Гидростатика —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#44341

Тело, привязанное нитью ко дну сосуда, погружено в жидкость на $2∕3$ своего объёма. Сила натяжения нити при этом равна $T1 = 12 Н$ . Для того чтобы вынуть это тело из жидкости на $2∕3$ объёма, нужно отвязать тело ото дна и приложить к нему сверху направленную вертикально вверх силу $T = 9 H 2$ . Определите отношение плотностей жидкости и тела.

Источники: Всеросс., 2018, ШЭ, 9

Показать ответ и решение

Запишем условие равновесия тела в первом случае:

( ) 2- 2- T1 + ρтVg = ρж g ⋅ 3V ⇒ 3 ρж − ρт gV = T1,

где $ρт$ - плотность тела, $ρж$ - плотность жидкости, $V$ - объём тела. Условие равновесия тела во втором случае:

( ) 1 1 T2 + ρжg ⋅--V = ρтVg ⇒ ρт − -ρж gV = T2 3 3

Поделим одно уравнение на другое:

(2 ) T1 -3ρ-ж −-ρт- T1- ρж- -T2-+-1--- 3-(T1 +-T2) (ρ − 1ρ ) = T2 ⇒ ρт = 1⋅ T1+ 2 = T1 + 2T2 = 2,1 т 3 ж 3 T2 3

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано условие равновесия в первом случае	2

Записано условие равновесия во втором случае	2

Записана формула силы Архимеда в первом случае	2

Записана формула силы Архимеда во втором случае	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#44342

Два кубика, связанные натянутой нитью, находятся в воде (см. рисунок). Верхний кубик со стороной $a = 10 см$ плавает, погрузившись в воду на три четверти своего объёма. Нижний кубик касается дна (вода под него подтекает). Сторона нижнего кубика равна $a∕2$ , а его плотность в 2 раза больше, чем у верхнего. Определите, при каких значениях плотности материала верхнего кубика возможно такое состояние системы. Плотность воды $3 ρ0 = 1000 кг/м$ , ускорение свободного падения можно принять равным $g = 10 м/с2$ .

(Всеросс., 2017, МЭ, 9)

Источники: Всеросс., 2017, МЭ, 9

Показать ответ и решение

Пусть объём нижнего кубика $V$ , тогда объём верхнего $8V$ , и в воду погружена его часть объёмом $6V$ . При малой плотности верхнего кубика система отрывается от дна и нарушается условие сохранения контакта нижнего кубика с дном. Минимально возможное значение плотности $ρ 1$ верхнего кубика соответствует обращению в ноль силы реакции опоры, действующей на нижний кубик $(N = 0)$ . Из условия равновесия для всей системы в этом случае следует:

ρ0g⋅6V + ρ0gV = ρ1g⋅8V + 2ρ1gV

Отсюда $3 ρ1 = 710ρ0 = 700 кг/м$

При максимально возможной плотности верхнего кубика $ρ2$ он плавает при объёме погружённой части $6V$ , не натягивая нить $(T = 0)$ . Условие плавания верхнего кубика в этом случае имеет вид:

ρ0g⋅6V = ρ2g⋅8V , откуда ρ2 = 3ρ0 = 750 кг/м3 4

Окончательно, чтобы выполнялись требования условия задачи, плотность верхнего кубика должна лежать в диапазоне $700 кг/м3 < ρ < 750 кг/м3$ .

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано условие равновесия для всей системы	2

Записано условие плавания верхнего кубика	2

Формула силы Архимеда	2

Сказано, что нить в определенном случае не натянута	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#44344

Пустая стеклянная бутылка плавает в цилиндрическом сосуде с водой. Площадь дна сосуда $2 S = 250 см$ . Из чайника в бутылку медленно наливают воду, и, когда масса воды достигает $m = 300 г$ , бутылка начинает тонуть. Оказалось, что, когда весь воздух из бутылки вышел, уровень воды в сосуде изменился на $Δh = 0,60 см$ по сравнению с тем моментом, когда в бутылку начали наливать воду. Вычислите вместимость бутылки $V$ . Плотность воды $ρ0 = 1000 кг/м3$ .
(Всеросс., 2012, РЭ, 11)

Источники: Всеросс., 2012, РЭ, 11

Показать ответ и решение

После того, как в бутылку налили $m$ г воды, уровень воды в сосуде повысился на

-m- Δh1 = ρS

Когда бутылка утонула, в нее затекла вода и уровень воды понизился на

Δh2 = V-−--m-∕ρ S

По условию, уровень воды изменил ся на $Δh$ . Это может означать как то, что он повысился, так и то, что он понизился. Поэтому решений будет два. При этом

2m V Δh1 − Δh2 = ----− -- = ± Δh ρS S

Решением этого уравнения является

2m V = ----± S Δh ρ V = 2m--+ SΔh, V = 750 мл 1 ρ 1 2m V2 = ----− S Δh, V2 = 450 мл ρ

