Тема №24. Геометрические задачи на доказательство

01 Задачи №24 из банка ФИПИ → 01.06 №24. Тип 6

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №24. геометрические задачи на доказательство

Разделы подтемы Задачи №24 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#37458Максимум баллов за задание: 2

На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $F.$ Докажите, что сумма площадей треугольников $BF C$ и $AF D$ равна половине площади трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Пусть точка $M$ — середина $AB,$ точка $N$ — середина $CD.$ Тогда $AM =MB,$ $CN = ND$ и $MN$ — средняя линия трапеции $ABCD.$ Точка $F$ по условию лежит на $MN.$

Проведем через точку $F$ высоту $KL$ трапеции $ABCD.$ Тогда $KL ⊥ BC$ и $KL ⊥AD.$

По свойству средней линии трапеции $MN ∥AD$ и $MN ∥ BC.$ Тогда по теореме Фалеса для параллельных прямых $BC,$ $MN$ и $AD :$

KF-= AM--= 1 . FL MB 1

Значит, $KF = FL = 1KL. 2$

$abhhABCDMKLFN$

Пусть $BC =a,$ $AD = b,$ $KF = F L= h.$ Тогда $KL = 2h.$

Площадь трапеции $ABCD$ равна

SABCD = BC-+-AD- ⋅KL = a+-b⋅2h =h ⋅(a +b). 2 2

Рассмотрим треугольник $BF C.$ В нём $FL$ — высота. Тогда

1 1 SBFC = 2 ⋅F L⋅BC = 2ah.

Рассмотрим треугольник $AF D.$ В нём $FK$ — высота. Тогда

SAFD = 1⋅F K ⋅AD = 1bh. 2 2

Найдём сумму площадей этих треугольников:

1 1 SBFC + SAFD = 2ah+ 2bh = h 1 = -2 ⋅(a+ b) = 2SABCD.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#94614Максимум баллов за задание: 2

На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $K.$ Докажите, что сумма площадей треугольников $BKC$ и $AKD$ равна половине площади трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Пусть точка $M$ — середина $AB,$ точка $N$ — середина $CD.$ Тогда $AM =MB,$ $CN = ND$ и $MN$ — средняя линия трапеции $ABCD.$ Точка $K$ по условию лежит на $MN.$

Проведем через точку $K$ высоту $EF$ трапеции $ABCD.$ Тогда $EF ⊥ BC$ и $EF ⊥AD.$

FK-= AM--= 1 . KE MB 1

Значит, $FK = KE = 1FE. 2$

$abhhABCDMFEKN$

Пусть $BC =a,$ $AD = b,$ $FK = KE = h.$ Тогда $F E = 2h.$

Площадь трапеции $ABCD$ равна

SABCD = BC-+-AD- ⋅F E = a+-b⋅2h =h ⋅(a +b). 2 2

Рассмотрим треугольник $BKC.$ В нём $KE$ — высота. Тогда

1 1 SBKC = 2 ⋅KE ⋅BC = 2ah.

Рассмотрим треугольник $AKD.$ В нём $KF$ — высота. Тогда

SAKD = 1 ⋅KF ⋅AD = 1bh. 2 2

Найдём сумму площадей этих треугольников:

1 1 SBKC + SAKD = 2ah + 2bh = h 1 = -2 ⋅(a+ b) = 2SABCD.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#55283Максимум баллов за задание: 2

На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $E.$ Докажите, что сумма площадей треугольников $BEC$ и $AED$ равна половине площади трапеции.

Источники: Банк ФИПИ, Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 11

Показать доказательство

Пусть точка $M$ — середина $AB,$ точка $N$ — середина $CD.$ Тогда $AM =MB,$ $CN = ND$ и $MN$ — средняя линия трапеции $ABCD.$ Точка $E$ по условию лежит на $MN.$

Проведем через точку $E$ высоту $KL$ трапеции $ABCD.$ Тогда $KL ⊥ BC$ и $KL ⊥AD.$

KE-= AM--= 1 . EL MB 1

Значит, $KE = EL = 1KL. 2$

$abhhABCDMKLEN$

Пусть $BC =a,$ $AD = b,$ $KE = EL = h.$ Тогда $KL = 2h.$

Площадь трапеции $ABCD$ равна

SABCD = BC-+-AD- ⋅KL = a+-b⋅2h =h ⋅(a +b). 2 2

Рассмотрим треугольник $BEC.$ В нём $EL$ — высота. Тогда

1 1 SBEC = 2 ⋅EL ⋅BC = 2ah.

Рассмотрим треугольник $AED.$ В нём $EK$ — высота. Тогда

SAED = 1⋅EK ⋅AD = 1bh. 2 2

Найдём сумму площадей этих треугольников:

1 1 SBEC + SAED = 2ah+ 2bh = h 1 = -2 ⋅(a+ b) = 2SABCD.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущая подтема

Следующая подтема