Закон сохранения и изменения импульса —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32054

По гладкой горизонтальной поверхности движутся с перпендикулярными скоростями два маленьких шарика. Массы шариков $3m$ и $2m$ , их скорости $1 м/ с$ и $2 м/ с$ соответственно. Шарики сталкиваются и прилипают друг к другу. Найдите скорость образовавшегося тела.
(«Физтех», 2014, 11 )

Источники: Физтех, 2014, 11

Показать ответ и решение

Пусть оси $x$ и $y$ – оси, сонаправленные с движением шариков.
Запишем закон сохранения импульса на каждую их осей

3 м/с ∗ m = 5mvx ⇒ vx = 3- 5

4- 4 м/ с ∗ m = 5mvy ⇒ vy = 5

Откуда скорость тела

∘ ------- ∘ ------- 9 + 16 v = v2x + v2y = -------м/ с = 1 м/ с 25

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32055

Вниз по шероховатой наклонной плоскости равнозамедленно движется брусок. В тот момент, когда скорость бруска равна $V1 = 1 м/ с$ , на брусок падает пластилиновый шарик и прилипает к нему, а брусок останавливается. Движение шарика до соударения — свободное падение с высоты $h = 0,8 м$ с нулевой начальной скоростью.
1. Найдите скорость $V2$ шарика перед соударением.
2. Найдите величину $a$ ускорения бруска перед соударением.
Массы бруска и шарика одинаковы. Ускорение свободного падения $2 g = 10 м/ с$ . Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Быстрые процессы торможения бруска и деформации пластилина заканчиваются одновременно. В этих процессах действие сил тяжести считайте пренебрежимо малым.
(«Физтех», 2020, 9)

Источники: Физтех, 2020, 9

Показать ответ и решение

1. Из закона сохранения энергии:

mV-22 ∘ ---- mgh = 2 ⇒ V2 = 2gh = 4 м/ с

2. Так как действие сил тяжести пренебрежительно мало, то по теореме об изменении импульса системы (в проекциях на оси, направленные вниз по наклонной плоскости и перпендикулярно от неё):

{ 0 − (− mV2 cos α) = N Δt 0 − m (V1 + V2sin α) = − FтрΔt = − μN Δt

------V1------ m (V1 + V2 sinα ) = μmV2 cos α ⇒ V2 = μ cosα − sin α

Из второго закона Ньютона:

|a | = g(μ cosα − sin α) = gV1-= 2,5 м/с2 V2

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Формула потенциальной и кинетической энергии	2

Закон сохранения энергии	2

Теорема об изменении импульса системы	2

Второй закон Ньютона	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#32056

На противоположных концах тележки массы $M$ , находящейся на гладкой горизонтальной поверхности, стоят два ученика одинаковой массы $m$ каждый. Длина тележки $L$ . Вначале система неподвижна. Один ученик бросает мяч, а другой ловит. Масса мяча $m 1$ . В процессе полета горизонтальная составляющая скорости мяча относительно поверхности, на которой находится тележка, равна $V0$ .
1. Найдите скорость $V1$ тележки после броска.
2. Найдите продолжительность $T$ полета мяча.
3. Найдите скорость $V2$ тележки после того, как второй ученик поймает мяч.
Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой.
(«Физтех», 2020, 10)

Показать ответ и решение

1. Запишем закон сохранения импульса

--m1V0--- 0 = (M + 2m )V1 − m1V0 ⇒ V1 = M + 2m

2. Так как тележка движется противоположно движению шарика, то

L L (M + 2m ) (V0 + V1)T = L ⇒ T = --------= ------------------ V0 + V1 V0(M + 2m + m1 )

3. Запишем закон сохранения импульса

0 = (M + 2m + m1 )V2 ⇒ V2 = 0

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32057

Игрушечная пушка может скользить по рельсам, укреплённым на горизонтальном полу. Ствол пушки наклонён под углом $φ$ к горизонту (см. рисунок). Масса пушки без снаряда равна $M$ , масса снаряда – $m$ . Из покоившейся пушки произведён выстрел. В результате пушка, не отрывавшаяся от рельсов, получила скорость $u$ . На каком расстоянии от места выстрела снаряд упал на пол? Высоту пушки не учитывать. Направления всех движений параллельны плоскости рисунка.
(МФТИ, 2002)

Источники: МФТИ, 2002

Показать ответ и решение

Запишем правило сложения скоростей для снаряда в системе отсчета пушки:

