Тема №24. Геометрические задачи на доказательство

01 Задачи №24 из банка ФИПИ → 01.14 №24. Тип 14

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №24. геометрические задачи на доказательство

Разделы подтемы Задачи №24 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#94622Максимум баллов за задание: 2

Окружности с центрами в точках $M$ и $N$ пересекаются в точках $S$ и $T,$ причём точки $M$ и $N$ лежат по одну сторону от прямой $ST.$ Докажите, что прямые $MN$ и $ST$ перпендикулярны.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 13

Показать доказательство

Проведём отрезки $MS,$ $MT,$ $NS$ и $NT.$

$MNSTH$

Заметим, что $MS = MT$ как радиусы окружности с центром в точке $M,$ а $NS =NT$ как радиусы окружности с центром в точке $N.$

Рассмотрим треугольники $SMN$ и $TMN.$ В них $MN$ — общая сторона, $MS = MT$ и $NS = NT.$ Тогда треугольники $SMN$ и $T MN$ равны по трём сторонам. Следовательно, $∠SMN = ∠TMN$ как соответственные элементы равных треугольников. Таким образом, $MN$ — биссектриса угла $SMT.$

Пусть $MN$ пересекает $ST$ в точке $H.$ Рассмотрим равнобедренный треугольник $SMT.$ В нём биссектриса $MH,$ проведённая к основанию, является и высотой. Значит, $MN ⊥ ST.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#94620Максимум баллов за задание: 2

Окружности с центрами в точках $I$ и $J$ пересекаются в точках $A$ и $B,$ причём точки $I$ и $J$ лежат по одну сторону от прямой $AB.$ Докажите, что прямые $AB$ и $IJ$ перпендикулярны.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 14

Показать доказательство

Проведём отрезки $IA,$ $IB,$ $JA$ и $JB.$

$IJABH$

Заметим, что $IA = IB$ как радиусы окружности с центром в точке $I,$ а $JA = JB$ как радиусы окружности с центром в точке $J.$

Рассмотрим треугольники $AIJ$ и $BIJ.$ В них $IJ$ — общая сторона, $IA = IB$ и $JA = JB.$ Тогда треугольники $AIJ$ и $BIJ$ равны по трём сторонам. Следовательно, $∠AIJ = ∠BIJ$ как соответственные элементы равных треугольников. Таким образом, $IJ$ — биссектриса угла $AIB.$

Пусть $IJ$ пересекает $AB$ в точке $H.$ Рассмотрим равнобедренный треугольник $AIB.$ В нём биссектриса $IH,$ проведённая к основанию, является и высотой. Значит, $IJ ⊥ AB.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#26573Максимум баллов за задание: 2

Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ пересекаются в точках $K$ и $L,$ причём точки $P$ и $Q$ лежат по одну сторону от прямой $KL.$ Докажите, что $P Q ⊥ KL.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Проведём отрезки $PK,$ $PL,$ $QK$ и $QL.$

$PQKLH$

Заметим, что $P K = PL$ как радиусы окружности с центром в точке $P,$ а $QK = QL$ как радиусы окружности с центром в точке $Q.$

Рассмотрим треугольники $KP Q$ и $LPQ.$ В них $PQ$ — общая сторона, $P K = PL$ и $QK = QL.$ Тогда треугольники $KP Q$ и $LPQ$ равны по трём сторонам. Следовательно, $∠KP Q =∠LP Q$ как соответственные элементы равных треугольников. Таким образом, $P Q$ — биссектриса угла $KP L.$

Пусть $P Q$ пересекает $KL$ в точке $H.$ Рассмотрим равнобедренный треугольник $KP L.$ В нём биссектриса $PH,$ проведённая к основанию, является и высотой. Значит, $PQ ⊥ KL.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#54961Максимум баллов за задание: 2

Окружности с центрами в точках $E$ и $F$ пересекаются в точках $C$ и $D,$ причем точки $E$ и $F$ лежат по одну сторону от прямой $CD.$ Докажите, что прямые $CD$ и $EF$ перпендикулярны.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Проведём отрезки $EC,$ $ED,$ $FC$ и $FD.$

$EFCDH$

Заметим, что $EC =ED$ как радиусы окружности с центром в точке $E,$ а $F C = F D$ как радиусы окружности с центром в точке $F.$

Рассмотрим треугольники $CEF$ и $DEF.$ В них $EF$ — общая сторона, $EC =ED$ и $FC = FD.$ Тогда треугольники $CEF$ и $DEF$ равны по трём сторонам. Следовательно, $∠CEF = ∠DEF$ как соответственные элементы равных треугольников. Таким образом, $EF$ — биссектриса угла $CED.$

Пусть $EF$ пересекает $CD$ в точке $H.$ Рассмотрим равнобедренный треугольник $CED.$ В нём биссектриса $EH,$ проведённая к основанию, является и высотой. Значит, $EF ⊥ CD.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущая подтема

Следующая подтема