Построения циркулем и линейкой

Обозначим вершину угла через Отразим относительно получим точку Проведём через прямые параллельно сторонам угла. Пусть они пересекают стороны угла в точках и Заметим, что — параллелограмм, в котором — точка пересечения диагоналей. Стало быть, прямая — искомая.

Пусть у нас задан угол с вершиной в точке и требуется построить искомую окружность, проходящую через точку Построим биссектрису этого угла и выберем на ней точку Опустим из точки перпендикуляр на одну из сторон угла. Проведём окружность с центром в точке и радиусом и пересечём прямую с этой окружностью в точке Достаточно сделать гомотетию с центром в точке которая переводит точку в точку Тогда образ построенной окружности и будет искомой окружностью.

Остаётся лишь построить образ окружности при гомотетии. Для этого построим точки и на прямых и соответственно так, чтобы выполнялось и . Тогда остаётся построить окружность с центром в точке и радиусом

Для начала отложим отрезок равный произвольным образом. Проведем окружности с центрами в точках и радиусами и соответственно. Полученные окружности пересекаются в двух точках и Приняв одну из этих точек за получаем требуемый треугольник.

Пусть — центр окружности. Искомая хорда перпендикулярна отрезку поэтому для начала построим точку Для этого сначала проведем две любые непараллельные хорды, а к ним проведем серединные перпендикуляры. Эти перпендикуляры пересекаются в центре окружности, то есть в точке

Теперь проведем — это серединный перпендикуляр к нужной хорде. Таким образом, осталось построить перпендикуляр к прямой в точке его часть, заключенная внутри окружности, есть искомая хорда.

Чтобы построить нужный перпендикуляр, удвоим отрезок за точку до точки и построим к нему искомый серединный перпендикуляр

Проведем через точку прямую перпендикулярную данной прямой Тогда если точка лежит на прямой и при этом не совпадает с точкой то центр искомой окружности — основание серединного перпендикуляра к Пересечение этого серединного перпендикуляра и прямой — центр искомой окружности.

Проведем окружности с центрами в точках и и радиусом Если они не пересекаются, то построение невозможно. Если эти окружности касаются, то точка касания лежит на отрезке Тогда с центром в точке касания проводим окружность радиуса Если же эти две окружности пересекаются в двух точках и то берем, например, точку в качестве центра и проводим окружность радиусом

Ясно, что задача будет решена, если удастся построить угол, равный Представим сначала, что у нас дополнительно имеется угол, равный (далее будет описано его построение).

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Угол разделим пополам и получим угол Тогда в данном угле отложим угол и получим угол

Такой угол легко разделить на равные части, каждая из которых равна Далее внутри угла последовательно откладываем углы

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теперь опишем построение угла Для этого сначала возьмем отрезок произвольной длины и отложим прямую перпендикулярную Теперь проведем окружность радиусом и с центром Точку пересечения этой окружности и прямой назовём

Таким образом, получился прямоугольный треугольник у которого гипотенуза в два раза длиннее катета Тогда угол равен

Пусть — наш параллелограмм. Проведем диагональ тогда треугольники и равны. Как известно, медиана делит треугольник на два равновеликих, поэтому достаточно провести из точки в треугольниках и медианы и соответственно. Таким образом, получаем четыре равновеликих треугольника:

Пусть дан отрезок Выберем произвольную точку не лежащую на прямой Проведем луч На луче последовательно отметим равных отрезков произвольной длины. Пусть конец последнего отрезка — точка соединим его с точкой Далее проведем через концы построенных на отрезков прямые, параллельные По теореме Фалеса получаем, что они делят на равных отрезков.

Пример при

Пусть даны точки и прямая Так как точки и должны лежать на окружности с центром в точке Значит, точка лежит на серединном перпендикуляре к Таким образом, чтобы получить точку проведём серединный перпендикуляр к до пересечения с прямой

Чтобы найти серединный перпендикуляр, проводим полуокружности и Получим две точки пересечения — и — искомый серединный перпендикуляр, который пересекает прямую в точке

Окружность с центром в точке и радиусом — искомая.