⃗v = ⃗u + v⃗отн

В проекции на горизонтальную ось $x$ выполняется закон сохранения импульса:

M mvx = M u ⇒ vx = --u m

Найдем проекцию скорости снаряда на вертикальную ось $y$ :

v = v = v sinφ y отнy отн

Пусть снаряд вылетает под некоторым углом $α$ к горизонту. Из уравнений кинематики можем записать дальность полета снаряда:

v2 sin 2α 2v sin α ⋅ v cosα 2v v L = ---------= ----------------= --x-y- g g g

Распишем отношение проекций скорости снаряда относительно пушки как тангенс угла наклона пушки:

v v tgφ = -отнy-= ---y---⇒ vy = tgφ(u + vx). vотнx u + vx

По итогу получаем:

2vx-(u-+-vx)tgφ- 2M--(M--+-m-)u2 L = g = m2g tgφ

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#32058

Горка массой $4m$ с шайбой массой $m$ покоятся на гладкой горизонтальной поверхности стола (см. рисунок). От незначительного толчка шайба начинает скользить по горке без трения, не отрываясь от неё, и покидает горку. Горка, не отрывавшаяся от стола, приобретает скорость $u$ . С какой скоростью шайба упадёт на стол? Нижняя часть поверхности горки составляет угол $30∘$ с вертикалью и находится на расстоянии $H$ от поверхности стола. Направления всех движений параллельны плоскости рисунка.
(МФТИ, 2002)

Источники: МФТИ, 2002

Показать ответ и решение

Запишем закон сложения скоростей:

v⃗абс = v⃗отн + v⃗пер ⇔ ⃗v0 = ⃗v + ⃗u

Также запишем закон сохранения импульса на горизонтальную ось

0 = − 4mu + mv0x

( { Ox : v0x = − u + vsinγ 5u ⇒ v = -----⇒ v0y = 5uctgγ ( Oy : v0y = vcos γ sinγ

Откуда

∘ --------- ∘ ---------------- v0 = v20x + v20y = 16u2 + 25u2ctgγ

Из закона сохранения энергии

2 2 mv-1-= mv-0-+ mgH 2 2

Откуда

∘ ---------- 2 ∘ ----------2------2----2- ∘ ----------2- v1 = 2gH + v0 = 2gH + 16u + 25u ctgγ = 2gH + 91u

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#32059

Неподвижный снаряд разорвался на четыре осколка. Осколки массами $m1 = 3 кг$ , $m2 = 2 кг$ , $m3 = 4 кг$ полетели соответственно со скоростями $v1 = 200 м/ с$ вертикально вверх, $v2 = 150 м/ с$ горизонтально на север и $v = 100 м/ с 3$ горизонтально на восток. Под каким углом к горизонту полетел четвёртый осколок?
(МФТИ, 1991)

Источники: МФТИ, 1991

Показать ответ и решение

Запишем закон сохранения импульса:

m1 ⃗v1 + m2 ⃗v2 + m3 ⃗v3 + m4 ⃗v4 = 0

Тогда в проекциях на оси:

( | m3v3- |||| Ox : m3v3 − m4v4x = 0 ⇒ v4x = m { m2v42 Oy : m2v2 − m4v4y = 0 ⇒ v4y = ----- |||| mm4v |( Oz : m1v1 − m4v4z = 0 ⇒ v4z = --1-1 m4

По пространственной теореме Пифагора:

∘ --------------- 1 ∘ ---------------------------- v4 = v24x + v24y + v24z = --- (m3v3 )2 + (m2v2 )2 + (m1v1 )2 m4

Тогда искомый угол:

sin ϕ = v4z= ∘------------m1v1--------------= 0, 7682 v4 (m3v3 )2 + (m2v2 )2 + (m1v1)2

ϕ ≈ 50∘

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#32424

Брусок, двигавшийся по горизонтальной поверхности стола со скоростью $v0$ , сталкивается с неподвижным бруском вдвое большей массы. На какое расстояние разъедутся бруски после столкновения? Удар упругий, центральный. Коэффициенты трения брусков о стол одинаковы и равны $μ$ .

