Тема Системы уравнений

04 Система с линейным и нелинейным уравнением

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела системы уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#131392

Решите систему уравнений:

({ 2 y =x (y =2x+ 3

Источники: Авторская, Арсенова Ю. А.

Показать ответ и решение

Поскольку обе функции выражены через $y,$ мы можем приравнять правые части уравнений:

$x2 =2x+ 3$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x2 − 2x− 3= 0$

Способ 1: Через дискриминант

Для квадратного уравнения вида $ax2+bx+ c= 0,$ дискриминант вычисляется по формуле: $D= b2− 4ac.$ В нашем случае, $a= 1,$ $b= −2,$ $c= −3.$

$D= (−2)2 − 4(1)(−3)= 4+12= 16$

Так как $D > 0,$ уравнение имеет два различных действительных корня. Корни вычисляются по формуле:

$−b±-√D- x1,2 = 2a$

$−(−2)+√16- 2+ 4 6 x1 = ---2(1)----= -2--= 2 = 3$

$√ -- x2 = −(−2)−--16-= 2−-4= −2-=− 1 2(1) 2 2$

Способ 2: Теорема Виета

Для квадратного уравнения вида $x2+ bx +c= 0$ (где коэффициент при $x2$ равен $1),$ теорема Виета утверждает:

Сумма корней: $x + x = −b 1 2$

Произведение корней: $x1 ⋅x2 = c$

В нашем уравнении $x2− 2x − 3= 0,$ $b= −2$ и $c= −3.$ Значит:

$x1 +x2 = −(−2)= 2$

$x1 ⋅x2 =− 3$

Нужно найти два числа, которые в сумме дают $2,$ а в произведении $− 3.$ Путем подбора (или решения системы уравнений) находим, что это числа $3$ и $− 1.$

Итак, $x1 = 3$ и $x2 = −1$

Нахождение значений y

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x.$ Используем уравнение $y = 2x+ 3:$

Для $x1 = 3:$

$y1 =2(3)+3= 6+ 3= 9$

Для $x2 = −1:$ $y2 =2(−1)+3 =− 2+3 =1$

Ответ:

Решения системы: $(3,9)$ и $(−1,1).$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#131393

Решите систему уравнений:

({ 2 y =x +4x+ 3 (y =x +3

Источники: Авторская, Арсенова Ю. А.

Показать ответ и решение

Поскольку обе функции выражены через $y,$ мы можем приравнять правые части уравнений:

$x2 +4x+ 3= x+ 3$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x2 +4x− x+ 3− 3= 0$

Приведем подобные члены:

$x2 +3x= 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x+ 3)= 0$

Находим корни:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x1 =0$

$x+3 =0 ⇒ x2 = −3$

Находим соответствующие значения y:

Используем уравнение $y = x+ 3:$

Для $x1 = 0:$

$y1 =0+ 3= 3$

Для $x2 = −3:$

$y2 =− 3+3 =0$

Ответ: $(0,3)$ и $(−3,0).$

Ответ:

$(0,3)$ и $(−3,0).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#131394

Решите систему уравнений:

({ 2 2 x + y =5 ( x− y = 1

Источники: Решение систем линейных и нелинейных уравнений (см. yandex.ru)

Показать ответ и решение

Выразим $x$ через $y$ из второго уравнения:

$x= y+1$

( { x2+ y2 =5 ( x= y+ 1

(1)

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$(y+ 1)2 +y2 = 5$

( { (y+ 1)2+y2 = 5 ⇒ y2+2y +1+ y2 = 5 ( x= y+ 1

Раскроем скобки и упростим:

$y2 +2y+ 1+ y2 =5$

$2 2y + 2y− 4= 0$

Разделим обе части уравнения на $2:$

$2 y +y− 2= 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$2 2 D= b − 4ac= 1 − 4(1)(−2)= 1+ 8= 9$

Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня:

$−b+√D-- −1+ √9 −1+ 3 2 y1 = --2a---= -2(1)--= --2--= 2 =1$

$√ -- √- y2 = −b−--D-= −1−--9-= −1−-3= −4-= −2 2a 2(1) 2 2$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого значения $y.$ Используем уравнение $x= y+ 1:$

