Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Другое - Высшая математика
Распределения. Функция распределения. Плотность вероятности. Мат. ож. и дисперсия в непрерывном случае. Квантили.

Тема Теория вероятностей и статистика

07 Распределения. Функция распределения. Плотность вероятности. Мат. ож. и дисперсия в непрерывном случае. Квантили.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория вероятностей и статистика

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88842

Найти мат. ожидание и дисперсию случайной величины $ξ$ , у которой следующее распределение:

(| |||| 0.28 если a = 3 ||{ pξ(a) = 0.7 если a = − 4 ||| 0.02 если a = 10 ||| |( 0 в остальны х случаях

Показать ответ и решение

Вычислим по формулам:

∑ Eξ = xkpξ(xk ) = 3 ⋅0.28 − 4 ⋅0.7 + 10⋅0.02 = − 1.76 по всем значениям ξ

Вот мы и нашли мат. ожидание $ξ$ , зная её распределение.

Далее,

∑ E(ξ2) = x2kpξ(xk) = 32 ⋅0.28+ (− 4)2 ⋅0.7+ 102 ⋅0.02 = 15.72 по всем значениям ξ

Таким образом,

V arξ = E (ξ2)− (E ξ)2 = 15.72− (− 1.76)2 = 12.6224

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88843

Найти мат. ожидание случайной величины $ξ ∼ Geom (p)$ .

Показать ответ и решение

Напомним, что геометрическое распределение с параметром $p$ - это такое распределение: $m pξ(m ) = p(1 − p)$ для $m = 0,1,...,$ (и $0$ для остальных $m$ ).

Таким образом, вычислить мат. ожидание такой случайной величины - это то же самое, что вычислить сумму ряда

∑∞ ∑∞ ∑∞ Eξ = k ⋅pξ(k) = k ⋅ p(1 − p)k = p k ⋅(1− p)k k=0 k=0 k=1

На самом деле, не так-то просто вычислить сумму этого ряда непосредственно.

Обозначим для удобства $q = 1 − p$ и будем суммировать ряд

∑∞ k ⋅qk k=1

Теперь притворимся на секунду, что $q$ - это переменная всюду дифференцируемой степенной функции $qk$ . Поэтому мы суммируем фактически

∑∞ (qk)′ ⋅q k=1

(поскольку $k ′ k− 1 (q ) = kq$ , то $k′ k (q )⋅q = k ⋅q$ - то есть в точности члены ряда, который мы хотели просуммировать)

Как же найти сумму ряда

∑∞ ∞∑ (qk)′ ⋅q = q ⋅ (qk)′ k=1 k=1

?

На самом деле, для некоторых рядов в некоторых ситуациях (а именно, здесь нужна теорема о почленном дифференцировании степенных рядов) можно пользоваться таким приемом - ряд из производных равен производной суммы ряда. Мы воспользуемся здесь этим фактом при $q < 1$ и получим

∞ ∞ ∞ ∑ k ′ ∑ k ′ ∑ k ′ (q ) ⋅q = q ⋅ (q ) = q ⋅( q ) ◟=◝◜◞ k=1 k=1 k=1 внутри теперь просто геом. прогрессия

--q-- ′ ---1---- p-−-1 = q ⋅(1 − q) = q ⋅(1− q)2 = p2

Но не забудем, что

∞ ∞ ∞ E ξ = ∑ k ⋅p (k) = ∑ k ⋅p(1 − p)k = p ∑ k ⋅(1− p)k = p⋅ p−-1-= p−-1- ξ p2 p k=0 k=0 k=1

Вот мы и получили наш ответ.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#88844

Пусть $ξ$ - случайная величина, имеющая распределение

(| |||p1 есл и a = x1 |||| ||||p2 есл и a = x2 |{p3 есл и a = x3 pξ(a) = |||... |||| ||||pn есл и a = xn ||( 0 в остальн ых случаях

То есть $ξ$ принимает значения $x1,...,xn$ с вероятностями $p1,...,pn$ соответственно ( $n ∑ pk = 1 k=1$ ).

Как будет выглядеть график функции распределения $Fξ$ ?

