.

из первых четырёх игр выиграна хотя бы одна, так как

2.

из двух следующих также выиграна хотя бы одна, так как

3.

если из первых четырёх выиграна только одна, то после них сумма не более пятая и шестая обязательно должны быть выиграны.

Таким образом, суммарно Паша выиграл не менее игр.

Пример для игр: изначально у Паши было рублей, у Игоря – рублей, всего сыграно 10 игр. Тогда

Значит, Паша выигрывал в играх с номерам а Игорь – в играх В конце у Паши окажется рубля, а у Игоря – рублей.

По условию если лодырь идет через мост, то количество его монет удваивается, после чего уменьшается на монеты. Рассмотрим ситуацию с конца. Тогда за каждый обратный проход по мосту, ему возвращается монеты, после чего их количество уменьшается в раза.

Так как конечное число монет равно а лодырь прошел раз через мост, то изначальное количество монет можно найти так:
— количество монет после моста.
— монет после моста.
— монет после моста.
— монет после моста.
— монет изначально.

Пусть в какой-то момент деревьев было то после посадки дополнительных деревьев — их станет потому что промежутков между соседними — ровно Тогда рассмотрим ситуацию с конца. Если деревьев стало то за год до этого деревьев было
Так как деревьев после второй посадки стало получим:
— деревьев после первой посадки
— деревьев изначально.

Предположим, что иллюзионист смог сделать длины шестов одинаковыми. Посмотрим, что происходило за минуту до этого: от одного из шестов отпилили разницу длин двух других, при этом те два шеста не изменили своей длины. Но тогда за минуту до этого длина отпиленного шеста — была той же самой, потому что разница длин двух других равна Получается, что и за минуту до этого длины всех шестов были одинаковые. Но тогда изначально длины всех шестов одинаковые, что противоречит условию. Значит, иллюзионист не сможет сделать длины шестов одинаковыми.

Докажем более сильное утверждение, что в числе не могло встретиться участка из четных подряд цифр. Предположим, что мог найтись кусок где — четные цифры. Тогда цифра числа, стоящая перед обязана быть четной, так как — должно оканчиваться на то есть быть четным числом (т. к. — четно), но — четное, как сумма четных, поэтому цифра перед этим участком должна быть четной. Значит, мы снова получим четных цифры подряд. Но тогда в числе до участка будут только четные цифры. Но данное в условии число имеет нечетные цифры в начале. Противоречие. Следовательно, в данном числе не мог встретиться участок из последовательных четных цифр, но тогда и не мог встретиться участок

По условию если человек раздает тыквы, то у остальных количество тыкв удваивается, а у него самого, число тыкв уменьшается, на количество розданных тыкв. Рассмотрим ситуацию с конца. Пусть в конце у всех стало по тыкв (по условию число тыкв стало одинаковым). Тогда до каждой раздачи тыкв, у всех, кроме раздающего, было вдвое меньше тыкв, а у раздающего было больше на число тыкв, которое он отдал.

Тогда получим:

— число тыкв в конце у каждого человека за столом (в порядке раздачи тыкв)

— число тыкв после раздачи тыкв -ым

— число тыкв после раздачи -его

— число тыкв после раздачи тыкв -ым

— число тыкв после раздачи тыкв -ым

— изначальное число тыкв у каждого.
По условию у первого было изначально то есть
Тогда у сидевших за столом было тыкв соответственно.

Рассмотрим ситуацию с конца, пронумеруем расы жителей. Пусть оставшийся житель принадлежал к расе раса — раса, которую убивает раса а раса — оставшаяся.

В силу того, что только оставшийся житель мог погубить нечетное число других, а остальные обязаны изничтожить четное число жителей (иначе бы выжили), расы суммарно убили четное число, а раса — суммарно перебила нечетное число (потому что все кроме выжившего лишали жизни четное число врагов).

Тогда к расе принадлежало нечетное число жителей (выживший и все, погибшие от рук расы ), к расе принадлежало нечетное число жителей (все жертвы расы ), а к расе принадлежало четное число жителей (все павшие в бою с расой ).

Тогда можно однозначно определить, что — рыцари, — драконы, — принцессы. То есть выживший был драконом.

Сначала заметим, что так как остановок было 2, промежутков, в которые поезд ехал, было на 1 больше, то есть 3. Поэтому Пин 3 раза съедал половину имевшихся у него пончиков. В итоге у него остался 1 пончик. Значит, перед 3-м перекусом у него было 2 пончика, перед 2-м — 4, перед первым — 8 пончиков, и именно столько пончиков дали Пин в дорогу.