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#44345

В сосуде с водой удерживается в вертикальном положении труба, прикреплённая к сосуду (см. рисунок). Поршень площадью $2 8 см$ и массой $50 г$ , лежащий на воде, связан с грузом лёгкой нитью, перекинутой через блок. В результате вода поднялась на высоту $H = 10 см$ по сравнению с уровнем воды в сосуде, и система оказалась в равновесии.
1. Найти давление в воде непосредственно под поршнем.
2. Найти массу груза.
3. На каком расстоянии от поверхности воды в сосуде окажется нижний край поршня, если на поршень поставить гирю массой $120 г$ ?
Атмосферное давление $P0 = 100 кПа$ , плотность воды $ρ0 = 1000 кг/м3$ , $g = 10 м/с2$ . Трением в оси блока и поршня о стенки трубы пренебречь.

Показать ответ и решение

1) На уровне поверхности воды давление должно быть равно атмосферному, с другой стороны на том же уровне давление равно сумме давления под поршнем и давления столба воды высотой $H$ , значит:

P0 = PA + ρgH ⇒ PA = P0 − ρgH = 99 кП а

2) Поскольку поршень уравновешен сумма сил, действующих на него, равна нулю, на поршень действует сила тяжести, сила давления под поршнем, сила давления атмосферы и сила натяжения нити, поскольку груз тоже уравновешен сила натяжения нити равна силе тяжести груза, тогда:

P0S + m1g − m2g = (P0 − ρgH )S ⇒ m2 = m1 + ρHS = 130 г

3) Так как на поршень кладут гирю сила тяжести увеличивается, тогда для достижения равновесия сила давления под поршнем тоже должна увеличиться на тоже значение, сравним добавочную силу тяжести и увеличение давления при опускании поршня на уровень воды: $mg > ρgHS$ , значит поршень опуститься ниже уровня воды. Пусть поршень ниже уровня воды в сосуде на $H1$ . Условие равновесия поршня:

m + m − m (P0 + ρgH1 ) S + m2g = (m1 + m ) g + P0S ⇒ H1 = --1---------2-= 5 см ρS

Ещё один способ найти это расстояние – воспользоваться равенством добавочной силы тяжести и увеличения силы давления. Пусть перемещение поршня $ΔH$ :

mg = ρgΔHS ⇒ ΔH = m--= 15 см ρS

Поскольку $ΔH > H$ расстояние от поршня до уровня воды:

H1 = ΔH − H = 5 см

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#44346

Пустую стеклянную бутылку опускают в цилиндрический сосуд с водой с вертикальными стенками. Бутылка стала плавать, а уровень воды в сосуде поднялся на $H1 = 3 см$ . Затем в бутылку медленно наливают воду. Когда масса налитой воды достигает некоторой величины, бутылка начинает тонуть. Уровень воды в сосуде за время наливания поднялся ещё на $H2 = 1 см$ . Плотность стекла $3 ρ0 = 3 г/см$ , плотность воды $3 ρ = 1 г/см$ . Площадь внутреннего сечения сосуда $2 S = 250 см$ .
1) Найти массу пустой бутылки.
2) Найти массу воды, налитой в бутылку.
3) Найти вместимость пустой бутылки.
(«Физтех», 2018, 10)

Показать ответ и решение

Пусть $m0$ - масса пустой бутылки, $m$ - масса налитой воды, $V$ - вместимость бутылки.
1) Бутылка плавает когда сила Архимеда уравновешивает силу тяжести, при этом объем погруженной части бутылки равен объему вытесненной воды, тогда в случае с пустой бутылкой:

m0g = ρgH1S ⇒ m0 = ρH1S = 750 г

2) Аналогично в случае с бутылкой, в которую налита вода:

(m0 + m )g = ρg(H1 + H2)S

С учетом равенства из первого пункта:

mg = ρgH2S ⇒ m = ρH2S = 250 г

3) При полном погружении бутылка вытесняет объем равный её вместимости и объему стекла, из которого она изготовлена, тогда:

m V + --0= (H1 + H2 )S ρ0

( ) m0- ρ0-−-ρ- 3 V = (H1 + H2 )S − ρ0 = S ρ0 H1 + H2 = 750 см

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#44347

На нити, привязанной к стойке, висит деревянный шарик, частично погружённый в воду, налитую в цилиндрический сосуд (см. рисунок). Нить натянута с силой $T = 3 Н$ . Если нить перерезать, то шарик станет плавать в сосуде. На сколько и как при этом изменится уровень воды в сосуде? Площадь дна сосуда $S = 300 см2$ . Плотность воды $ρ = 1 г/ см3$ .
(МФТИ, 2005)

Источники: МФТИ, 2005

Показать ответ и решение

До перерезания нити сила тяжести уравновешивается силой Архимеда и силой натяжения нити, следовательно, при перерезании нити сила Архимеда должна будет увеличиться на $3 Н$ , то есть