Показать ответ и решение

Непосредственно проверяется, что графиком такой функции распределения будет ступенчатая функция. Она равна нулю для всех $x$ до $x1$ и единице для всех $x$ после $xn$ .

В каждом из $xi$ она будет испытывать разрыв первого рода (оставаясь, как и положено, непрерывной справа), а именно скачок высотой $pi$ . То есть он будет выглядеть как-то так:

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#88845

Даны две функции распределения $Fξ$ и $Fη$ двух случайных величин $ξ$ и $η$ .

У какой из данных случайных величин наиболее вероятны бОльшие значения?

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим $F ξ$ . Видно, что $F ξ(6) ≈ 1$ , то есть $P (ξ ≤ 6) ≈ 1$ . То есть с вероятностью, близкой к единице, $ξ$ будет меньше 6.

В то же самое время, видно, что $1 Fξ(0) ≈ 5$ , то есть с вероятностью примерно $1 5$ случайная величина $ξ$ будет меньше 0. Следовательно, с вероятностью $≈ 1− ≈ 15 = 45$ случайная величина $ξ$ будет принимать значения от 0 до 6.

В то же самое время $F (0) ≈ 1 η$ , то есть случайная величина $η$ с вероятностью почти $1$ будет меньше либо равна нуля.

Таким образом, очевидно, что у $ξ$ бОльшие значения более вероятны.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#88846

Для данной функции распределения $Fξ(x)$

$PIC$

какой из двух графиков больше всего похож на график её плотности $pξ(x)$ ?

$PIC$

Показать ответ и решение

Поскольку функция плотности $pξ$ и функция распределения $F ξ$ связаны соотношением

F′ξ(x) = pξ(x)

или, иначе говоря,

∫ b pξ(x)dx = F ξ(b)− Fξ(a) a

то мы можем судить (даже на глазок), что для для первого графика плотности

∫ 2 pξ(x)dx ≈ 0.9 −∞

(то есть есть грубо говоря для первого графика нашей потенциальной плотности почти вся площадь под графиком находится до точки 2 и очень малая часть - после неё)

В то же время мы по графику функции распределения $F (x) ξ$ видим, что $F (2) ≈ 0.5 ξ$ . И что-то у нас не сходится. То есть первый график не похож на график плотности нашей $ξ$ .

В то же время для второго графика нашей потенциальной плотности можно прикинуть, что

∫ 2 p (x)dx ≈ 0.5 −∞ ξ

Но мы уже знаем, что $F (2) ≈ 0.5 ξ$ .

Следовательно, второй график куда больше похож на график плотности нашей случайной величины $ξ$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#88847

Пусть случайная величина $ξ$ имеет функцию распределения $Fξ(x)$ , равную $= 12x$ на отрезке $[0,2]$ , нулю до нуля, и единице после двойки:

$PIC$

Такая случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке $[0,2]$ .

a) Объясните это название;

b) На какое распределение с конечным числом значений похожа эта случайная величина?

c) Существует ли у неё плотность? Если да, то вычислить функцию плотности;

d) Пусть мы выбираем случайное число на отрезке $[0,2]$ . Какая вероятность, что это число будет больше $0.5$ , но меньше $1.3$ ?

Показать ответ и решение

a) По графику функции распределения видно, что $P(ξ < 0) = 0$ и $P (ξ > 2) = 1 − P(ξ ≤ 2) = 0$ , то есть наша случайная величина действительно принимает с ненулевой вероятностью значения только в отрезке $[0,2]$ .

Более того, она принимает эти значения там равномерно в том смысле, что вероятность попасть в подотрезок отрезка $[0,2]$ длины $δ$ равна $-------δ-------= δ длина отрезка[0,2] 2$ .

Это и оправдывает её название.

Действительно,

P (ξ ∈ [c,d]) = Fξ(d)− Fξ(c) = d-− c-= d-−-c 2 2 2

b) Можно провести некоторую аналогию между этой случайной величиной и дискретно распределенной случайной величиной $ξ$ , определенной на конечном классическом вероятностном пространстве $Ω = {ω1,...,ωn }$ .