(МФТИ, 1993)

Источники: МФТИ, 1993

Показать ответ и решение

1) В случае абсолютно упругого удара закон сохранения импульса:

mv0 = mu1 + M u2,

Закон сохранения энергии:

2 2 2 mv-0- mu--1 M-u-2 2 = 2 + 2 ,

Решая систему двух уравнений относительно $u 1$ и $u 2$ , находим:

(m − M )v0 u1 = --m-+-M----, u2 = -2mv0--. m + M

При условии, что $M = 2m$ :

v 2v u1 = − -0, u2 = --0. 3 3

2) По закону изменения кинетической энергии:

2 2 mu-1-= μmgL ⇒ L = --v0- 2 1 1 18 μg

2mu22 4v20 ------= 2μmgL2 ⇒ L2 = ----- 2 18 μg

Следовательно:

2 L = L + L = -5v0- 1 2 18μg

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#42255

По гладкой горизонтальной поверхности стола движется со скоростью $u$ горка с неподвижной относительно горки шайбой на вершине горки (см. рисунок). Пуля, летящая горизонтально со скоростью $35u$ , попадает в шайбу и застревает в ней. В результате шайба съезжает с горки, не отрываясь от её гладкой поверхности, и покидает горку. Массы пули и шайбы равны $m$ и $8m$ , масса горки намного больше массы шайбы.
1) Найдите скорость шайбы $v1$ относительно горки сразу после попадания пули.
2) Найдите скорость шайбы $v2$ относительно стола сразу после попадания пули.
3) С какой скоростью относительно стола шайба покинула горку?
Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоскости. Известно, что при съезде с неподвижной горки изначально неподвижной шайбы шайба приобретает скорость $3u$ .
(«Физтех», 2014)

Источники: Физтех, 2014

Показать ответ и решение

1) Перейдём в систему отсчёта, связанную с горкой и запишем закон сохранения импульса:

m (35u + u) = (8m + m )V1 ⇒ V1 = 4u

Тогда скорость шайбы относительно Земли:

V2 = V1 − u = 3u

3) Найдем высоту горки. Из условия следует, что

2 8mgH = 8m-(3u)-- 2

Отсюда

9u2 H = ---- 2g

По ЗСЭ в ИСО, связанной с горкой

9mV-12 9m-(V--+-u)2 2 + 9mgH = 2

С учётом выражений для $V 1$ и $H$ получаем $V = 4u$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#42256

На рисунке показаны два опыта с шайбами. Поверхность стола горизонтальная и абсолютно гладкая. Измерения показали, что $′ ′′ v2 = v2$ . Найдите отношение масс шайб.
(Всеросс., 1992, ОЭ, 10)

Источники: Всеросс., 1992, ОЭ, 10

Показать ответ и решение

Oпыт 1-й. Из закона сохранения импульса имеем

′ m1⃗v0 = m2⃗v2

Oпыт 2-й. Выберем систему отсчета, движущуюся со скоростью $⃗v0$ . В этой системе шайба $m2$ вначале покоится, а шайба $m1$ движется со скоростью $v1 = v0$ .Из закона сохранения импульса следует, что после столкновения шайб справедливы те же соотношения, что и в первом опыте:

m1 ⃗v0 = m2 ⃗v′, 2

где $′ ⃗v2$ - скорость второй шайбы в движущейся системе отсчета после соударения. Возвратимся в неподвижную систему отсчета и запишем

′′ ′ m1- ⃗v 2 = ⃗v0 − ⃗v 2 = ⃗v0 − m ⃗v0 2

Окончательно из (1) и (3) получим

m1- m1- m2- m = 1 − m , откуд а m = 2, 2 2 1 m2 = 2m1

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#42257

Небольшая шайба, скользящая по гладкой горизонтальной поверхности, наезжает на гладкую горку, покоящуюся на той же поверхности (рис.). После того как шайба соскользнула с горки, оказалось, что шайба и горка движутся по гладкой горизонтальной поверхности с одинаковыми по модулю скоростями.
1) Определите, при каком соотношении масс шайбы и горки это возможно.
2) Найдите отношение максимальной потенциальной энергии, которая была у шайбы во время подъёма на горку, к начальной кинетической энергии шайбы.
Примечание. Во время подъёма и спуска шайба не отрывается от горки.
(Всеросс., 2011, финал, 9)

Источники: Всеросс., 2011, финал, 9

Показать ответ и решение

1. Пусть $m$ и $M$ - массы шайбы и горки соответственно, $v0−$ начальная скорость шайбы, $v1$ и $v2$ - проекции скоростей шайбы и горки на направление $⃗v0$ после соскальзывания шайбы. Запишем законы сохранения импульса и энергии:

mv0 = mv1 + M v2

mv20- mv21- M--v22 2 = 2 + 2

Из этих уравнений следует:

m − M 2m v1 = -------v0, v2 = -------v0 m + M m + M

Шайба и горка после соскальзывания шайбы движутся с одинаковыми по модулю скоростями в противоположных направлениях $(v2 = − v1)$ , следовательно, должно выполняться условие: $(m − M ) = − 2m$ , откуда следует: $M = 3m$ .