ΔFA 3000 мН 3 ΔFA = ρgΔV ⇒ ΔV = -----= -------3----------= 300 см ρg 1 г/см ⋅ 10 м Н/г

Откуда поднятие уровня воды

3 Δh = ΔV-- = 300-см-- = 1 см S 300 см2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#44348

В сосуде с жидкостью плавает кубик, погрузившись в жидкость на $2∕3$ своего объёма. Чтобы погрузить кубик в жидкость на $5∕6$ объёма, к нему нужно приложить минимальную вертикальную силу $F1$ . Какую минимальную вертикальную силу $F 2$ нужно приложить к кубику, чтобы полностью погрузить его в жидкость?
(«Росатом», 2011, 11)

Источники: Росатом, 2011, 11

Показать ответ и решение

Из условия равновесия свободно плавающего кубика, кубика, на который действуют силы $⃗F1$ и $F⃗2$ , имеем

2 5 3ρ0gV = mg, 6ρ0gV = mg + F1, ρ0gV = mg + F2

где $ρ0$ - плотность жидкости, $m$ и $V$ - масса и объем тела. Из первых двух уравнений находим

ρ0gV = 6F1, mg = 4F1

Отсюда получаем

F2 = 2F1

(Официальное решение Росатома)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано условие равновесия для свободно плавающего кубика	2

Записано условие равновесия для кубика, на который действует сила $⃗ F1$	2

Записано условие равновесия для кубика, на который действует сила $⃗ F2$	2

Из условий равновесия получены соотношения, позволяющие связать $F 1$ и $F 2$	2

Получен верный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#44349

Буй составлен из двух одинаковых металлических конусов с высотой $h = 1 м$ и углом при вершине $∘ α = 20$ (см. рисунок). Буй плавает в воде в вертикальном положении, погрузившись в воду до половины. Через щели внутрь буя просачивается вода, выходит воздух, и буй медленно погружается в воду. Будет ли меняться разность уровней воды внутри и снаружи буя в процессе его погружения в воду? Найти разность уровней воды внутри и снаружи буя в тот момент времени, когда она будет минимальной. Толщиной стенок буя пренебречь.
Указание. Объём прямого кругового конуса определяется соотношением $1 2 V = 3πR h$ , где $R$ — радиус основания конуса, $h$ — его высота.
(«Росатом», 2018, 10)

Источники: Росатом, 2018, 10

Показать ответ и решение

Пусть в буй просочилась вода, и он погрузился на некоторую глубину (см. рисунок). Рассмотрим условие равновесия буя. В равновесии сила тяжести равна силе Архимеда. Поэтому

(M + m )g = ρgV п.ч.

где $M$ - масса буя, $m$ - масса воды в буе, $ρ$ - плотность воды, $Vп.ч.−$ объем погруженной в воду части буя. С другой стороны, объем погруженной в воду части буя складывается из (стенки буя считаем тонкими) объема его погруженной части, заполненной водой $V п.ч.с.в.$ , и объема его погруженной части без воды $Vп.ч.б.в.$ . Поэтому

(M + m )g = ρg (V + V ) п.ч.с.в. п.ч.б.в.

Но в пренебрежении толщиной стенок, очевидно, $m = ρVп.ч.с.в.$ . Поэтому условие равновесия буя дает

M = ρVп.ч.б.в.

Из этой формулы следует, что объем его подводной части, не заполненный водой, определяется только массой самого буя, т.е. не меняется в процессе его погружения в воду из-за наполнения водой. А поскольку ширина центральной части буя больше ширины его концов, то расстояние между уровнем воды внутри буя и уровнем воды в водоеме будет максимальным, когда максимальна ширина части буя, расположенной между этими уровнями. Т.е. это расстояние будет минимально, если расстояния от середины буя до уровня воды внутри буя и уровня воды в водоеме будут одинаковы (см. рисунок, эти расстояния обозначены как $x$ ). Найдем эти расстояния. Из условия равновесия буя без воды (учитывая, что он погружается в воду ровно наполовину) имеем

M = ρV п.ч.б.в. = ρ1-πR2h = ρ1-πh3 tg2 α 3 3

где $R$ - радиус самой широкой части буя. Если буй заполнен водой слоем высотой $h1$ , то объем незаполненной водой части буя от его средней части до уровня воды внутри буя будет равен

1- ( 3 3) 2 V = 3 π h − h 1 tg α (∗)

Поскольку в случае минимального расстояния между уровнями воды внутри буя и в водоеме расстояния от средней части буя до уровней воды внутри буя и в водоеме одинаковы, объем незаполненной водой подводной части буя равен удвоенному объему $(∗)$ и равен объему половины буя. Поэтому