То есть таком $Ω$ , что

1- P(ωi) = n для лю бого i

Действительно, ведь в таком случае выполняется некоторое аналогичное свойство

-коли-чество так-их-эл-ементарны-х-исходов, на-которы-х-ξ ∈-[c,d] P(ξ ∈ [c,d]) = n

То есть мы делим количество интересующих нас исходов на количество всех исходов. А в случае непрерывного равномерного распределения на отрезке $[0,2 ]$ мы делим длину отрезка, в который хотим попасть на длину всего отрезка $[0,2]$ ;

c) Если бы у $ξ$ существовала плотность, то она была бы производной её функции распределения.

С одной стороны, конечно, видно, что в точках $0$ и $2$ её функция распределения недифференцируема.

Но дело в том, что эти точки не играют никакой роли. Потому что для равномерной случайной величины вероятность попасть в конкретную точку (в данном случае в точки 0 и 2) равна 0.

Так что, если на эти две $”$ плохие $”$ точки забить, то у функции распределения будет существовать то, что называют почти-всюду производная. И, соответственно, у нашей $ξ$ будет существовать почти-всюду плотность.

′ 1- pξ(x) = (Fξ(x)) = (во всех точк ах, где она есть, т.е. везд е кро ме двух точе&#x04

Таким образом, наша случайная величина имеет (почти всюду) плотность, равную константе. Это тоже отражает её равномерность;

d) Ясно, что эта вероятность равна разности между значениями функции распределения в соответствующих точках. Но посчитаем для разнообразия через плотность:

∫ 1.3 ∫ 1.3 P (ξ ∈ [0.5,1.3]) = p (x)dx = 1dx = 0.8 = 0.4 0.5 ξ 0.5 2 2

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#88848

Рассмотрим случайную величину $ξ$ с функцией распределения

( { 1− e− λx, если x > 0 F ξ(x ) = ( 0, ин аче

Такая случайная величина называется экспоненциально распределенной с параметром $λ$ .

На практике оно встречается много где: так распределено и время, которое проходит с момента, когда вы пришли на остановку до момента прихода следующего автобуса, так распределено время до следующего перегорания вашей лампочки, и многое многое другое.

a) Какая вероятность, что случайная величина, распределенная экспоненциально с параметром $λ$ , примет значение от 5 до 10? (Можно интерпретировать это так - какая вероятность, что автобус придется ждать дольше 5, но меньше 10 минут)?

b) Существует ли у этого распределения плотность? Если да, то вычислить функцию плотности.

Показать ответ и решение

a) Эта вероятность равна

Fξ(10)− Fξ(5) = 1− e−10λ − (1 − e−5λ) = e−5λ − e− 10λ

b) В данном случае $F ξ$ будет дифференцируема всюду, кроме точки 0 (в 0 у нее не будет производной, потому что производная слева не будет равна производной справа).

Но при этом, поскольку для экспоненциального распределения вероятность попасть в точку 0 равна нулю, то на эту точку можно не обращать внимания и говорить о почти-всюду плотности. Она будет равна

pξ(x ) = (Fξ(x))′ = (во в сех точках, где о на есть, т.е. везде кром е то чки 0 ) = &

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#88849

a) Пусть $pξ$ функция плотности некоторой абсолютно непрерывной случайной величины. Чему равен интеграл

∫ +∞ p (x)dx −∞ ξ

?

b) Пусть некоторая абсолютно непрерывная случайная величина имеет функцию плотности $pξ$ :

( | ||{ 0 если x ≤ 0 pξ(x) = C (5x− 9), если x ∈ [0,4] ||| ( 0 если x > 4

Найти $C$ .

Показать ответ и решение

a) Ясно, что он, в силу связи между плотностью и функцией распределения, должен оказаться равен

lim F (x)− lim F (x) = 1 − 0 x→+ ∞ ξ x→ −∞ ξ

То есть

∫ +∞ pξ(x)dx = 1 −∞

b) Ясно, что

∫ +∞ ∫ 4 5x2 4 80 pξ(x)dx = C (5x− 9)dx = C (----− 9x)|0 = C (--− 36) = 4C −∞ 0 2 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#88850

Пусть $ξ$ имеет функцию распределения

( |||{ 0 если x ≤ − 1 F (x) = ξ || α + βarcsinx если x ∈ (− 1,1) |( 1 если x ≥ 1

a) Найти $α$ и $β$ ;
b) Найти плотность $p (x) ξ$ ;
c) Найти вероятность того, что эта случайная величина принимает значения из отрезка $[0,0.5]$ .