2. Рассмотрим теперь момент времени, когда шайба достигла максимальной высоты $H$ . В этот момент скорости шайбы и горки одинаковы и равны $v$ . Запишем для этого момента законы сохранения импульса и энергии:

mv0 = (m + M )v mv20 m + M 2 -----= mgH + -------v 2 2

Решая совместно эти уравнения, получим:

2 ( ) mv-0- 1 − --m----- = mgH 2 m + M

откуда

-mgH---= --M-----= 3- mv20∕2 m + M 4

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записан закон сохранения импульса	2

Записан закон сохранения энергии	2

Сказано что скорости шайбы и горки равны, но нправлены в протиоположные направления	2

Выражена искомая соотношение	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#42259

На гладкой горизонтальной поверхности находятся две одинаковые гладкие шайбы радиуса $R$ . Одной из шайб сообщают скорость $v0$ вдоль оси $x$ (см. рисунок). При каком значении прицельного параметра $d$ проекция на ось y скорости второй шайбы после абсолютно упругого удара максимальна?
(Всеросс., 2015, РЭ, 10)

Источники: Всеросс., 2015, РЭ, 10

Показать ответ и решение

Рассмотрим соударение тел более подробно. Введём оси вдоль линии удара, ось $⊥$ и ось $∥$ . Силы в момент удара направлены только вдоль прямой соединяющей центры шайб (линия удара), это значит, что второе тело после удара будет двигаться вдоль этой прямой. Докажем, используя ЗСИ и ЗСЭ, что первая шайба будет двигаться перпендикулярно линии удара. Для этого представим соударение шайб, как центральный удар вдоль оси $∥$ . Тогда ЗСИ на в проекции на ось $∥$ :

mv0 ∥ = mv2 − mv1 ∥

mv20∥ = mv22 + mv21∥

⇒ v0∥ = v2 + v1∥ ⇒ v0∥ = v0∥ + v1∥ + v1∥ ⇒ v1∥ = 0

То есть после удара скорость первой шайбы будет равна $v1 = v0⊥$ , второй $v2 = v0∥$ .

Пусть угол между горизонтом и линией удара равен $α$ . Тогда проекция скорости второй шайбы: $v2y = v0∥cos α = v0cos α sin α$ .

Из треугольника:

d sin α = --- 2R

⇒ v2y = v01-sin 2α 2

Следовательно, проекция будет максимальна при угле в $45 ∘$ , так как $sin2 α$ должен быть равен 1.

Тогда $√ -- d = 2R$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#42260

Гладкая упругая шайба радиуса $R$ , движущаяся со скоростью $V0$ , упруго сталкивается с такой же шайбой, покоящейся на гладкой горизонтальной поверхности. В результате столкновения скорость налетающей шайбы уменьшается вдвое.
1. Найдите расстояние $d$ от центра покоившейся шайбы до прямой, по которой двигался центр налетающей шайбы.
2. Через какое время $T$ после соударения расстояние между центрами шайб будет равно $S$ ?
(«Физтех», 2019, 10)

Источники: Физтех, 2019, 10

Показать ответ и решение

1) Рассмотрим соударение тел более подробно. Введём оси вдоль линии удара, ось $⊥$ и ось $∥$ . Силы в момент удара направлены только вдоль прямой соединяющей центры шайб (линия удара), это значит, что второе тело после удара будет двигаться вдоль этой прямой. Докажем, используя ЗСИ и ЗСЭ, что первая шайба будет двигаться перпендикулярно линии удара. Для этого представим соударение шайб, как центральный удар вдоль оси $∥$ . Тогда ЗСИ на в проекции на ось $∥$ :

mv0 ∥ = mv2 − mv1 ∥

mv20∥ = mv22 + mv21∥

⇒ v0∥ = v2 + v1∥ ⇒ v0∥ = v0∥ + v1∥ + v1∥ ⇒ v1∥ = 0

То есть после удара скорость первой шайбы будет равна $v1 = v0⊥$ , второй $v2 = v0∥$ .

