Тема №24. Геометрические задачи на доказательство

01 Задачи №24 из банка ФИПИ → 01.13 №24. Тип 13

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №24. геометрические задачи на доказательство

Разделы подтемы Задачи №24 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#50564Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $BAC$ проведены высоты $BB1$ и $CC1.$ Докажите, что треугольники $AB1C1$ и $ABC$ подобны.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 3

Показать доказательство

По условию $BB1$ и $CC1$ — высоты тупоугольного треугольника $ABC.$ Тогда

∠CB B = 90∘ = ∠CC B. 1 1

Рассмотрим четырёхугольник $BCC1B1.$ В нём углы $CB1B$ и $CC1B$ равны и опираются на один и тот же отрезок $BC,$ следовательно, около четырёхугольника $BCC1B1$ можно описать окружность.

$BCBC11A$

Тогда $∠BC1B1 = ∠BCB1$ как вписанные, опирающиеся на одну дугу $BB . 1$

Углы $B1AC1$ и $BAC$ равны как вертикальные. Тогда треугольники $AB1C1$ и $ABC$ подобны по двум углам.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#40286Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ABC$ проведены высоты $AA1$ и $CC1.$ Докажите, что треугольники $A1BC1$ и $ABC$ подобны.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 4

Показать доказательство

По условию $AA1$ и $CC1$ — высоты тупоугольного треугольника $ABC.$ Тогда

∠CA A = 90∘ = ∠CC A. 1 1

Рассмотрим четырёхугольник $ACC1A1.$ В нём углы $CA1A$ и $CC1A$ равны и опираются на один и тот же отрезок $AC,$ следовательно, около четырёхугольника $ACC1A1$ можно описать окружность.

$ABCAC11$

Тогда $∠AC1A1 =∠ACA1$ как вписанные, опирающиеся на одну дугу $AA1.$

Углы $A1BC1$ и $ABC$ равны как вертикальные. Тогда треугольники $A1BC1$ и $ABC$ подобны по двум углам.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#58568Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ACB$ проведены высоты $AA1$ и $BB1.$ Докажите, что треугольники $A1CB1$ и $ACB$ подобны.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

По условию $AA1$ и $BB1$ — высоты тупоугольного треугольника $ABC.$ Тогда

∠BA A = 90∘ = ∠BB A. 1 1

Рассмотрим четырёхугольник $ABB1A1.$ В нём углы $BA1A$ и $BB1A$ равны и опираются на один и тот же отрезок $AB,$ следовательно, около четырёхугольника $ABB1A1$ можно описать окружность.

$ABCAB11$

Тогда $∠BAB1 = ∠BA1B1$ как вписанные, опирающиеся на одну дугу $BB . 1$

Углы $A1CB1$ и $ACB$ равны как вертикальные. Тогда треугольники $A1CB1$ и $ACB$ подобны по двум углам.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущая подтема

Следующая подтема