( ) 2π h3 − h3 tg2 α = 1-πh3 tg2α 3 1 3

Отсюда находим

√ -- -h-- h(-32-−-1)- h1 = √32-- ⇒ x = h − h1 = 3√2--

А минимальное расстояние между уровнями воды внутри буя и в водоеме равно

√3-- Δhmin = 2(h − h1 ) = 2h(-√2-−-1)-= 0,41h = 0,41 м 3 2

(Официальное решение Росатом)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#44350

Полая прямая призма, сделанная из тонкого прочного листового материала, имеет высоту $L$ , а её основания представляют собой равнобедренные треугольники с углом $2α$ между боковыми сторонами. У призмы аккуратно удалили боковую грань, лежащую напротив угла $2α$ , и поставили призму на гладкий стол так, что упомянутый угол оказался сверху (основание призмы лежит в плоскости рисунка, её высота перпендикулярна плоскости рисунка). Вблизи оказавшегося сверху угла проделали маленькое отверстие, и начали медленно заливать через него внутрь призмы воду плотностью $ρ$ . В момент, когда уровень воды в призме достиг высоты $h$ , вода начала вытекать из-под призмы. Найдите массу $m$ призмы с удалённой гранью, считая, что давление $p0$ воздуха над водой в призме и снаружи одинаково и равно атмосферному.

(«Курчатов», 2015, 9, 11)

Источники: Курчатов, 2015, 9, 11

Показать ответ и решение

Силу тяжести, действующую на сосуд, должна уравновешивать сила давления на стенки сосуда со стороны воды. Найдём модуль силы давления $ΔF$ , действующей на часть одной из стенок сосуда малой высотой $Δx$ , находящуюся на глубине $x$ (см. рис.):

Проекция этой силы на вертикальную ось $X$ равна

ΔFx = − ρgxL Δx tgα

Чтобы найти проекцию $Fx$ полной силы, действующей на стенку, нужно просуммировать проекции сил, действующих на все участки, лежащие на глубинах от 0 до $h$ . Это всё равно, что найти площадь под графиком зависимости $ΔFx ∕Δx$ от $x$ . Поскольку этот график линейный с угловым коэффициентом $ρgL tgα$ , то

h2 Fx = − ρgL tgα 2

Осталось учесть, что у сосуда есть две стенки, и приравнять нулю сумму силы тяжести $mming$ и проекции силы давления $F x$ :

mming+ 2Fx = 0, откуда mmin = ρLh2 tgα

(Официальное решение Курчатов)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Найдена сила давления, действующая на малый участок стенки	3

Найдена полная сила давления	3

Получен ответ	4

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#44496

Тело с герметичной полостью изготовлено из стеклопластика ( $ρ = 2,0 г/см3$ ). Если это тело подвесить на нити в воздухе, сила натяжения нити равна $T0 = 3,5 Н$ . Для удержания этого тела в воде (тело полностью погружено в воду и не касается дна сосуда) к нити прикладывают силу $T1 = 1, 5 Н$ . Определите возможные значения отношения $α$ объёма полости к полному объёму тела.

(Всеросс., 2014, ШЭ, 11)

Источники: Всеросс., 2014, ШЭ, 11

Показать ответ и решение

Когда тело находится в воздухе: $T0 = ρcg(VT − Vп )$ , где $VT −$ полный объем тела, $Vп −$ объем полости. Первый случай: тело тонет в воде:

T0 = FApx + T1, T0 − T1 = ρBgVT, -T0-- = ρc(1 − α), α = 1 − ρB -T0--= 0,125 T0−T1 ρB ρc T0−T1

Второй случай: тело всплывает:

T0 + T1 = FApx, T0 + T1 = ρBgVT, -T0-- ρc ρB--T0- T0+T1 = ρB(1 − α), α = 1 − ρcT0+T1 = 0,65

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Описано два случая для тела	2

Формула силы Архимеда	2

Второй закон Ньютона	3

Окончательный ответ	3

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#44497

В сильно загрязнённом водоёме толщина слоя нефти на поверхности воды составляет $d = 1,0 см$ . На поверхность водоёма пустили плавать лёгкий цилиндрический стаканчик массой $m = 4,0 г$ с площадью дна $S = 25 см2$ . Стакан был сначала пустым, а его дно было выше середины уровня нефти. Затем в него долили нефти так, чтобы её уровни в стакане и снаружи сравнялись. В обоих случаях дно находилось на одном и том же расстоянии a от уровня воды (рис.). Определите плотность нефти $ρ1$ , зная, что плотность воды $ρ0 = 1, 0 г/см3$ .