Показать ответ и решение

a) Функция распределения должна быть непрерывна справа в каждой точке.

В частности, она должна быть непрерывна в точке $− 1$ справа, то есть

π x→lim−1+ Fξ(x) = x→lim−1+(α + β arcsinx ) = α − β--= Fξ(− 1) = 0 2

С другой стороны, она должна быть непрерывна в точке $1$ справа, то есть

π- lxi→m1+ Fξ(x) = xl→im1+ (α + βarcsin x) = α + β2 = F ξ(1 ) = 1

Таким образом, мы имеем два условия

α− βπ-= 0, α + β π-= 1 2 2

Откуда следует, что $α = 12,β = 1π$ .

И мы можем переписать нашу функцию распределения в уже полностью известном виде как

( || 0 если x ≤ − 1 |{ F ξ(x) = 12 + 1π arcsinx если x ∈ (− 1,1) |||( 1 если x ≥ 1

b) Речь опять пойдет о почти-всюду плотности, поскольку в точках $± 1$ функция распределения недифференцируема. Но вероятность попасть в эти точки 0, поэтому всюду, кроме этих двух точек

( |||0 есл и x < − 1 ′ { pξ(x) = (F ξ(x )) = | 1π√11−-x2- есл и x ∈ (− 1,1) ||( 0 есл и x > 1

c) Эта вероятность может быть вычислена как

∫ 0.5 ∫ 0.5 P(ξ ∈ [0,0.5]) = pξ(x )dx = 1-√--1----dx = arcsin-0.5-≈ 0.17 0 0 π 1− x2 π

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#89827

Точка $X$ случайным образом бросается на отрезок $[a,b]$ Какова вероятность, что меньший из двух отрезков $[a,X ]$ и $[X, b]$ имеет длину больше, чем $b−a 4$ ?

Показать ответ и решение

Ясно, координата точки $X$ распределена равномерно с плотностью

( 1 { b−a если x ∈ [a,b] pX(x) = ( 0 инач е

А какой же кусок отрезка $[a,b]$ нас будет устраивать?

Ясно, что если разбить отрезок $[a,b]$ на 4 равные части

$PIC$

То в случае, когда точка $X$ попадает в крайнюю левую или крайнюю правую часть, меньший из двух отрезков $[a,X ]$ и $[X, b]$ будет короче, чем $b−a 4$ .

Наоборот, если точка $X$ попадает в одну из двух центральных четвертей, то меньший из отрезков будет длиннее, чем $b−a -4-$ .

Таким образом, подходит нам подотрезок длины $b−a -2-$ , поэтому искомая вероятность равна

-b−2a- 1- b − a = 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#89828

В треугольник со сторонами $666,2024,1984$ вписана окружность. В этот треугольник случайно бросается точка. Какова вероятность, что эта точка попадет во вписанную окружность?

Показать ответ и решение

Координаты точки равномерно распределены в треугольнике площадью

∘ -------------------- √ -------------------- √ ------------ S = p(p− a)(p − b)(p − c) = 2337 ⋅1671⋅313 ⋅353 = 3 47941508567

Область, которая нас устраивает - это внутренность вписанной окружности. Её радиус рассчитывается по формуле

√ ------------ √ ------------ S- 3--47941508567- --47941508567- r = p = 2337 = 779

Тогда её площадь равна $S = πr2 = π61542373 кр. 779$ .

Таким образом, поскольку распределение равномерное, вероятность попасть в указанную окружность равна отношению её площади к площади всей фигуры, то есть вероятность равна

61542373- -√-π---779------≈ 0.378 3 47941508567

Ответ:

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#89829

В отрезке $[0,1]$ случайно берутся 2 числа. Какова вероятность, что их сумма не превосходит единицы, а сумма их квадратов не превосходит $0.7$ ?

Показать ответ и решение

Поскольку каждое из выбранных чисел берется случайно равномерно на отрезке $[0,1]$ , то пара чисел берется равномерно в квадрате $[0,1]× [0,1]$ .