(a) Для начала делим отрезок пополам — точка (мы знаем, как это сделать с помощью циркуля и линейки), затем каждый из получившихся отрезков ещё пополам — точки и и т.д. Таким образом, каждый раз количество отрезков (равных) удваивается. Так как изначально был отрезок, мы сможем разделить его на отрезков при любом натуральном

(b) Аналогично пункту мы знаем, как поделить угол на равных (проводим биссектрису) с помощью циркуля и линейки. Тогда угол делим на 2 равных — и Далее делим каждый из получившихся углов ещё на два равных и т.д. Таким образом, каждый раз количество углов (равных) удваивается. Так как изначально был угол, мы сможем разделить его на угла при любом натуральном

Заметим, что для решения задачи достаточно разделить одну из сторон на три равные части. Пусть дан треугольник Отметим середину стороны после чего отразим относительно неё, получив точку достроим параллелограмм Теперь отметим середины сторон и обозначим их и соответственно, и проведём отрезки и Обозначим точки пересечения c и с как и соответственно. В силу свойства медиан и тогда

Для начала опустим перпендикуляр из на прямую — точка Далее данный нам отрезок поделим пополам (это мы можем сделать с помощью циркуля и линейки). Значит, теперь мы можем откладывать отрезок, равный Тогда отложим от точки на прямой в обе стороны отрезки, равные — точки и Таким образом, точки и равноудалены от точки так как — медиана и высота в

Окружность с центром в точке и радиусом — искомая,

Сначала построим медиану после чего проведём биссектрису пусть она пересекает в точке Проведём прямую, параллельную через точку Покажем, что это и будет искомая прямая

Пусть построенная прямая пересекает и в точках и соответственно. Так как — биссектриса и можем сказать, что треугольник — равнобедренный, значит, А из подобия треугольников и получаем, что — середина поэтому Следовательно, треугольник — прямоугольный, где

Для начала проанализируем, что мы должны получить. Пусть точка — искомая. Тогда

Вычитая из обеих частей получим:

Опустим из точки перпендикуляр на — точка Тогда, по теореме Пифагора в треугольниках и

Приравняем и

А хотим мы получить:

Тогда, если отложить равенство будет выполнено. Значит, нам нужна точка такая, что где — высота.

Пусть — точка Нагеля исходного треугольника, — основание высоты из Покажем алгоритм построения исходного треугольника:

Проведем прямую и перпендикулярную ей прямую через точку тем самым получим прямую, содержащуюся остальные две вершины исходного треугольника.

Проведем прямую до пересечения c Назовем полученную точку по определению точки Нагеля, — точка касания стороны с — вневписанной окружностью.

Пусть — середина Проведем прямую на данной прямой лежит центр вписанной окружности.

Пусть — центр тяжести исходного треугольника. Пусть — расстояние от точки до прямой тогда Пусть — прямая, перпендикулярная через Отметим на прямой такую точку что

Как известно, делит отрезок в отношении Отметим такую точку на прямой что

Наконец, проведя прямую параллельную через и отметив пересечение с прямой найдем центр вписанной окружности.

Осталось провести вписанную окружности. Касательные к ней из точки B пересекут прямую в вершинах исходного треугольника.

Для начала вспомним, где встречается Например, это встречается в прямоугольном треугольнике, когда мы проводим высоту. Тогда построим отрезок длина которого равна А также отметим точку на этом отрезке, такую что Построим окружность на как на диаметре. Восставим перпендикуляр к прямой в точке Пусть точка — одна из точек пересечения этого перпендикуляра и окружности. Тогда в треугольнике ( — прямой) — высота, равная

Проведём прямую через и — середину нетрудно понять, что она содержит сторону Восставим перпендикуляры к этой прямой в точках и Они пересекают прямую Эйлера по ортоцентру и центру описанной окружности Далее на прямой отложим дважды отрезок выше прямой Эйлера, получим точку (по свойству ортоцентра ), а вместе с этим радиус описанной окружности Осталось лишь нарисовать данную окружность и отметить точки и её пересечения с

Пусть - середина - центр основания Тогда центр описанной сферы лежит на (поскольку пирамида правильная). Проекция строится как середина проекции а проекция – как точка, делящая проекцию в отношении Обозначим через прямую, параллельную и проходящую через середину Она проходит через центр описанной сферы: и перпендикулярны так что перпендикулярна а также пересекает Проекция строится как параллельный перенос проекции проходящий через середину проекции Эта проекция пересекает проекцию ровно в проекции центра описанной сферы.

Приложим линейку к прямой так, чтобы точка совпала с отметкой см. Тогда мы можем отложить точку так, что см.

Далее, приложим линейку к точке отметкой см. Отметим точку , в которой сейчас находится отметка . Тогда см, и точка лежит на отрезке . Значит, отрезок см.

От точки еще раз отложим точку на расстоянии см. Мы получим точку такую, что см, см, и при этом лежит между и . Значит, см.

Итак, мы научились от точки откладывать отрезок в сантиметра. Давайте теперь повторим еще раз все рассуждения, но вместо точки отложим отрезок в сантиметра от точки . Мы получим точку такую, что см, при этом лежит между и . Тогда см. Таким образом, отрезок  — искомый.