(Всеросс., 2010, финал, 9 )

Источники: Всеросс., 2010, финал, 9

Показать ответ и решение

Условие равновесия в первом случае запишется как $mg = FA$ , где сила Архимеда $FA = ρ1g(d − a)S$ . Отсюда найдём:

m-= ρ1(d − a) (1) S

Во втором случае давление на уровне дна составит $p = ρ1gd + ρ0ga$ . Следовательно, условие равновесия запишется как:

(m + ρ1S (d + a )) g = pS = (ρ1d + ρ0a )gS

откуда, используя (1), найдём $ρ1 = (a ∕d)ρ0$ . Подставим это выражение в (1):

m a m -- = ρ0--(d − a ), и ли x2 − x + ----- = 0 S d ρ0dS

где $x = a∕d$ . Решая уравнение, получим два корня:

1 ∘ 1-----m--- 1 4 x1,2 = --± --− ----- = --или --. 2 4 ρ0dS 5 5

Таким образом, найдём два возможных значения для плотности нефти:

3 3 ρ1 = ρ0x = 0,2 г/см или 0, 8 г/см .

Исходя из того, что $a∕d > 1∕2$ , получим окончательно $ρ1 = 0,8 г/см3$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#44498

Какой максимальный объём воды плотностью $ρ$ можно налить в $h$ -образную трубку с открытыми концами, частично заполненную маслом плотностью $0,8ρ$ ? Площадь сечения вертикальных колен трубки $S$ . Объёмом горизонтальной соединительной трубочки можно пренебречь. Размеры $h$ -образной трубки и высота столба воды указаны на рисунке. Пунктирные деления на трубке сделаны через одинаковое расстояние $h$ , которое известно. Затыкать открытые концы, наклонять трубку и выливать из неё жидкости нельзя.
(МОШ, 2016, 10)

Источники: МОШ, 2016, 10

Показать ответ и решение

Главное – чтобы в коротком колене осталось как можно меньше масла, тогда в высокой трубке можно будет создать столб максимальной высоты, превышающей $4h$ . Для этого начинаем наливать воду в правое колено. За счёт большей плотности она будет вытеснять масло в левое колено. Так будет продолжаться до высоты воды $2h$ в правом и высоте масла $3h$ в левом. Дальнейшее вытеснение масла невозможно, так как граница раздела масло/вода в правом колене станет выше соединительной трубки и в левое колено начнет поступать вода. Процесс добавления воды придется прекратить, когда верхняя граница масла в правом колене достигнет верха колена. Условие равенства давлений на уровне соединительной трубки дает:

(2h +x) ⋅0,8ρ = ρh+ 0,8ρh ⇒ x = 0,25h

Следовательно, воды удалось налить $4,25Sh$ .

(Официальное решение МОШ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Объяснено, как заполнить левое колено сосуда до максимального объема	2

Сказано, до какого максимального уровня поднимется масло	2

Объяснено, почему дальнейшее вытеснение масла невозможно	2

Записано условие равенства давлений на уровне соединительной трубки	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#44499

Имеются четыре одинаковых цилиндрических сосуда, в которые налито некоторое количество воды. Поверх воды в первый, второй и третий сосуды (сосуды перенумерованы на рисунке) аккуратно наливают слой масла толщиной соответственно $h$ , $2h$ и $3h$ . На сколько изменится уровень жидкости в каждом сосуде по сравнению с первоначальным положением после установления равновесия? Известно, что при наливании масла вода ни из одного сосуда полностью маслом не вытесняется. Плотность масла $ρ0$ , воды — $ρ1$ ( $ρ1 > ρ0$ ).
(«Росатом», 2017, 10–11)

Источники: Росатом, 2017, 10–11

Показать ответ и решение

С точки зрения давления в жидкости наливание в сосуд слоя масла толщиной $h$ эквивалентно наливанию слоя воды толщиной

ρ h -0-. ρ1

Поэтому наливание в систему сосудов слоя масла толщиной $6h$ (в первый, второй и третий сосуды) эквивалентно тому, что мы нальем слой воды толщиной

6ρ0h h1 = ρ1

Но если бы мы налили такое количество воды, она распределилась бы равномерно по четырем сосудам. Учитывая, что в четвертом сосуде будет только вода (по условию масло полностью воду ни из одного сосуда не вытесняет и, следовательно, не может попасть в четвертый сосуд), то уровень воды в нем поднимется на величину

6ρ h 3ρ h Δh4 = --0- = --0-. 4ρ1 2ρ1

При этом давление в жидкости (около дна сосуда) возрастет на величину

3 Δp = ρ1gΔh4 = 2ρ0gh (∗)

Изменение уровня жидкости в первом, втором и третьем сосудах найдем из условия увеличения давления в этих сосудах на эту величину.

