Тема №24. Геометрические задачи на доказательство

01 Задачи №24 из банка ФИПИ → 01.04 №24. Тип 4

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №24. геометрические задачи на доказательство

Разделы подтемы Задачи №24 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#61821Максимум баллов за задание: 2

Сторона $BC$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AB.$ Точка $K$ — середина стороны $BC.$ Докажите, что $AK$ — биссектриса угла $BAD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Пусть $AB = x.$ Тогда $BC = 2AB = 2x,$ так как $BC$ по условию в 2 раза больше, чем $AB.$

Так как по условию $K$ — середина $BC,$ то $BK = KC = x.$ Значит,

1 BK = KC = 2BC =AB = x.

Рассмотрим треугольник $ABK.$ В нем стороны $AB$ и $BK$ равны $x,$ следовательно, треугольник $ABK$ равнобедренный с основанием $AK.$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠BAK = ∠BKA.$

$ABCDKxxx$

Четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм, поэтому его противоположные стороны параллельны. В частности, $BC ∥ AD.$ Тогда $∠BKA = ∠KAD$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AK.$

Таким образом,

∠BAK = ∠BKA = ∠KAD.

Значит, $AK$ — биссектриса угла $BAD.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#94486Максимум баллов за задание: 2

Сторона $AB$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $BC.$ Точка $L$ — середина стороны $AB.$ Докажите, что $CL$ — биссектриса угла $BCD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Пусть $BC = x.$ Тогда $AB = 2BC = 2x,$ так как $AB$ по условию в 2 раза больше, чем $BC.$

Так как по условию $L$ — середина $AB,$ то $AL = LB = x.$ Значит,

1 BL = AL = 2AB = BC = x.

Рассмотрим треугольник $BLC.$ В нем стороны $BC$ и $BL$ равны $x,$ следовательно, треугольник $BLC$ равнобедренный с основанием $LC.$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠BLC = ∠BCL.$

$ABCDLxxx$

Четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм, поэтому его противоположные стороны параллельны. В частности, $AB ∥ CD.$ Тогда $∠BLC = ∠DCL$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $CL.$

Таким образом,

∠BCL = ∠BLC = ∠DCL.

Значит, $CL$ — биссектриса угла $BCD.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#94586Максимум баллов за задание: 2

Сторона $AB$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AD.$ Точка $L$ — середина стороны $AB.$ Докажите, что $DL$ — биссектриса угла $ADC.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Пусть $AD = x.$ Тогда $AB = 2AD = 2x,$ так как $AB$ по условию в 2 раза больше, чем $AD.$

Так как по условию $L$ — середина $AB,$ то $AL = LB = x.$ Значит,

1 AL = LB = 2AB = AD = x.

Рассмотрим треугольник $ADL.$ В нем стороны $AD$ и $AL$ равны $x,$ следовательно, треугольник $ADL$ равнобедренный с основанием $DL.$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠ADL = ∠ALD.$

$ABCDLxxx$

Четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм, поэтому его противоположные стороны параллельны. В частности, $AB ∥ CD.$ Тогда $∠ALD = ∠CDL$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $LD.$

Таким образом,

∠ADL = ∠ALD = ∠CDL.

Значит, $DL$ — биссектриса угла $ADC.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#94608Максимум баллов за задание: 2

Сторона $CD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AD.$ Точка $N$ — середина стороны $CD.$ Докажите, что $AN$ — биссектриса угла $BAD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Пусть $AD = x.$ Тогда $CD = 2AD = 2x,$ так как $CD$ по условию в 2 раза больше, чем $AD.$

Так как по условию $N$ — середина $CD,$ то $CN = ND = x.$ Значит,

1 ND = CN = 2CD = AD = x.

Рассмотрим треугольник $DAN.$ В нем стороны $DA$ и $DN$ равны $x,$ следовательно, треугольник $DAN$ равнобедренный с основанием $AN.$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠DAN = ∠DNA.$

$ABCDNxxx$

Четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм, поэтому его противоположные стороны параллельны. В частности, $AB ∥ CD.$ Тогда $∠DNA = ∠BAN$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AN.$

Таким образом,

∠DAN = ∠DNA = ∠BAN.