2) Пусть угол между горизонтом и линией удара равен $α$ . По условию $v = v ∕2 1 0$ . С другой стороны

v = v = v sin α = v -d- ⇒ d = R 1 0⊥ 0 02R

3) Запишем расстояние между шайбами через теорему Пифагора:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 S = (v0∥t + 2R) + v0⊥t = (v0tcosα + 2R ) + (v0tsin α) = v0t + 4R + 4Rv0t cos α

√ -- -1-√ ---2----2 --3- cosα = 2R 4R − d = 2

Получим квадратное уравнение:

√ -- v20t2 + 2R 3v0t + 4R2 − S2 = 0

√S2--−-R2-− R √3-- ⇒ t = ------------------ v0

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#43193

При взрыве снаряда, летевшего вертикально, в механическую энергию была преобразована часть энергии заряда, в $10$ раз превосходящая кинетическую энергию снаряда перед взрывом. В результате взрыва снаряд раскололся на три осколка. На долю двух осколков – с массами $m = 0,5 кг 1$ и $m = 3 кг 2$ – пришлась $50%$ и $25%$ общей кинетической энергии соответственно, причем угол разлета этих осколков составил $∘ 90$ . Третий осколок полетел в горизонтальном направлении. Пренебрегая массой пороховых газов, найти массу третьего осколка.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2019, 10–11)

Источники: Покори Воробьёвы горы, 2019, 10–11

Показать ответ и решение

В рамках заданных в условии предположений (сумма масс осколков равна массе снаряда, кинетическая энергия и импульс пороховых газов пренебрежимо малы) законы сохранения импульса и энергии можно записать в виде:

⃗ m1 ⃗v1 + m2 ⃗v2 = M V − m3⃗v3, (1)

m1v21-+ m2v22-+ m3v23-= 11M-V-2 (2) 2 2 2 2

причем $M = m1 + m2 + m3, ⃗V$ - скорость снаряда перед взрывом. Кроме того, по условию

2 11 2 2 11 2 m1v1 = 2 M V , m2v 2 = 4 M V

Подставляя эти соотношения в (2), получим, что

m v2= 11M V 2 3 3 4

Возводя (1) в квадрат и учитывая перпендикулярность пар векторов $⃗v1$ и $⃗v2,⃗v3$ и $⃗V$ найдем, что

2 2 2 2 2 2 2 2 m 3v3 + M V = m1v1 + m 2v2

С учетом полученных выражений

11 11 11 18m1-+-7m2-- 4 m3 + m1 + m2 + m3 = m1 2 + m2 4 ⇒ m3 = 15 = 2 кг

(Официальное решение ПВГ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Верно сформулированы законы сохранения импульса и энергии, обоснована их применимость	2

С учетом значений $m1v21$ и $m2v22$ , получено выражение для $m3v23$	2

Переписан ЗСИ с учетом перпендикулярности векторов и выражения для $m3v23$	2

Из системы уравнений получено верное выражение для $m3$	2

Представлен верный численный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#43194

Пушечный снаряд массой $M = 100 кг$ разорвался в некоторой точке траектории на два осколка, разлетевшихся с импульсами $p1 = 3,6⋅104 кг ⋅ м/c$ и $p2 = 2,4⋅104 кг⋅ м/c$ . Импульсы осколков направлены под углом $α = 60∘$ друг к другу. Определите, при каком отношении масс осколков выделившаяся при взрыве кинетическая энергия будет минимальной. Найдите эту энергию.

(Всеросс., 2006, финал, 11)

Источники: Всеросс., 2006, финал, 11

Показать ответ и решение

Пусть $m1$ и $m2 −$ массы осколков, $M = m1 +m2 −$ первоначальная масса снаряда. По закону сохранения импульса

⃗p0 = ⃗p1 + ⃗p2 или p20 = p21 + p22 + 2p1p2cosα

Кинетическая энергия до и после взрыва соответственно равны:

2 2 2 2 2 Eнач =-p0-= p1-+p2-+-2p1p2cosα-, Eкон = -p1-+ -p2-. 2M 2(m1 + m2) 2m1 2m2

Выделившаяся при взрыве кинетическая энергия

( ) -p21- p22-- p21-+p22-+-2p1p2cosα- E = Eкон − E нач = 2m1 + 2m2 − 2(m1 + m2) .

