Тема №24. Геометрические задачи на доказательство

01 Задачи №24 из банка ФИПИ → 01.01 №24. Тип 1

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №24. геометрические задачи на доказательство

Разделы подтемы Задачи №24 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#93959Максимум баллов за задание: 2

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 9 и 36, $BD = 18.$ Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 7

Показать доказательство

По условию $BC$ и $AD$ — основания трапеции $ABCD.$ Тогда $BC ∥AD.$

$ABCD91386$

Рассмотрим треугольники $CBD$ и $BDA.$ В них:

1.: $∠CBD = ∠BDA$ как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $BD.$
2.: $BC- = 9-= 18 = BD-. BD 18 36 AD$

Следовательно, треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#93962Максимум баллов за задание: 2

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 2 и 32, $BD = 8.$ Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 8

Показать доказательство

По условию $BC$ и $AD$ — основания трапеции $ABCD.$ Тогда $BC ∥AD.$

$ABCD2832$

Рассмотрим треугольники $CBD$ и $BDA.$ В них:

1.: $∠CBD = ∠BDA$ как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $BD.$
2.: $BC- = 2= -8 = BD-. BD 8 32 AD$

Следовательно, треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#58564Максимум баллов за задание: 2

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 4,5 и 18, $BD = 9.$ Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

По условию $BC$ и $AD$ — основания трапеции $ABCD.$ Тогда $BC ∥AD.$

$ABCD491,58$

Рассмотрим треугольники $CBD$ и $BDA.$ В них:

1.: $∠CBD = ∠BDA$ как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $BD.$
2.: $BC- = 4,5-= 9-= BD-. BD 9 18 AD$

Следовательно, треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#93808Максимум баллов за задание: 2

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 4 и 64, $BD = 16.$ Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

По условию $BC$ и $AD$ — основания трапеции $ABCD.$ Тогда $BC ∥AD.$

$ABCD41664$

Рассмотрим треугольники $CBD$ и $BDA.$ В них:

1.: $∠CBD = ∠BDA$ как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $BD.$
2.: $BC- = 4-= 16 = BD-. BD 16 64 AD$

Следовательно, треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#93960Максимум баллов за задание: 2

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 6 и 24, $BD = 12.$ Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

По условию $BC$ и $AD$ — основания трапеции $ABCD.$ Тогда $BC ∥AD.$

$ABCD61224$

Рассмотрим треугольники $CBD$ и $BDA.$ В них:

1.: $∠CBD = ∠BDA$ как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $BD.$
2.: $BC- = 6-= 12 = BD-. BD 12 24 AD$

Следовательно, треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#93961Максимум баллов за задание: 2

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 5 и 20, $BD = 10.$ Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

По условию $BC$ и $AD$ — основания трапеции $ABCD.$ Тогда $BC ∥AD.$

$ABCD51200$

Рассмотрим треугольники $CBD$ и $BDA.$ В них:

1.: $∠CBD = ∠BDA$ как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $BD.$
2.: $BC- = 5-= 10 = BD-. BD 10 20 AD$

Следовательно, треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#93963Максимум баллов за задание: 2

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 8 и 32, $BD = 16.$ Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

По условию $BC$ и $AD$ — основания трапеции $ABCD.$ Тогда $BC ∥AD.$

$ABCD81362$

Рассмотрим треугольники $CBD$ и $BDA.$ В них:

1.: $∠CBD = ∠BDA$ как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $BD.$
2.: $BC- = 8-= 16 = BD-. BD 16 32 AD$

Следовательно, треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#93964Максимум баллов за задание: 2

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 7 и 28, $BD = 14.$ Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

По условию $BC$ и $AD$ — основания трапеции $ABCD.$ Тогда $BC ∥AD.$

$ABCD71248$

Рассмотрим треугольники $CBD$ и $BDA.$ В них:

1.: $∠CBD = ∠BDA$ как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $BD.$
2.: $BC- = 7-= 14 = BD-. BD 14 28 AD$

Следовательно, треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#93965Максимум баллов за задание: 2

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 3 и 12, $BD = 6.$ Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

По условию $BC$ и $AD$ — основания трапеции $ABCD.$ Тогда $BC ∥AD.$

$ABCD3612$

Рассмотрим треугольники $CBD$ и $BDA.$ В них:

1.: $∠CBD = ∠BDA$ как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $BD.$
2.: $BC- = 3= -6 = BD-. BD 6 12 AD$

Следовательно, треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#44294Максимум баллов за задание: 2

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 5 и 45, $BD = 15.$ Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Источники: Банк ФИПИ, Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 31

Показать доказательство

По условию $BC$ и $AD$ — основания трапеции $ABCD.$ Тогда $BC ∥AD.$

$ABCD51455$

Рассмотрим треугольники $CBD$ и $BDA.$ В них:

1.: $∠CBD = ∠BDA$ как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $BD.$
2.: $BC- = 5-= 15 = BD-. BD 15 45 AD$

Следовательно, треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Следующая подтема