В первом сосуде находится слой масла толщиной $h$ , который обеспечивает дополнительное давление $ρ0gh$ . Поэтому для увеличения давления на $(3∕2)ρ0gh$ в левый сосуд должна войти дополнительная вода, дающая давление около дна cocyда $(1∕2)ρ0gh$ , т.е. слой воды толщиной $(1∕2)(ρ0∕ρ1)h$ . Это значит, что уровень жидкости в перовом сосуде увеличится на величину

( ) Δh1 = h + -ρ0h = h 1+ -ρ0 2ρ1 2ρ1

Во втором сосуде появится дополнительный слой масла толщиной $2h$ , который обеспечивает дополнительное давление

2ρ0gh

Поэтому чтобы давление около дна второго сосуда возросло на величину $Δp(∗)$ из второго сосуда должна уйти вода толщиной $(1∕2)(ρ ∕ρ )h 0 1$ . Поэтому уровень воды во втором сосуде поднимется на величину

( ) -ρ0 ρ0- Δh2 = 2h − 2ρ1h = 2h 1− 4ρ1

В третьем сосуде появится дополнительный слой масла толщиной $3h$ , который обеспечивает дополнительное давление

3ρ0gh

Поэтому чтобы давление около дна третьего сосуда возросло на величину $Δp(∗)$ из третьего сосуда должна уйти вода толщиной $(3∕2)(ρ0∕ρ1)h$ . Поэтому уровень воды в третьем сосуде поднимется на величину

( ) Δh = 3h − 3ρ0h = 3h 1− ρ0- 3 2ρ1 2ρ1

(проверка: сумма подъемов уровней жидкости во всех сосудах должна дать то, что налили, т.е. $6h$ .

ρ ρ 3ρ 3ρ Δh1 + Δh2 + Δh3 + Δh4 = h + -0-h+ 2h − -0-h+ 3h − --0h+ --0h = 6h 2ρ1 2ρ1 2ρ1 2ρ1

как и должно быть).

(Официальное решение Росатом)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Формула связи высот жидкостей	2

Формула гидростатического давления	2

Формула общей высоты жидкости	2

Выражена искомая величина	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#44655

Тонкая $U$ -образная трубка постоянного внутреннего сечения с горизонтальным коленом длиной $L$ и двумя одинаковыми вертикальными коленами, открытыми в атмосферу, заполнена водой не полностью (см. рисунок). В каждом вертикальном колене остается слой воздуха длиной $H$ . Вода начинает выливаться, если трубку двигать вдоль горизонтального колена с постоянным ускорением, не меньшим, чем некоторая величина $a0$ .
1) Найти ускорение $a0$ .
2) Найти длину вылившегося слоя воды при движении с ускорением $4a0∕3$ .
Горизонтальное колено остаётся всегда заполненным водой.
(«Физтех», 2016, 9)

Источники: Физтех, 2016, 9

Показать ответ и решение

Если мы начнем двигать трубку с ускорением вправо, то в правом колене вода опустится, а в левом – поднимется до краев. Запишем второй закон Ньютона для горизонтального столба воды. Слева на него давит столб воды высотой $h + H$ , а справа - столб высотой $h − H$ . Тогда

ma0 = ρg (h + H )S − ρg(h − H )S

Откуда

2ρgHS 2 ρgHS 2gH a0 = ------- = ------- = ----- m ρLS L

Новое ускорение по условию будет равно $a = 43 ⋅ 2gLH-= 8g3HL--$ . Чтобы определить, сколько выльется воды, снова запишем второй закон Ньютона, только учтем, что высота левого столба воды по-прежнему равна $h + H$ , а справа теперь столб высотой $h − H − Lv$ , где $Lv$ - длина вылившегося столбика.

ma = ρg(h + H )S − ρg (h − H − Lv) S ma = ρgS (2H + Lv)

Подставляем массу горизонтального столба и новое ускорение:

8gH ρLS -----= ρgS (2H + Lv) 3L

Отсюда

8H ----= 2H + Lv 3 2H-- Lv = 3

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#44656

Тонкая Г-образная трубка постоянного внутреннего сечения полностью заполнена ртутью (см. рисунок). Горизонтальное колено трубки закрыто с одного конца. Вертикальное колено высотой $H = 8 м м$ открыто в атмосферу. Атмосферное давление $p = 752 м м рт. ст. 0$ Ртуть начинает выливаться, если трубку двигать вдоль горизонтального колена с постоянным ускорением, не меньшим чем $a0 = 0,8g$ . При движении трубки с некоторым ускорением $a$ , большим $a0$ , выливается слой ртути длиной $L1 = 19 см$ .
1) Найти длину $L$ горизонтального колена.
2) Найти ускорение $a$ .