После преобразования будем иметь

p21k-+-p221k −-2p1p2cosα m2- E = 2M , где k = m1

Для нахождения $Emin$ приравняем нулю производную:

dE 1 ( 1 ) ---= ---- p21 − p22-2 = 0 dk 2M k

Отсюда

k = p2= 2 p1 3

Подставляя найденное значение $k$ в выражение для $E$ , получим

p1p2(1 − cosα ) 6 Emin = -----M-------= 4,32⋅10 Дж

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#48652

Маленький брусок начинает соскальзывать с вершины гладкой полусферы, стоящей на гладком горизонтальном столе, и в некоторой точке отрывается от неё. Центральный угол между радиусами полусферы, проведёнными к её вершине и к точке отрыва, равен $α = arccos(0,67)$ .
Найдите отношение $x$ массы полусферы $M$ к массе бруска $m$ : $x = M ∕m$ .

(«Курчатов», 2019, 10)

Источники: Курчатов, 2019, 10

Показать ответ и решение

Рассмотрим движение бруска и полусферы в инерциальной системе отсчёта, связанной со столом. Ось $X$ направим вдоль стола, ось $Y$ вертикально вверх. Так как между полусферой и столом нет трения, то горизонтальная составляющая полного импульса сохраняется:

− M u = mVx.

Здесь $⃗u$ и $⃗V$ – скорости полусферы и бруска относительно стола. По закону сложения скоростей имеем:

⃗V = ⃗u + ⃗V0

$⃗V0$ – скорость бруска относительно полусферы; вектор $⃗V0$ направлен по касательной к окружности, по которой движется брусок. Получаем:

Vx = − u+ V0cosα,

− M u− mu + mV cosα = 0 ⇒ u = mV0-cos-α. 0 M + m

Запишем второй закон Ньютона для бруска:

m⃗a = ⃗N + m ⃗g,

$⃗a$ – ускорение бруска относительно стола, $⃗N$ – сила нормальной реакции, действующая на брусок со стороны полусферы. По закону сложения ускорений:

⃗a = ⃗ω+ a⃗, 0

$⃗ω$ – ускорение полусферы относительно стола, $⃗a 0$ – ускорение бруска относительно полусферы. Вектор $⃗ω$ сонаправлен вектору скорости полусферы $⃗u$ . Ускорение $⃗ω$ опрелеляется горизонтальной составляющей силы давления бруска на полусферу. Так как эта сила равна $− N⃗$ , то:

M ω = N sinα.

В момент отрыва имеем:

⃗ N = 0 ⇒ ⃗ω = 0 ⇒ ⃗a = a⃗0,

m ⃗a = m ⃗g ⇒ ⃗a = ⃗g. 0 0

Составляющая ускорения $a⃗ 0$ , направленная вдоль радиуса полусферы, представляет собой центростремительное ускорение бруска. Получаем:

V02 2 gcosα = R ⇒ V0 = gRcosα,

$R$ радиус полусферы. Для того чтобы найти скорость $V0$ , запишем закон сохранения энергии:

M u2 mV 2 mgR (1 − cos α) =--2--+ --2--

Горизонтальная составляющая скорости $⃗V$ была найдена выше. Для вертикальной составляющей имеем:

Vy = − V0sin α

Квадрат скорости равен:

V2 = V2+ V 2= (− u + V cosα)2 + V 2sin2α = u2 − 2uV cosα+ V 2. x y 0 0 0 0

Из закона сохранения энергии получаем:

2mgR (1− cosα) = (M + m )u2 − 2muV cosα + mV 2. 0 0

Далее воспользуемся найденными ранее выражениями для $u$ и $V0$ :

m2V 2cos2α mV0 cosα 2mgR (1− cosα) = (M +m )⋅-(M-0+m-)2-− 2mV0 cosα ⋅-M-+-m--+ mV 02 , 2 2gR(1 − cosα ) =-V0---(m cos2α − 2m cos2α + M + m ), M +m 2gR(1 − cosα ) = gR-cosα(− m cos2α + M +m ), M + m m-cos3α 2 − 2cosα = − M + m + cosα, m cos3α M + m cos3α M--+-m- = 3cosα − 2 → --m---= 3cosα−-2.