А область $Ω$ , которая нас устраивает, задается условиями $2 2 x+ y ≤ 1,x + y ≤ 0.7$

$PIC$

(область $Ω$ - то, что находится на пересечении красного треугольника и синего круга).

Таким образом, искомая вероятность будет равна отношению площади этой области $Ω$ к площади всего квадрата, то есть к 1.

Таким образом, это будет просто площадь искомой области $Ω$ . Её легко вычислить, взяв двойной интеграл:

∫∫ 12−∫ √110 √0∫.7−x2- 12+∫ √110 1−∫ x √∫0.7- √0.∫7−-x2 P = dxdy = dx dy + dx dy + dx dy Ω 0 0 12− √110 0 12+√110 0

1− √1- √------ 1−√1- 2∫ 10 0∫.7−x2 2∫ 10∘ -------- dx dy = 0.7 − x2dx ≈ 0.1525 0 0 0

12+∫ √110 1−∫ x 12+∫√110- --1- dx dy = (1− x)dx = √10--≈ 0.3162 12− √110 0 12− 1√10-

√ --- √------ √ --- ∫0.7 0∫.7−x2 ∫0.7 ∘ -------- dx dy = 0.7 − x2dx ≈ 0.0025 12+√110 0 12+√110

То есть искомая вероятность приблизительно равна

0.1525 + 0.3162 + 0.0025 = 0.4712

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#89830

Время работы лампочки до следующей замены распределено экспоненциально с параметром $λ = 2$ . Найти мат. ожидание и дисперсию её времени работы до следующей замены.

Показать ответ и решение

Напомним, что плотность экспоненциального распределения с параметром $λ$ задаётся как

( { λe−λx если x > 0 pξ(x) = ( 0 ин аче

Будем считать с произвольным $λ$ , а потом просто подставим $λ = 2$ .

1. Вычислим мат. ожидание.

∫ +∞ ∫ +∞ ∫ +∞ Eξ = xp (x )dx = x ⋅λe−λxdx = λ x ⋅e−λxdx −∞ ξ 0 0

Найдем первообразную функции $x⋅e−λx$ при помощи интегрирования по частям: $u (x ) = x$ , $v′(x) = e− λx$ . Тогда $v(x) = −λ1e−λx$ . Тогда, как мы помним,

∫ ′ ∫ ′ uv = uv − u v

Получаем

∫ ∫ xe−λxdx = − xe− λx + 1e−λxdx = − x-e−λx − e−λx-= − e−λx(λx-+-1) λ λ λ λ2 λ2

Таким образом,

∫ +∞ −λx E ξ = λ x ⋅e−λxdx = λ(− e---(λx-+-1))|+0∞ = λ(0+ 1-) = 1- 0 λ2 λ2 λ

При $λ = 2$ получаем $Eξ = 12$ .

2. Вычислим дисперсию.
Поскольку $2 2 V arξ = E(ξ )− (E ξ)$ , то для вычисления дисперсии нам вначале нужно будет вычислить ожидание квадрата $ξ$ .

Итак,

2 ∫ + ∞ 2 −λx ∫ +∞ 2 − λx E ξ = x λe dx = λ x e dx 0 0

Найдем первообразную функции $x2 ⋅e−λx$ при помощи интегрирования по частям: $u(x) = x2$ , $v′(x) = e− λx$ . Тогда $v(x) = −λ1e−λx$ . Тогда, как мы помним,

∫ ∫ uv ′ = uv − u′v

Следовательно,

∫ ∫ ∫ 2 −λx x2e−λx- 1-−λx x2e−λx- 2- −λx x ⋅ e dx = − λ + 2x λe dx = − λ + λ xe dx

Но когда мы считали мат. ожидание, мы уже выяснили, что

∫ −λx xe−λxdx = − e---(λx-+-1) λ2

Следовательно,

∫ 2 −λx x2e−-λx 2- e−λx(λx-+-1) x ⋅e dx = − λ + λ(− λ2 )

Таким образом,

∫ +∞ 2 −λx −λx x2 ⋅e−λxdx = ( − x-e----+ 2-(− e---(λx-+-1)))|+0 ∞ = -2- 0 λ λ λ2 λ3

