Тема №24. Геометрические задачи на доказательство

01 Задачи №24 из банка ФИПИ → 01.15 №24. Тип 15

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №24. геометрические задачи на доказательство

Разделы подтемы Задачи №24 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#43941Максимум баллов за задание: 2

Окружности с центрами в точках $I$ и $J$ не имеют общих точек, и окружности не лежат одна внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $m :n.$ Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $m :n.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Пусть $I$ — центр первой окружности, $J$ — центр второй, $A$ и $B$ — точки касания общей внутренней касательной с первой и второй окружностями соответственно.

Пусть $K$ — точка пересечения $IJ$ и $AB.$ Тогда по условию $IK :KJ = m :n.$

Проведем радиусы $IA$ и $JB.$ Радиус, проведенный к точке касания перпендикулярен касательной, поэтому, так как $AB$ — общая касательная к окружностям, то

∠IAK = 90∘ =∠JBK.

$nmIJABKxx$

Заметим, что $∠IKA = ∠JKB$ как вертикальные. Тогда треугольники $IKA$ и $JKB$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

IA-= IK- = m. JB JK n

Диаметр любой окружности равен ее удвоенному радиусу, то есть

$pict$

Тогда

d1 = 2IA-= IA-= m-. d2 2JB JB n

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#61820Максимум баллов за задание: 2

Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $a:b.$ Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $a:b.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Пусть $P$ — центр первой окружности, $Q$ — центр второй, $A$ и $B$ — точки касания общей внутренней касательной с первой и второй окружностями соответственно.

Пусть $K$ — точка пересечения $PQ$ и $AB.$ Тогда по условию $PK :KQ =a :b.$

Проведем радиусы $PA$ и $QB.$ Радиус, проведенный к точке касания перпендикулярен касательной, поэтому, так как $AB$ — общая касательная к окружностям, то

∠PAK = 90∘ = ∠QBK.

$abQPBAKxx$

Заметим, что $∠P KA = ∠QKB$ как вертикальные. Тогда треугольники $PKA$ и $QKB$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

PA-= P-K-= a. QB QK b

Диаметр любой окружности равен ее удвоенному радиусу, то есть

$pict$

Тогда

d1 = 2PA-= P-A = a. d2 2QB QB b

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущая подтема