Будем раскручивать операции с конца. После последнего деления на 7 Кар-Карыч получил число 2, следовательно, до этого действия у него было число . До предыдущего (до того, как отнял 6) — , еще одно действие назад — , после первого — , и в самом начале — .

Пойдем с конца. Так каждый день бревен становилось ровно в 2 раза больше, то, если пойти назад, бревен будет становиться в 2 раза меньше. Значит, 30 ноября склад был заполнен полностью, а 29-го ноября склад был заполнена наполовину.

Рассмотрим, как вообще Нюша может получить число 74. Перестановкой цифр 74 получается только из числа 47, которое в свою очередь нельзя получить умножением на 2, а переставлять в нем цифры уже смысла нет, ведь мы снова получим 74. Если же 74 получилось умножением на 2, то из числа . В свою очередь, 37 нельзя получить умножением на 2, так как оно нечетно, а перестановкой цифр оно получается только из числа 73, тоже нечетного, которое нельзя получить умножением на 2. Значит, и таким образом 74 не получить. Итак, Нюша никаким образом не может получить 74.

Каждый день количество денег умножается на 2 и уменьшается на 24. Тогда после последнего рабочего дня и до того, как Панди потратила 24 рубля, у нее было 24 рубля, а до удвоения — 12. Тогда в начале предыдущего (второго рабочего) дня у нее было . Тогда в начале самого первого дня у Панди было рубль.

Пойдем с конца. Так как в итоге на доске написано 8, то за минуту до этого на ней было написано либо , либо . Но 1 не могло быть написано по условию, значит, было написано 24. Далее, еще минутой ранее могло быть написано либо число , либо . Но 72 не подходит под указанный диапазон, значит, было написано именно число 17. Наконец, до числа 17 могло быть написано либо , либо . Но 51 не подходит под условие, значит, исходное число, написанное Ёжиком, равно 10.

Пойдем с конца. Так как последним действием Лосяш вычитал то ли 3, то ли 4, и получил 2018, то перед этим у него могло быть число или . Предпоследним действием Лосяш прибавлял то ли 3, то ли 4. Значит, если после этого у него получилось 2021, то могло быть либо , либо . А если у него получилось 2022, то могло быть либо , либо . Итак, после первого действия у Лосяш получилось либо 2017, либо 2018, либо 2019. И это число было получено в результате умножения количества звезд то ли на 3, то ли на 4. Но на 4 вообще ни одно из этих чисел не делится, а на 3 — только 2019. Значит, Лосяш все-таки умножал на 3 и получил 2019. Поэтому звезд на небе .

Заметим, что мышат, встающих на очередном шаге в ряд, столько же, сколько промежутков между мышатами, которые уже стоят в ряду, то есть на 1 меньше, чем мышат, которые уже стоят. Значит, в последний раз в ряд встали мышонка, а уже стояло там 25 мышат. Перед этим в ряд по тем же соображениям встали мышат, а стояло 13. Наконец, в первый раз в ряд встали мышат, а уже стояло 7 мышат. Именно столько смелых мышат встали в ряд в самом начале.

Пойдем с конца. Раз Пин достался 1 килограмм, то весь оставшийся кусок перед тем, как он подошел, весил 2 кг. Эти 2 кг составляют половину того, сколько взяла Нюша, значит, перед ее приходом кусок весил 4 килограмма. Рассуждаем так дальше: раз после Кроша торт весил 4 кг, то и он съел 4 килограмма, значит, перед ним торт весил килограммов. Именно столько осталось Совуньи, значит, она съела те же 8 килограммов, а перед ней торт весил 16 килограммов. Наконец, Лосяш тоже оставил после себя столько же, сколько съел сам, значит, съел он 16 килограммов, а весь торт весил изначально килограмма.

Своим последним ходом Нюша отдала половину пончиков и у нее осталось 15, значит, эти 15 пончиков также составляют половину. Поэтому всего перед последней дележкой у нее было пончиков, а у Бараша — пончиков. Значит, перед тем, как Бараш делил свои пончики, у него их оказалось в 2 раза больше, чем 16, то есть . Тогда у Нюши до того, как часть пончиков ей вернул Бараш, осталось . Поэтому перед тем, как она первый раз делила пончики, у нее было в 2 раза больше, чем 14, то есть пончиков, а у Бараша — , откуда и ответ.