Для $y1 = 1:$

$x1 =1 +1= 2$

Для $y2 = −2:$

$x2 =− 2+1 =− 1$

Таким образом, решениями системы являются пары $(2,1)$ и $(−1,− 2).$

Ответ:

Решения системы: $(−1,−2)$ и $(2,1).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#131395

Решите систему уравнений:

({ 2 2 x +y = 13 ( x+y =5

Источники: Решение систем линейных и нелинейных уравнений (см. yandex.ru)

Показать ответ и решение

Выразим $x$ через $y$ из второго уравнения:

$x= 5− y$

( { x2 +y2 = 13 ( x= 5− y

(1)

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$(5− y)2 +y2 = 13$

( { (5 − y)2+y2 = 13⇒ 25− 10y+y2+ y2 = 13 ( x= 5− y

(2)

Раскроем скобки и упростим:

$25 − 10y+ y2 +y2 = 13$

$2y2− 10y+12= 0$

Разделим обе части уравнения на $2:$

$y2 − 5y+ 6= 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D= b2− 4ac= (−5)2 − 4(1)(6) =25− 24= 1$

Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня:

$−b+√D-- 5+-√1 5-+1 6 y1 = 2a = 2(1) = 2 = 2 = 3$

$−b− √D- 5− √1 5 − 1 4 y2 = --2a---= -2(1)-= --2- = 2 = 2$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого значения $y.$ Используем уравнение $x= 5− y :$

Для $y1 = 3:$

$x1 =5 − 3= 2$

Для $y2 = 2:$

$x =5 − 2= 3 2$

Таким образом, решениями системы являются пары $(2,3)$ и $(3,2).$

Ответ:

Решения системы: $(2,3)$ и $(3,2).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#131396

Решите систему уравнений:

({ y− x =6 ( x2 +y2 = 10

Источники: Решение систем линейных и нелинейных уравнений (см. yandex.ru)

Показать ответ и решение

Выразим $y$ через $x$ из первого уравнения:

$y = x+6$

( { y = x+6 ( x2 +y2 = 10

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$x2 +(x+ 6)2 = 10$

( { y = x+ 6 ( (x +6)2+y2 = 10⇒ x2+ x2+ 12x +36= 10

Раскроем скобки и упростим:

$x2 +x2+ 12x+36= 10$

$2x2+ 12x+ 26 =0$

Разделим обе части на $2:$

$x2 +6x+ 13= 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D= b2− 4ac= 62− 4(1)(13)= 36 − 52= −16$

Так как $D < 0,$ квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ:

Система не имеет действительных решений.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#131397

Решите систему уравнений методом подстановки:

({ 2 2 x +y = 25 ( x+y =7

Источники: Videouroki.net, Контрольная работа по теме "Системы уравнений" (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Выразим $x$ через $y$ из второго уравнения:

$x= 7− y$

( { x2 +y2 = 25 ( x= 7− y

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$(7− y)2 +y2 = 25$

( { (7 − y)2+y2 = 25⇒ 49− 14y+y2+ y2 = 25 ( x= 7− y

Раскроем скобки и упростим:

$49 − 14y+ y2 +y2 = 25$

$2y2− 14y+24= 0$

Разделим обе части на $2:$

$y2 − 7y+ 12= 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D= b2− 4ac= (−7)2 − 4(1)(12)= 49− 48 =1$

Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня:

$√ -- √- y1 = −b+--D-= 7+--1= 7-+1 = 8= 4 2a 2(1) 2 2$

$√ -- √- y = −b−--D-= 7−--1= 7-− 1 = 6= 3 2 2a 2(1) 2 2$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого значения $y.$ Используем уравнение $x= 7− y :$

Для $y1 = 4:$

$x1 =7 − 4= 3$

Для $y2 = 3:$

$x2 =7 − 3= 4$

Таким образом, решениями системы являются пары $(3,4)$ и $(4,3).$

Ответ:

Решения системы: $(4,3)$ и $(3,4)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#131398

Решите систему уравнений методом подстановки:

({ 2 2 x +3y = 4 ( x+y =6

Источники: Videouroki.net, Контрольная работа по теме "Системы уравнений" (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Выразим $x$ через $y$ из второго уравнения:

$x= 6− y$

( { x2 +3y2 = 4 ( x= 6− y

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$(6− y)2 +3y2 = 4$

( { (6− y)2 +3y2 = 4 ( x= 6− y

Раскроем скобки и упростим:

$36 − 12y+ y2 +3y2 = 4$

$4y2− 12y+32= 0$

Разделим обе части на $4:$

$y2 − 3y+ 8= 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D= b2− 4ac= (−3)2 − 4(1)(8) =9− 32= −23$

Так как $D < 0,$ квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ:

Система не имеет действительных решений.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#131402

Решите систему уравнений методом подстановки:

({ 2x − y =1 ( 2x2 − y2+ x+ y = −11

Источники: Фоксфорд, Метод подстановки при решении систем нелинейных уравнений (см. foxford.ru)

Показать ответ и решение

Выразим $y$ через $x$ из первого уравнения:

$y = 2x − 1$

( { y = 2x − 1 ( 2x2 − y2+ x+ y = −11

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$2x2− (2x − 1)2+ x+(2x− 1)=− 11$

Раскроем скобки и упростим:

$2x2− (4x2 − 4x+ 1)+x +2x− 1= −11$

$2 2 2x − 4x + 4x − 1+ x+ 2x− 1= −11$

$− 2x2+ 7x− 2= −11$

$2 − 2x + 7x+ 9= 0$

Умножим обе части на $− 1:$

$2 2x − 7x− 9= 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$2 2 D= b − 4ac= (−7) − 4(2)(−9)= 49 +72= 121$

$√-- --- x1,2 = −b±2a-D-= 7±√2(122)1= 7±411$

$7+11 18 9 x1 = -4-= -4 = 2 = 4,5$

$x2 = 7−141-= −44= −1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x.$ Используем уравнение $y = 2x− 1:$

Для $x1 = 4,5:$

$y1 =2(4,5)− 1= 9− 1 =8$

Для $x2 = −1:$

$y2 =2(−1)− 1 =− 2− 1 =− 3$

Таким образом, решениями системы являются пары $(4,5, 8)$ и $(−1,−3).$

Ответ:

Решения системы: $(4,5, 8)$ и $(−1,−3).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#131404

Решите систему уравнений:

({ 2 123x − 123= 123+ 123y ( 123− 123y = 123 +123x

Источники: Авторская, Арсенова Ю. А.

Показать ответ и решение

Прежде всего, упростим оба уравнения, разделив каждое уравнение на $123:$

( { x2− 1= 1+y ( 1− y = 1+ x

Теперь перепишем уравнения, чтобы выразить $y$ через $x:$

( { x2− 1− 1= y ⇒ x2 − 2= y ( 1− y − 1 =x ⇒ −y = x⇒ y =− x

Поскольку обе части выражены через $y,$ мы можем приравнять правые части уравнений:

$x2 − 2= −x$

$x2 +x− 2= 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D= b2− 4ac= 12− 4(1)(−2)= 1+ 8= 9$

Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня:

$√-- √- x1 = −b+--D-= −1+--9-= −1+-3= 2 =1 2a 2(1) 2 2$

$√-- √- x2 = −b−--D-= −1−--9-= −1−-3= −4-= −2 2a 2(1) 2 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x.$ Используем уравнение $y = −x :$

Для $x1 = 1:$

$y1 =− 1$

Для $x2 = −2:$

$y2 =− (−2)= 2$

Таким образом, решениями системы являются пары $(1,− 1)$ и $(−2,2).$

Ответ:

Решения системы: $(−2,2)$ и $(1,− 1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#131405

Решите систему уравнений:

({ 5x+ 9= y ( x2+ x− 3 =y

Источники: РЕШУ ЕГЭ (см. math-ege.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Поскольку обе части выражены через $y,$ мы можем приравнять правые части уравнений:

$5x +9= x2+ x− 3$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x2 +x− 3− 5x− 9= 0$

$2 x − 4x− 12= 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$2 2 D= b − 4ac= (−4) − 4(1)(−12)=16+ 48= 64$

Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня:

$−b+ √D- 4+ √64 4+ 8 12 x1 = --2a---= -2(1)-= --2- =-2 =6$

$√-- √-- x2 = −b−--D-= 4−--64= 4−-8 = −-4= −2 2a 2(1) 2 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x.$ Используем уравнение $y = 5x+ 9:$