(«Физтех», 2016, 10)

Источники: Физтех, 2016, 10

Показать ответ и решение

Пусть $H$ - длина столба ртути по вертикали, $L$ - по горизонтали. Запишем второй закон Ньютона для массы ртути в горизонтальном колене. Сила давления столба ртути в вертикальном колене равна $S (p + ρgH ) 0$ , тогда второй закон выглядит так:

ma = S (p + ρgH ) 0 0 ρLSa0 = S (p0 + ρgH ) p0 = ρgH0, H0 = 752 мм

Отсюда можно найти длину горизонтального колена $L$ :

L = S-(p0-+-ρgH-) = p0 +-ρgH-= H0-+--H- = 0,95 м ρSa0 ρ ⋅ 0,8g 0,8

Теперь снова запишем второй закон Ньютона с учетом того, что длина горизонтального столба укоротилась на $0,19 м$ :

m1a = S (p0 + ρgH ) m1 = ρ (L − L1)S

Подставим:

ρ(L − L1 )Sa = S (p0 + ρgH )

Тогда

p0-+-ρgH-- H0-+-H-- 0,752-+-0,008- a = ρ(L − L ) = L − L g = 0,95 − 0, 19 ⋅ 9,8 = 9,8 м/ с 1 1

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#44657

«Тройник» с двумя открытыми в атмосферу вертикальными трубками и одной закрытой горизонтальной полностью заполнен водой (см. рисунок). После того, как «тройник» стали двигать по горизонтали (в плоскости рисунка влево) с некоторым постоянным ускорением, из него вылилось $1∕16$ массы всей воды. Чему при этом равно давление в жидкости у закрытого конца (точка O) горизонтальной трубки? Трубки имеют одинаковое внутреннее сечение и длину $l$ . Атмосферное давление равно $p0$ , плотность воды $ρ$ .

(МФТИ, 1998)

Источники: МФТИ, 1998

Показать ответ и решение

Когда начнется движение тройника с ускорением в указанную сторону (влево), столб воды в правом колене поднимется и излишек выльется, при этом высота правого столба будет равна - $l$ . А вот в среднем колене столб воды станет ниже.

Полная масса воды в тройнике:

m = 4ρlS

Так как вылилось $m- 16$ , то это $ρlS- 4$ - то есть в левом вертикальном колене уровень опустился на $-l 4$ . При движении жидкости в сосуде ее поверхность наклонена к горизонтали под некоторым углом. Этот угол можно определить из треугольника ускорений. Тогда

tgα = a- g

Угол наклона поверхности жидкости мы можем также найти из рисунка:

l4 tgα = --= 0,25 l

Следовательно,

a- g = 0,25 a = 0,25g

Теперь определим давление у закрытого конца. По второму закону Ньютона для горизонтального столбика жидкости длиной $l$ (от точки $O$ до точки $O ′$ )

(( ) ) 3- ma = p0 + ρ4 l − p S

Подставим ускорение и массу:

( ( ) ) ρlS ⋅ 0,25g = p0 + ρg 3l − p S 4 3 ρl ⋅ 0,25g = p0 + ρg 4l − p p = p0 + ρg 3l − ρl ⋅ 0,25g = p0 + ρg l 4 2

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Сказано как именно движется вода	2

Записана формула массы	2

Записан второй закон Ньютона	2

Выражена искомая величина	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#44658

Тонкая трубка, запаянная с одного конца, заполнена маслом и закреплена на горизонтальной платформе, вращающейся с угловой скоростью $ω$ вокруг вертикальной оси так, что масло не выливается и заполняет полностью горизонтальное колено трубки (см. рисунок). Открытое колено трубки вертикально. Геометрические размеры установки даны на рисунке. Атмосферное давление $p0$ , плотность масла $ρ$ .
1) Найти давление масла в месте изгиба трубки.
2) Найти давление масла у запаянного конца трубки.
(МФТИ, 1996)

Источники: МФТИ, 1996

Показать ответ и решение

Давление в месте изгиба равно давлению столба жидкости в вертикальном колене: $p1 = p0 + ρgH$ . Теперь рассмотрим столбик жидкости в горизонтальном колене, правый конец которого расположен на расстоянии $L$ от оси вращения, а левый - на расстоянии $2L$ . Центр масс этого маленького столбика находится тогда на расстоянии $L2-$ от оси вращения. Масса такого столбика равна

m = 3ρLS

На этот столбик справа давит столб жидкости в вертикальном колене, а давление слева обозначим $p$ . Тогда

ma = (p − p )S = (p + ρgh )S − pS (1) n 1 2

Нормальное ускорение центра масс выбранного нами столбика равно:

an = ω2 ⋅ L 2

Подставим все в (1):

2 L- 3ρLS ⋅ ω ⋅2 = (p0 + ρgH )S − pS 3ρL2 ⋅ ω2 p = p0 + ρgH − --------- 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#44659

Тонкая изогнутая трубка с одним горизонтальным коленом и двумя вертикальными коленами укреплена на платформе, вращающейся вокруг вертикальной оси (см. рисунок). Вертикальные колена находятся на расстояниях $15 см$ и $25 см$ от оси вращения. Установившаяся разность уровней (по высоте) налитой в трубку воды оказалась $10 см$ . Найдите угловую скорость вращения платформы. Ускорение свободного падения $2 10 м/c$ . Ответ выразить в $−1 с$ . Если ответ не целый, то округлить до сотых.
(«Физтех», 2014, 10–11)

