Тема №24. Геометрические задачи на доказательство

01 Задачи №24 из банка ФИПИ → 01.03 №24. Тип 3

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №24. геометрические задачи на доказательство

Разделы подтемы Задачи №24 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#94484Максимум баллов за задание: 2

Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $N,$ лежащей на стороне $CD.$ Докажите, что $N$ — середина $CD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

По условию четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм. Значит, его противоположные стороны равны и параллельны. В частности, $AD = BC$ и $AB ∥ CD.$

$ABCDN$

Углы $CBN$ и $ABN$ равны, так как $BN$ — биссектриса угла $ABC.$ При этом $∠ABN =∠BNC$ как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $AB$ и $CD$ и секущей $BN.$ Тогда

∠CBN = ∠ABN = ∠BNC.

Следовательно, треугольник $CBN$ — равнобедренный, в котором равны стороны $CB$ и $CN.$

Углы $DAN$ и $BAN$ равны, так как $AN$ — биссектриса угла $BAD.$ При этом $∠BAN =∠AND$ как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $AB$ и $CD$ и секущей $AN.$ Тогда

∠DAN = ∠BAN = ∠AND.

Следовательно, треугольник $DAN$ — равнобедренный, в котором равны стороны $DA$ и $DN.$

Таким образом,

CN = BC = AD = DN.

Итого, $CN = ND.$ Тогда точка $N$ — середина стороны $CD.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#94485Максимум баллов за задание: 2

Биссектрисы углов $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $M,$ лежащей на стороне $AD.$ Докажите, что $M$ — середина $AD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

По условию четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм. Значит, его противоположные стороны равны и параллельны. В частности, $AB = CD$ и $BC ∥AD.$

$ABCDM$

Углы $ABM$ и $CBM$ равны, так как $BM$ — биссектриса угла $ABC.$ При этом $∠CBM = ∠BMA$ как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $BM.$ Тогда

∠ABM = ∠CBM = ∠AMB.

Следовательно, треугольник $ABM$ — равнобедренный, в котором равны стороны $AB$ и $AM.$

Углы $DCM$ и $BCM$ равны, так как $CM$ — биссектриса угла $BCD.$ При этом $∠BCM = ∠CMD$ как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $CM.$ Тогда

∠DCM = ∠BCM = ∠CMD.

Следовательно, треугольник $DCM$ — равнобедренный, в котором равны стороны $DC$ и $DM.$

Таким образом,

AM = AB = CD = DM.

Итого, $AM = DM.$ Тогда точка $M$ — середина стороны $AD.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#41520Максимум баллов за задание: 2

Биссектрисы углов $A$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K,$ лежащей на стороне $BC.$ Докажите, что $K$ — середина $BC.$

Источники: Банк ФИПИ, Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 13

Показать доказательство

$ABCDK$

Углы $BAK$ и $DAK$ равны, так как $AK$ — биссектриса угла $BAD.$ При этом $∠DAK = ∠AKB$ как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $AK.$ Тогда

∠BAK = ∠DAK = ∠AKB.

Следовательно, треугольник $ABK$ — равнобедренный, в котором равны стороны $AB$ и $BK.$

Углы $ADK$ и $CDK$ равны, так как $DK$ — биссектриса угла $ADC.$ При этом $∠ADK = ∠DKC$ как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $DK.$ Тогда

∠CDK = ∠ADK = ∠DKC.

Следовательно, треугольник $CDK$ — равнобедренный, в котором равны стороны $CK$ и $CD.$

Таким образом,

BK = BA = CD = CK.

Итого, $BK = CK.$ Тогда точка $K$ — середина стороны $BC.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#61822Максимум баллов за задание: 2

Биссектрисы углов $C$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $L,$ лежащей на стороне $AB.$ Докажите, что $L$ — середина $AB.$

Источники: Банк ФИПИ, Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 14

Показать доказательство

По условию четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм. Значит, его противоположные стороны равны и параллельны. В частности, $BC = AD$ и $AB ∥ CD.$

$ABCDL$

Углы $BCL$ и $LCD$ равны, так как $CL$ — биссектриса угла $BCD.$ При этом $∠LCD = ∠BLC$ как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $CD$ и $AB$ и секущей $CL.$ Тогда

∠BCL = ∠LCD = ∠BLC.

Следовательно, треугольник $CBL$ — равнобедренный, в котором равны стороны $BL$ и $BC.$

Углы $ADL$ и $LDC$ равны, так как $DL$ — биссектриса угла $ADC.$ При этом $∠LDC = ∠ALD$ как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $CD$ и $AB$ и секущей $DL.$ Тогда

∠ADL = ∠LDC = ∠ALD.

Следовательно, треугольник $DAL$ — равнобедренный, в котором равны стороны $AL$ и $AD.$

Таким образом,

BL = BC = AD = AL.

Итого, $BL = AL.$ Тогда точка $L$ — середина стороны $AB.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущая подтема

Следующая подтема