Отсюда находим отношение масс $x = M∕m$ :

3 3 x+ 1 = --cos-α--- −→ x = -cos-α---− 1 = 29 3cosα − 2 3cosα− 2

(Официальное решение Курчатов)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записан закон сохранения горизонтальной составляющей импульса	1

Записан второй закон Ньютона и закон сложения ускорений	1

Сформулировано условие отрыва и найдены ускорения бруска и полусферы в момент отрыва	1

Записан закон сохранения энергии	1

Получен правильный ответ	1

Максимальный балл	5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#48653

На гладкой горизонтальной поверхности тележки находится брусок, прикреплённый к тележке лёгкой упругой пружиной жёсткостью $k = 10 Н/ м$ (см. рисунок). Тележка с бруском движутся со скоростью $u = 0,25 м/с$ по горизонтальной поверхности пола. Пуля, летящая горизонтально со скоростью $33u$ , попадает в брусок и застревает в нём. Массы пули и бруска $m = 0,5 г$ и $7m$ , масса тележки намного больше массы бруска. Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоскости.
1) Найдите скорость бруска $v1$ относительно тележки сразу после попадания пули.
2) Найдите скорость бруска $v2$ относительно пола сразу после попадания пули.
3) Найдите максимальную деформацию пружины при последующих колебаниях бруска.
(«Физтех», 2014)

Источники: Физтех, 2014

Показать ответ и решение

1) Так как время взаимодействия очень мало, то мы можем сказать, что после соударения сила упругости не изменится. Или сила взаимодействия будет намного больше, изменившейся силы упругости. Рассмотрим систему «пуля+брусок» относительно телеги.

vп(отн) = 33u − u = 32u

Следовательно по закону сохранения импульса:

32u mv п(отн) = (7m + m )v1 ⇒ v1 = -8--= 4u = 1 м/с

2) Так как масса тележки много больше массы бруска, то после удара скорость тележки не изменится:

v2 = 4u + u = 5u = 1,25 м/с

3) Максимальная деформация наступит тогда, когда брусок будет двигаться с такой же скоростью, как и тележка (его скорость относительно тележки равна нулю). Тогда по закону сохранения энергии:

2 2 ∘ ---- ∘ ---- 8mv-1-= kx-- ⇒ x = v 8m--= 8u 2m--= 0,02 м 2 2 1 k k

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#77929

По гладкой горизонтальный поверхности двигаются две шайбы как показано на рисунке. К шайбе массой $3m$ прикреплён небольшой кусочек пластилина массой $m$ .

1) Найдите скорость шайб при их абсолютно неупругом ударе.
2) На сколько при этом увеличивается внутренняя энергия системы $E 0$ ?
3) Пусть после удара шайбы не слипаются, но кусочек пластилина прилипает к шайбе с массой $m$ , при этом внутренняя энергия системы увеличивается на $E0∕3$ . Найти относительную скорость одной шайбы относительно другой после такого соударения.

Источники: Физтех, 2023, 11

Показать ответ и решение

Для решения первого пункта задачи достаточно нарисовать треугольник импульсов и записать теорему косинусов:

25m2v2 = 144m2v2 + m2v2 − 24m2v2 cos(α) 0 0 0

|----√--------| | --133- | -v-=----5--v0-|

Далее поймем, что в описанной ситуации выполняется закон сохранения полной механической энергии. Запишем полную энергию систему до столкновения и после:

4m-(3v0)2 mv20- 5mv2-- 2 + 2 = 2 + E0

|-------------| |E0 = 26mv20 | -------5------|

Наибольший интерес вызывает 3 вопрос задачи. Для ответа на него перейдем в СО центра масс. Поймем, что скорость центра масс — это найденная нами $v$ в выражении (??). Далее найдем угол $β$ , под которым эта скорость направлена. Для этого воспользуемся теоремой синусов.