Значит, $AN$ — биссектриса угла $BAD.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#94610Максимум баллов за задание: 2

Сторона $AD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AB.$ Точка $M$ — середина стороны $AD.$ Докажите, что $BM$ — биссектриса угла $ABC.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Пусть $AB = x.$ Тогда $AD = 2AB = 2x,$ так как $AD$ по условию в 2 раза больше, чем $AB.$

Так как по условию $M$ — середина $AD,$ то $AM = MD =x.$ Значит,

1 AM = MD = 2AD = AB = x.

Рассмотрим треугольник $ABM.$ В нем стороны $AB$ и $AM$ равны $x,$ следовательно, треугольник $ABM$ равнобедренный с основанием $BM.$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠ABM =∠AMB.$

$ABCDMxxx$

Четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм, поэтому его противоположные стороны параллельны. В частности, $BC ∥ AD.$ Тогда $∠AMB =∠MBC$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BM.$

Таким образом,

∠ABM = ∠AMB = ∠MBC.

Значит, $BM$ — биссектриса угла $ABC.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#94611Максимум баллов за задание: 2

Сторона $AD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $CD.$ Точка $M$ — середина стороны $AD.$ Докажите, что $CM$ — биссектриса угла $BCD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Пусть $CD = x.$ Тогда $AD = 2CD = 2x,$ так как $AD$ по условию в 2 раза больше, чем $CD.$

Так как по условию $M$ — середина $AD,$ то $AM = MD =x.$ Значит,

1 MD = AM = 2 AD = CD = x.

Рассмотрим треугольник $DCM.$ В нем стороны $DC$ и $DM$ равны $x,$ следовательно, треугольник $DCM$ равнобедренный с основанием $CM.$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠DCM = ∠DMC.$

$ABCDMxxx$

Четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм, поэтому его противоположные стороны параллельны. В частности, $BC ∥ AD.$ Тогда $∠DMC = ∠MCB$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $CM.$

Таким образом,

∠DCM = ∠DMC =∠BCM.

Значит, $CM$ — биссектриса угла $BCD.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#94609Максимум баллов за задание: 2

Сторона $CD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $BC.$ Точка $N$ — середина стороны $CD.$ Докажите, что $BN$ — биссектриса угла $ABC.$

Источники: Банк ФИПИ, Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 9

Показать доказательство

Пусть $BC = x.$ Тогда $CD = 2BC = 2x,$ так как $CD$ по условию в 2 раза больше, чем $BC.$

Так как по условию $N$ — середина $CD,$ то $CN = ND = x.$ Значит,

1 NC = ND = 2CD = BC = x.

Рассмотрим треугольник $CBN.$ В нем стороны $CB$ и $CN$ равны $x,$ следовательно, треугольник $CBN$ равнобедренный с основанием $BN.$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠CBN = ∠CNB.$

$ABCDNxxx$

Четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм, поэтому его противоположные стороны параллельны. В частности, $AB ∥CD.$ Тогда $∠CNB = ∠ABN$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BN.$

Таким образом,

∠CBN = ∠CNB = ∠ABN.

Значит, $BN$ — биссектриса угла $ABC.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#94606Максимум баллов за задание: 2

Сторона $BC$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $CD.$ Точка $K$ — середина стороны $BC.$ Докажите, что $DK$ — биссектриса угла $ADC.$

Источники: Банк ФИПИ, Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 10

Показать доказательство

Пусть $CD = x.$ Тогда $BC = 2CD = 2x,$ так как $BC$ по условию в 2 раза больше, чем $CD.$

Так как по условию $K$ — середина $BC,$ то $BK = KC = x.$ Значит,

1 CK = BK = 2BC =CD = x.

Рассмотрим треугольник $CKD.$ В нем стороны $CK$ и $CD$ равны $x,$ следовательно, треугольник $CKD$ равнобедренный с основанием $KD.$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠CDK = ∠CKD.$

$ABCDKxxx$

Четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм, поэтому его противоположные стороны параллельны. В частности, $BC ∥ AD.$ Тогда $∠CKD = ∠KDA$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $KD.$

Таким образом,

∠CDK = ∠CKD = ∠KDA.

Значит, $DK$ — биссектриса угла $ADC.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущая подтема

Следующая подтема