Тема №24. Геометрические задачи на доказательство

01 Задачи №24 из банка ФИПИ → 01.08 №24. Тип 8

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №24. геометрические задачи на доказательство

Разделы подтемы Задачи №24 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#94615Максимум баллов за задание: 2

Точка $K$ — середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD.$ Докажите, что площадь треугольника $KAB$ равна половине площади трапеции.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 1

Показать доказательство

Проведем через точку $K$ прямую $EL,$ перпендикулярную основаниям трапеции $ABCD.$ Тогда $EL ⊥BC$ и $EL ⊥ AD.$

По условию $K$ — середина $CD.$ Тогда $CK = KD.$

$abhhABCDKEL$

Рассмотрим треугольники $DKL$ и $CKE.$ Они прямоугольные, так как $∠DLK = 90∘ = ∠CEK.$ В них $∠DKL = ∠CKE$ как вертикальные углы между прямыми $CD$ и $EL.$ При этом $DK = CK.$ Таким образом, прямоугольные треугольники $DKL$ и $CKE$ равны по острому углу и гипотенузе. Соответственные элементы равных треугольников равны, поэтому $KE = KL.$

Пусть $BC =a,$ $AD = b,$ $KE = KL =h.$

Тогда

EL = EK +KL = 2h.

Площадь трапеции $ABCD$ равна

SABCD = BC-+-AD- ⋅EL = a+-b⋅2h= (a+ b)⋅h. 2 2

Рассмотрим треугольник $BKC.$ Найдем его площадь:

1 1 SBKC = 2 ⋅BC ⋅EK = 2ah.

Рассмотрим треугольник $AKD.$ Найдем его площадь:

SAKD = 1 ⋅AD ⋅KL = 1bh. 2 2

Тогда

1 1 a+ b 1 SBKC +SAKD = 2ah+ 2bh= -2--⋅h= 2 SABCD.

Тогда

SKAB = SABCD − SBKC − SAKD = 1 1 = SABCD − 2SABCD = 2SABCD.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#61823Максимум баллов за задание: 2

Точка $E$ — середина боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD.$ Докажите, что площадь треугольника $ECD$ равна половине площади трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Проведем через точку $E$ прямую $KL,$ перпендикулярную основаниям трапеции $ABCD.$ Тогда $KL ⊥ BC$ и $KL ⊥ AD.$

По условию $E$ — середина $AB.$ Тогда $AE = EB.$

$abhhABCDEKL$

Рассмотрим треугольники $AEL$ и $BEK.$ Они прямоугольные, так как $∠ALE = 90∘ = ∠BKE.$ В них $∠AEL = ∠BEK$ как вертикальные углы между прямыми $AB$ и $KL.$ При этом $AE =BE.$ Таким образом, прямоугольные треугольники $AEL$ и $BEK$ равны по острому углу и гипотенузе. Соответственные элементы равных треугольников равны, поэтому $EL = EK.$

Пусть $BC =a,$ $AD = b,$ $EL = EK = h.$

Тогда

KL = EK + EL = 2h.

Площадь трапеции $ABCD$ равна

SABCD = BC-+-AD- ⋅KL = a+-b⋅2h =(a+ b)⋅h. 2 2

Рассмотрим треугольник $BEC.$ Найдем его площадь:

1 1 SBEC = 2 ⋅BC ⋅EK = 2ah.

Рассмотрим треугольник $AED.$ Найдем его площадь:

SAED = 1 ⋅AD ⋅EL = 1bh. 2 2

Тогда

1 1 a +b 1 SBEC +SAED = 2 ah+ 2bh= --2- ⋅h= 2SABCD.

Тогда

SECD = SABCD − SBEC − SAED = 1 1 = SABCD − 2SABCD = 2SABCD.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущая подтема

Следующая подтема