√---- -mv0-- = 5mv0--133-- sin(β) sin(α)5

-- √ 3 sin(β) = -√----- 2 133

В СО центра масс скорость центра масс, очевидно, равна нулю, а значит и суммарный импульс системы равен нулю. Чтобы это выполнялось, скорости тел должны быть направлены вдоль одной прямой что до удара, что после. Тогда запишем закон сохранения энергии и импульса:

2 2 2 2 4mv-1-+ mv-2-= 3mu--1+ 2mu-2-+ E0- 2 2 2 2 3

4mv1 − mv2 = 0

3mu − 2mu = 0 1 2

где $v1$ и $v2$ — скорости тел в системе отсчета центра масс до соударения, а $u1$ и $u2$ — скорости тел в системе отсчета центра масс после соударения. Найти их можно из треугольника сложения скоростей:

Аналогично для момента времени после удара. Далее не составит труда найти все скорости и найти относительную скорость как:

|u----=-u--−-u--| --отн----2----1-|

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#114274

На какое максимальное расстояние $Lmax$ улетит мяч, если в процессе удара футболист действует на мяч постоянной по направлению силой, величина которой изменяется по закону, представленному на рисунке. Длительность удара $τ = 8⋅10−3 с,$ максимальная сила $F = 3,5 ⋅103 Н, max$ масса мяча $m = 0,5 кг.$ Сопротивление воздуха не учитывайте.

$PIC$

Источники: Всеросс., 1997, ОЭ, 10

Показать ответ и решение

1. Запишем формулу дальности полета тела, брошенного под углом к горизонту (формула работает, когда точки начала полета и конца лежат на горизонтальной линии)

2 L = v0sin2α g

Тогда максимальная дальность полета соответствует максимальному значения синуса в числителе:

v2 Lmax = -0 g

2. Запишем второй закон Ньютона в импульсной форме:

∫ dp = F ⋅dt ⇒ Δp = Fdt

Однако, задачу можно решить и не используя операцию интегрирования. Чтобы сделать это, воспользуемся геометрическим смыслом интеграла (площадь под графиком) и сразу запишем ответ:

Fmax-⋅τ Δp = 2

3. С другой стороны, мячик в начале движения покоился, поэтому полное изменение импульса мячика $Δp = mv0$ .

mv = 1F ⋅τ ⇒ v = Fmax-⋅τ = 3,5⋅103-⋅8-⋅10−3= 28 м/с 0 2 max 0 2m 2⋅0,5

Тогда максимальная длительность полета:

2 2 Lmax = v0= (28)--= 78,4 м g 10

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#114276

Кубик, движущийся поступательно со скоростью $v$ по гладкой горизонтальной поверхности, испытывает соударение с шероховатой вертикальной стенкой. Коэффициент трения $μ$ скольжения кубика по стенке и угол $α$ известны. Одна из граней кубика параллельна стенке. Под каким углом $β$ кубик отскочит от стенки? Считайте, что перпендикулярная стенке составляющая скорости кубика в результате соударения не изменяется по величине.

$PIC$

Источники: Всеросс., 1997, ОЭ, 10

Показать ответ и решение

Запишем второй закон Ньютона в импульсной форме для кубика:

Δpx = − μN Δt

Δp = N Δt y

$PIC$

Отсюда:

Δpx = − μΔpy (1)

Распишем изменение импульса по осям:

′ ′ Δpx = px − px = px − mv cos α (2)

Δp = p′− p = mv sinα − (− mv sinα ) = 2mv sin α (3) x y y

Выразим углы $α$ и $β$ через отношение импульсов:

tgα = py px

p′y py tgβ = p′ = p′ x x

Запишем отношение импульсов по $Ox$ :

p′x tg-α- px = tgβ

Выразим $p′x$ из уравнений (1) и (2), подставим и распишем $px$ :

mv cosα− μΔp tgα -------------y-= ---- mv cosα tgβ

Запишем $Δpy$ из (3):

mv-cosα-−-2μmv-sin-α-= tgα- mv cosα tgβ

tgα 1 − 2μtgα = tgβ-

Отсюда:

---tgα--- tgβ = 1 − 2μtgα

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#117921

По горизонтальной поверхности пола движется со скоростью $u = 1 м/с$ тележка со штативом, к которому на нити длиной $l = 0,5 м$ привязан шар (см. рисунок). Пуля, летящая горизонтально со скоростью $51u,$ попадает в шар и застревает в нём. Массы пули и шара $m$ и $24m,$ масса тележки намного больше массы шара. Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоскости. Размеры шара малы по сравнению с длиной нити.
1) Найдите скорость шара $v1$ относительно тележки сразу после попадания пули.
2) Найдите скорость шара $v2$ относительно пола сразу после попадания пули.
3) На какой максимальный угол от вертикали отклонится нить при дальнейших колебаниях шара?

(«Физтех», 2014, 11)

Источники: «Физтех», 2014, 11

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

03 Закон сохранения и изменения импульса