Для $x1 = 6:$ $y1 = 5(6)+ 9= 30+9 =39$

Для $x2 = −2:$ $y2 =5(−2)+9 =− 10 +9 =−1$

Таким образом, решениями системы являются пары $(6,39)$ и $(− 2,−1).$

Ответ:

Решения системы: $(6,39)$ и $(−2,− 1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#131406

Решите систему уравнений:

({ − 4x +9= y (x2 +3x+ 1= y

Источники: РЕШУ ЕГЭ (см. math-ege.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Поскольку обе части выражены через $y,$ мы можем приравнять правые части уравнений:

$− 4x +9= x2+ 3x+ 1$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x2 +3x+ 1+ 4x− 9 =0$

$2 x +7x− 8= 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$2 2 D= b − 4ac= (7)− 4(1)(− 8) =49+ 32= 81$

Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня:

$−b+ √D- −7+ √81 −7+ 9 2 x1 = --2a---= --2(1)---= --2--= 2 = 1$

$√-- √-- x2 = −b−--D-= −7−--81-= −7−-9= −16 =− 8 2a 2(1) 2 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x.$ Используем уравнение $y = −4x+ 9:$

Для $x1 = 1:$ $y1 = −4(1)+9= −4 +9= 5$

Для $x2 = −8:$ $y2 =− 4(−8)+ 9= 32 +9 =41$

Таким образом, решениями системы являются пары $(1,5)$ и $(−8,41).$

Ответ:

Решения системы: $(1,5)$ и $(−8, 41).$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#131407

Решите систему уравнений:

({ 2 9x − 27x +36= y (117− 27x =y

Источники: РЕШУ ЕГЭ (см. math-ege.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Поскольку обе части выражены через $y,$ мы можем приравнять правые части уравнений:

$9x2− 27x+ 36 =117− 27x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$9x2− 27x+ 36 − 117+ 27x =0$

$2 9x − 81= 0$

Разделим обе части уравнения на $9:$

$2 x − 9= 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$2 2 D= b − 4ac= (0)− 4(1)(− 9) =0+ 36= 36$

Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня:

$−b+ √D- 0+ √36 0+ 6 6 x1 = --2a---= -2(1)-= --2- =2 = 3$

$√-- √-- x2 = −b−--D-= 0−--36= 0−-6 = −-6= −3 2a 2(1) 2 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x.$ Используем уравнение $y = 117− 27x:$

Для $x1 = 3:$ $y1 = 117− 27(3)=117− 81=36$

Для $x2 = −3:$ $y2 =117− 27(−3)= 117 +81= 198$

Таким образом, решениями системы являются пары $(3,36)$ и $(− 3,198).$

Ответ:

Решения системы: $(9,−126)$ и $(−1,144)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#131408

Решите систему уравнений:

({ 5 +3x= y ( − x2 − 5x− 2= y

Источники: РЕШУ ЕГЭ (см. math-ege.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Поскольку обе части выражены через $y,$ мы можем приравнять правые части уравнений:

$5+3x= −x2 − 5x− 2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение (удобнее, когда коэффициент при $2 x$ положительный):

$x2 +5x+ 2+ 3x+5 =0$

$2 x +8x+ 7= 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$2 2 D= b − 4ac= (8)− 4(1)(7)= 64− 28 =36$

Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня:

$−b+ √D- −8+ √36 −8+ 6 −2 x1 = --2a---= --2(1)---= --2--= -2-=− 1$

$√-- √-- x2 = −b−--D-= −8−--36-= −8−-6= −14 =− 7 2a 2(1) 2 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x.$ Используем уравнение $y = 5+ 3x :$

Для $x1 = −1:$ $y1 =5+ 3(−1)=5 − 3= 2$

Для $x2 = −7:$ $y2 =5+ 3(−7)=5 − 21= −16$

Таким образом, решениями системы являются пары $(−1,2)$ и $(−7,−16).$

Ответ:

Решения системы: $(−7,−16)$ и $(1,8).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#131409

Решите систему уравнений:

({ − 6x+ 11= y (2x2− 5x +1 =y

Источники: РЕШУ ЕГЭ (см.math-ege.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Поскольку обе части выражены через $y,$ мы можем приравнять правые части уравнений:

