Тема №24. Геометрические задачи на доказательство

01 Задачи №24 из банка ФИПИ → 01.02 №24. Тип 2

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №24. геометрические задачи на доказательство

Разделы подтемы Задачи №24 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#28215Максимум баллов за задание: 2

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Докажите, что отрезки $BK$ и $DM$ равны.

Источники: Банк ФИПИ, Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 27

Показать доказательство

По условию четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм. Значит, его противоположные стороны параллельны. В частности, $BC ∥AD.$

$ABCDOKM$

Рассмотрим треугольники $BKO$ и $DMO :$

1.: $BO = OD,$ так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
2.: $∠BOK = ∠DOM$ как вертикальные.
3.: $∠KBO = ∠MDO$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD.$

Тогда треугольники $BKO$ и $DMO$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, $BK = DM$ как соответственные элементы равных треугольников.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#94482Максимум баллов за задание: 2

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что отрезки $AE$ и $CF$ равны.

Источники: Банк ФИПИ, Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 21

Показать доказательство

По условию четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм. Значит, его противоположные стороны параллельны. В частности, $AB ∥CD.$

$ABCDOEF$

Рассмотрим треугольники $AOE$ и $COF :$

1.: $AO = OC,$ так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
2.: $∠AOE = ∠COF$ как вертикальные.
3.: $∠OAE = ∠OCF$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC.$

Тогда треугольники $AOE$ и $COF$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, $AE = CF$ как соответственные элементы равных треугольников.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#94483Максимум баллов за задание: 2

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что отрезки $BP$ и $DQ$ равны.

Источники: Банк ФИПИ, Сборник И.В. Ященко, Вариант 22

Показать доказательство

$ABCDOPQ$

Рассмотрим треугольники $OBP$ и $ODQ :$

1.: $BO = OD,$ так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
2.: $∠BOP =∠DOQ$ как вертикальные.
3.: $∠OBP =∠ODQ$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD.$

Тогда треугольники $OBP$ и $ODQ$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, $BP =DQ$ как соответственные элементы равных треугольников.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#43616Максимум баллов за задание: 2

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ в точках $L$ и $N$ соответственно. Докажите, что отрезки $CL$ и $AN$ равны.

Источники: Банк ФИПИ, Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 29

Показать доказательство

$ABCDOLN$

Рассмотрим треугольники $OLC$ и $ONA :$

1.: $CO = OA,$ так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
2.: $∠COL = ∠AON$ как вертикальные.
3.: $∠OCL = ∠OAN$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC.$

Тогда треугольники $OLC$ и $ONA$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, $CL = AN$ как соответственные элементы равных треугольников.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущая подтема

Следующая подтема