Тема №24. Геометрические задачи на доказательство

01 Задачи №24 из банка ФИПИ → 01.05 №24. Тип 5

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №24. геометрические задачи на доказательство

Разделы подтемы Задачи №24 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#121409Максимум баллов за задание: 2

Биссектрисы углов $A$ и $B$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $K,$ лежащей на стороне $CD.$ Докажите, что точка $K$ равноудалена от прямых $AB, BC$ и $AD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Проведём $KL ⊥ AD,$ $KM ⊥ AB$ и $KN ⊥BC.$

$PIC$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $KAL$ и $KAM.$ В них $KA$ — общая гипотенуза, $∠KAL = ∠KAM,$ так как $AK$ — биссектриса $∠A.$ Следовательно, треугольники $KAL$ и $KAM$ равны по гипотенузе и острому углу. Тогда $KL = KM$ как соответственные элементы равных треугольников.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $KBN$ и $KBM.$ В них $KB$ — общая гипотенуза, $∠KBN = ∠KBM,$ так как $BK$ — биссектриса $∠B.$ Следовательно, треугольники $KBN$ и $KBM$ равны по гипотенузе и острому углу. Тогда $KN = KM$ как соответственные элементы равных треугольников.

Получаем, что

KL = KM = KN.

Значит, точка $K$ равноудалена от прямых $AD,$ $AB$ и $BC.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#121410Максимум баллов за задание: 2

Биссектрисы углов $A$ и $D$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $M,$ лежащей на стороне $BC.$ Докажите, что точка $M$ равноудалена от прямых $AB,$ $AD$ и $CD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Проведём $MK ⊥ AD,$ $ML ⊥ AB$ и $MN ⊥ CD.$

$PIC$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $KMD$ и $NMD.$ В них $MD$ — общая гипотенуза, $∠MDK =∠MDN,$ так как $DM$ — биссектриса $∠D.$ Следовательно, треугольники $KMD$ и $NMD$ равны по гипотенузе и острому углу. Тогда $MK = MN$ как соответственные элементы равных треугольников.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $MKA$ и $MLA.$ В них $MA$ — общая гипотенуза, $∠MAK = ∠MAL,$ так как $AM$ — биссектриса $∠A.$ Следовательно, треугольники $MAK$ и $MAL$ равны по гипотенузе и острому углу. Тогда $MK = ML$ как соответственные элементы равных треугольников.

Получаем, что

ML = MK = MN.

Значит, точка $M$ равноудалена от прямых $AB,$ $AD$ и $CD.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#121411Максимум баллов за задание: 2

Биссектрисы углов $B$ и $C$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O,$ лежащей на стороне $AD.$ Докажите, что точка $O$ равноудалена от прямых $AB, BC$ и $CD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Проведём $OM ⊥ BC,$ $OL ⊥ AB$ и $ON ⊥ CD.$

$PIC$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $OMC$ и $ONC.$ В них $OC$ — общая гипотенуза, $∠MCO = ∠NCO,$ так как $CO$ — биссектриса $∠C.$ Следовательно, треугольники $OMC$ и $ONC$ равны по гипотенузе и острому углу. Тогда $OM = ON$ как соответственные элементы равных треугольников.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $OMB$ и $OLB.$ В них $BO$ — общая гипотенуза, $∠OBM =∠OBL,$ так как $BO$ — биссектриса $∠B.$ Следовательно, треугольники $OMB$ и $OLB$ равны по гипотенузе и острому углу. Тогда $OM = OL$ как соответственные элементы равных треугольников.

Получаем, что

OL = OM = ON.

Значит, точка $O$ равноудалена от прямых $AB,$ $BC$ и $CD.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#121412Максимум баллов за задание: 2

Биссектрисы углов $C$ и $D$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P,$ лежащей на стороне $AB.$ Докажите, что точка $P$ равноудалена от прямых $BC,$ $CD$ и $AD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Проведём $PM ⊥ CD,$ $P L⊥ BC$ и $P N ⊥ AD.$

$PIC$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $PMD$ и $PND.$ В них $DP$ — общая гипотенуза, $∠PDM = ∠P DN,$ так как $DP$ — биссектриса $∠D.$ Следовательно, треугольники $PDM$ и $P DN$ равны по гипотенузе и острому углу. Тогда $P M = PN$ как соответственные элементы равных треугольников.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $PCM$ и $PCL.$ В них $PC$ — общая гипотенуза, $∠P CM =∠P CL,$ так как $CP$ — биссектриса $∠C.$ Следовательно, треугольники $PCM$ и $PCL$ равны по гипотенузе и острому углу. Тогда $P M = PL$ как соответственные элементы равных треугольников.

Получаем, что

P N =P M = PL.

Значит, точка $P$ равноудалена от прямых $BC,$ $CD$ и $AD.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущая подтема

Следующая подтема