Источники: Физтех, 2014, 10–11

Показать ответ и решение

По теореме о движении центра масс можно записать:

man = F1 − F2

Силы $F1$ и $F2$ – это силы давления на горизонтальный столб жидкости справа и слева. Они отличаются ровно на величину, соответствующую давлению столба высотой $h$ :

F1 − F2 = ρghS

Масса воды в горизонтальной части трубки равна $m = ρS (l + l ) 1 2$ . Определим положение центра масс:

R = l2 −-l1 2

l − l an = ω2 -2---1 2

Подставляем все:

ρghS = ρS (l1 + l2) ⋅ ω2l2-−-l1 2 2 -2gh--- ω = l2 − l2 ∘ ------- ∘ -------2----1- 2gh 2 ⋅ 10 ⋅ 0,1 √ --- −1 ω = l2-−-l2-= 0,-252 −-0,-152 = 50 = 7,07 c 2 1

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#44660

В тонкой $U$ -образной трубке постоянного сечения находятся вода и ртуть одинаковых объёмов. Длина горизонтальной части трубки $l = 40 см$ . Трубку раскрутили вокруг колена с водой (см. рисунок), и оказалось, что уровни жидкостей в трубке одинаковы и равны $h = 25 см$ . Пренебрегая эффектом смачивания, определите период $T$ вращения трубки. Справочные данные: ускорение свободного падения $2 g = 9,8 м/ с$ ; плотности воды и ртути равны $3 ρ0 = 1,0 г/см$ и $3 ρ = 13,5 г/см$ соответственно.
(Всеросс., 2014, РЭ, 9)

Источники: Всеросс., 2014, РЭ, 9

Показать ответ и решение

Найдем изменение давления в горизонтальной части трубки. Для этого запишем уравнение движения малого элемента жидкости длиной $Δr$ , находящегося на расстоянии $r$ от оси вращения:

a ρSΔr = ω2r ρSΔr = S Δp, цс

где $ω$ - угловая скорость вращения трубки, $Δp$ - перепад давлений на концах малого элемента жидкости длиной $Δr$ . При вычислении разности давлений на концах горизонтального участка трубки (заштрихованная площадь под графиком (рис. )) получим:

2 2 p − p = ω2 ρ(r − r ) ⋅ r1-+-r2 = ω2 ρr2 −-r1. 2 1 2 1 2 2

Перепад давлений между правым и левым коленом равен сумме перепадов давлений в горизонтальной части трубки, заполненной водой и ртутью:

2 2 2 2 2 p2 − p1 = ω2 ρB(l∕2)-−-0 + ω2ρp l-−-(l∕2)--= (3ρp + ρB) ω-l-. 2 2 8

Этот перепад давлений и поддерживает разность давлений вертикальных столбов воды и ртути:

ω2l2 (3ρP + ρB)-----= ρpgh − ρBgh, 8

откуда

∘ --------------- 8gh ρp − ρB ω = --2- ⋅--------- l 3ρp + ρB

Период вращения

∘ --------- 2π πl 3ρp + ρB T = ---= √-----⋅ ---------≈ 1, 0 c. ω 2gh ρp − ρB

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано уравнение движения малого участка жидкости	2

Записана формула центростремительного ускорения	2

Расписан перепад давлений	2

Выражена искомая величина	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#48322

Изогнутая трубка состоит из горизонтального колена длиной $L$ , запаянного с одного конца, и вертикального колена, открытого в атмосферу (см. рисунок). Трубка заполнена водой так, что в вертикальном колене высота столба воды равна $L∕3$ . Трубку двигают с ускорением $a = g ∕5$ , направленным вдоль горизонтального колена. Плотность воды $ρ$ , атмосферное давление $p$ . Диаметр трубки значительно меньше её длины.
1) Найдите давление в воде в месте изгиба трубки.
2) Найдите давление в воде у запаянного конца трубки.
(«Физтех», 2012)

Источники: Физтех, 2012

Показать ответ и решение

Рассмотрим столбик воды в месте изгиба трубки. Сверху на него давит столб воды высотой $L- 3$ и атмосфера. Тогда

L p1 = ρg --+ p 3

Теперь найдем давление у запаянного конца. По второму закону Ньютона произведение $ma$ , где $m$ – масса горизонтального столба воды, будет равно разности сил давлений у правого и левого концов горизонтального столба воды:

ma = (p2 − p1)S

g L p2S = ma + p1S = ρLS ⋅ --+ (ρg-- + p)S 5 3

g L 8L p2 = ρL ⋅--+ ρg--+ p = ρg--- + p 5 3 15

Тогда у изгиба давление равно $p1 = ρg L3-+ p$ , у запаянного конца $p2 = ρg8L15 + p$ .

Ответ:

01 Гидростатика