$− 6x +11= 2x2− 5x +1$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x2− 5x+ 1+ 6x − 11= 0$

$2 2x + x− 10= 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$2 2 D= b − 4ac= (1)− 4(2)(− 10)= 1+ 80= 81$

Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня:

$−b+ √D- −1+ √81 −1+ 9 8 x1 = --2a---= --2(2)---= --4--= 4 = 2$

$√-- √-- x2 = −b−--D-= −1−--81-= −1−-9= −10 =− 2,5 2a 2(2) 4 4$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x.$ Используем уравнение $y = −6x+ 11:$

Для $x1 = 2:$ $y1 = −6(2)+11= −12+ 11= −1$

Для $x2 = −2,5:$ $y2 = −6(−2,5)+ 11= 15 +11= 26$

Таким образом, решениями системы являются пары $(2,− 1)$ и $(−2,5,26).$

Ответ:

Решения системы: $(2,−1)$ и $(−2,5,26)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#131410

Решите систему уравнений:

({ 19− 7x = y (− 1− 2x2+7x =y

Источники: РЕШУ ЕГЭ (см.math-ege.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Поскольку обе части выражены через $y,$ мы можем приравнять правые части уравнений:

$19 − 7x= −1− 2x2+ 7x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x2− 7x− 7x+19+ 1= 0$

$2 2x − 14x+ 20 =0$

Разделим обе части уравнения на $2:$

$2 x − 7x+ 10= 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$2 2 D= b − 4ac= (−7) − 4(1)(10)= 49− 40 =9$

Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня:

$−b+ √D- 7+ √9 7 +3 10 x1 = --2a---= -2(1)- =--2- = 2-= 5$

$√-- √- x2 = −b−--D-= 7−--9 = 7-− 3 = 4= 2 2a 2(1) 2 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x.$ Используем уравнение $y = 19− 7x :$

Для $x1 = 5:$

$y1 =19− 7(5)= 19− 35 =− 16$

Для $x2 = 2:$

$y2 =19− 7(2)= 19− 14 =5$

Таким образом, решениями системы являются пары $(5,− 16)$ и $(2,5).$

Ответ:

Решения системы: $(5,−16)$ и $(2,5).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#131411

Решите систему уравнений:

({ √ - 2,5⋅ x= y ( x+ 1= y

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 28 (см. uchus.online)

Показать ответ и решение

Поскольку обе части выражены через $y,$ мы можем приравнять правые части уравнений:

√- 2,5 x= x+ 1

Сделаем замену: $√ - t= x.$ Тогда $x = t2.$ Подставим в уравнение:

2 2,5⋅t= t+ 1

Перенесем все члены в правую часть:

t2 − 2,5⋅t+1 =0

Умножим обе части на $4:$

2 4t− 10⋅t+4 =0

Разделим обе части на $2:$

2t2− 5 ⋅t+ 2= 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D= b2− 4ac= (−5)2 − 4⋅2⋅2= 25− 16 =9$

Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня:

$√ -- √ - t= −-b+--D = 5+--9= 5+-3= 8 = 2 1 2a 2(2) 4 4$

$− b− √D- 5− √9 5− 3 2 t2 =---2a-- = -2(2)-= --4-= 4 = 0,5$

Сделаем обратную замену:

$⌊√- ⌈ x =2 √x =0,5$

$⌊ ⌈x= 22 = 4 x= (0,5)2 = 0,25$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x.$ Используем уравнение $y = x+ 1:$

Для $x1 = 4:$

$y1 =4+ 1= 5$

Для $x2 = 0,25 :$

$y2 =0,25+1 =1,25$

Таким образом, решениями системы являются пары $(4, 5)$ и $(0,25, 1,25).$

Ответ:

Решения системы: $(0,25, 1,25)$ и $(4, 5).$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#131412

Решите систему уравнений:

({ 2 2x + 3x − 4 =y (y = 4x+ 6

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 35 (см. uchus.online)

Показать ответ и решение

Поскольку обе части выражены через $y,$ мы можем приравнять правые части уравнений:

2x2 +3x− 4= 4x+ 6

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

2x2+ 3x− 4 − 4x− 6= 0

2x2− x− 10= 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D= b2− 4ac= (−1)2 − 4⋅2⋅(−10)=1 +80= 81$

Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня:

$√-- √-- x1 = −b+--D-= 1+--81= 1+-9 = 10 =2,5 2a 2(2) 4 4$

$√-- √-- x2 = −b−--D-= 1−--81= 1−-9 = −-8= −2 2a 2(2) 4 4$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x.$ Используем уравнение $y = 4x+ 6:$

Для $x1 = 2,5:$ $y1 = 4⋅(2,5)+6= 10+ 6= 16$

Для $x2 = −2:$ $y2 =4⋅(−2)+ 6= −8+ 6= −2$

Таким образом, решениями системы являются пары $(2,5,16)$ и $(−2,−2).$

Ответ:

Решения системы: $(−2,−2)$ и $(2,5,16).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#131413

Решите систему уравнений:

({ y = 3x+ 3 (3x+ 3= −x2− 4x − 3

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 35 (см. uchus.online)

Показать ответ и решение

Сначала решим второе уравнение относительно $x :$

3x+ 3= −x2− 4x− 3

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

x2+4x+ 3x+ 3+ 3=0

2 x + 7x +6 =0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D= b2− 4ac= (7)2− 4⋅1⋅6= 49− 24= 25$

Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня:

$-- −b+-√D- −7+-√25- −7+-5 −2- x1 = 2a = 2(1) = 2 = 2 =− 1$

$−b− √D- −7− √25 −7− 5 −12 x2 = --2a---= --2(1)---= --2--= -2- =− 6$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x.$ Используем уравнение $y = 3x+ 3:$

Для $x1 = −1:$

$y1 =3⋅(−1)+ 3= −3+ 3= 0$

Для $x2 = −6:$

$y2 =3⋅(−6)+ 3= −18+3 =− 15$

Таким образом, решениями системы являются пары $(−1,0)$ и $(−6,−15).$

Ответ:

Решения системы: $(−1,0)$ и $(−6,−15).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#131414

Решите систему уравнений:

(| 2 {y = x |(y =5x− 9

Источники: РЕШУ ЕГЭ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Поскольку обе части выражены через $y,$ мы можем приравнять правые части уравнений:

2 x = 5x− 9

Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x⁄= 0:)$

2= 5x2− 9x

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

2 5x − 9x− 2= 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D= b2− 4ac= (−9)2 − 4⋅5⋅(−2)= 81 +40= 121$

Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня:

$−b+-√D- 9+-√121 9+-11 20 x1 = 2a = 2(5) = 10 = 10 = 2$

$−b− √D- 9− √121 9− 11 −2 x2 = --2a---= --2(5)--= -10--= 10-= −0,2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x.$ Используем уравнение $y = 5x− 9:$

Для $x1 = 2:$

$y1 =5⋅2− 9= 10− 9= 1$

Для $x2 = −0,2:$

$y2 =5⋅− 0,2− 9= −1− 9= −10$

Таким образом, решениями системы являются пары $(2,1)$ и $(−0,2,−10).$

Ответ:

Решения системы: $(2, 1)$ и $(−0,2, −10).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#131415

Решите систему уравнений:

(| 2 { y = −x |( y = −4x+ 7

Источники: РЕШУ ЕГЭ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Поскольку обе части выражены через $y,$ мы можем приравнять правые части уравнений:

2 − x = −4x+ 7

Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x⁄= 0):$

−2= −4x2+ 7x

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

2 4x − 7x− 2= 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D= b2− 4ac= (−7)2 − 4⋅4⋅(−2)= 49 +32= 81$

Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня:

$√-- √-- x = −b+--D-= 7+--81= 7+-9 = 16 =2 1 2a 2(4) 8 8$

$−b− √D- 7− √81 7− 9 − 2 x2 = --2a---= -2(4)-= --8- =-8-= −0,25$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x.$ Используем уравнение $y = −4x+ 7:$

Для $x1 = 2:$

$y1 =− 4⋅(2)+ 7= −8+ 7= −1$

Для $x2 = −0,25:$

$y2 =− 4⋅(−0,25)+7= 1+ 7= 8$

Таким образом, решениями системы являются пары $(2,− 1)$ и $(−0,25,8).$

Ответ:

Решения системы: $(2 ,−1)$ и $(−0,25, 8).$