Следовательно,

∫ + ∞ 2 E(ξ2) = λ x2 ⋅e−λxdx = -2- 0 λ

Тогда получается, что $Var ξ = E (ξ2)− (E ξ)2 = λ22 − λ12 = λ12$ . При $λ = 2$ получаем $V arξ = 1 4$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#89831

Пусть случайная величина $ξ$ имеет следующую функцию распределения:

( 2 |||{ x если x ∈ [0,1] F (x) = ξ || 0 если x < 0 |( 1 если x > 1

1. Найти $Eξ$ ;
2. Найти $V arξ$ ;
3. Найти медиану $ξ$ ;
4. Найти $0.9$ -квантиль $ξ$ ;

Показать ответ и решение

Во-первых, вычислим функцию плотности нашей случайной величины:

( |||{ 2x если x ∈ [0,1] p(x) = ξ || 0 если x < 0 |( 0 если x > 1

Теперь сможем легко посчитать всё остальное: 1.

∫ 1 ∫ 1 2 2 3 1 2 E ξ = x⋅ 2xdx = 2x dx = 3x |0 = 3 0 0

∫ ∫ 2 1 2 1 3 1- 41 1- E (ξ ) = 0 x ⋅2xdx = 0 2x dx = 2 x |0 = 2

Следовательно,

2 2 1- 2-2 1- 4- -1- V arξ = E (ξ ) − (Eξ) = 2 − (3) = 2 − 9 = 18

3. Медиана $ξ$ - это то же самое, что $0.5$ -квантиль $ξ$ .

А $0.5$ -квантиль $ξ$ можно найти из условия

∫ x0.5 pξ(x)dx = 0.5 −∞

∫ x0.5 2xdx = 0.5 0

x2|x00.5 = 0.5

x20.5 = 0.5

Следовательно, $x0.5$ , она же медиана, равна $√ --- 0.5$ .

4. Абсолютно аналогично $0.9$ -квантиль обязан удовлетворять условию

∫ x0.9 2xdx = 0.9 0

Поэтому $0.9$ -квантиль $x0.9$ равен $√0.9-$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#89832

Найти дисперсию равномерно распределенной на отрезке $[0,10]$ случайной величины.

Показать ответ и решение

Мы уже знаем, что мат. ожидание такой величины равно $E ξ = 5$ .

Тогда

∫ 10 1 1 x310 1 103 100 E (ξ2) = x2---dx = -----|0 = ---⋅--- = ---- 0 10 10 3 10 3 3

Следовательно,

2 2 100- 100-−-75 25- V arξ = E(ξ )− (E ξ) = 3 − 25 = 3 = 3

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#89833

Найти $0.7$ и $0.8$ -квантили распределения Коши.

Почему оказалось так, что $x0.7 < x0.8$ ? Совпадение ли это? Характерно ли такое неравенство только для распределения Коши?

Сформулируйте и докажите общее правило:

есл и α < β, то α и β-квантили xα и xβ соотносятся меж ду собой как...

Показать ответ и решение

1. $0.7−$ квантиль находится из условия

∫ x0.7 pξ(x)dx = 0.7 −∞

∫ x0.7 1 π-(1+-x2)dx = 0.7 −∞

Но $∫ 1 1 π(1+x2)dx = π arctgx + C$ , то есть мы получаем условие

-1 x0.7 π arctgx |−∞ = 0.7

1- π- π(arctg(x0.7)+ 2) = 0.7

Таким образом,

π arctg(x0.7) = 0.7⋅π −-- 2

Следовательно, $π x0.7 = tg(0.7 ⋅π − 2) ≈ 0.727$ .

Аналогично, $π x0.9 = tg(0.9 ⋅π − 2) ≈ 3.077$ .

Мы видим, что $x0.9 > x0.7$ .

И это не случайно.

2. Ясно, что правило будет звучать как

если α < β, то α и β- к вантили x ≤ x α β

Поскольку $x α = F−1(α)$ , а $xβ = F− 1(β )$ , то, в силу монотонного неубывания функции распределения и нашей договоренности о том, как считать $F −1$ , все равно будет получаться, что $F− 1$ от большего значения находится не левее, чем $−1 F$ от меньшего значения.

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#89834

Для функции распределения, заданной графиком

$PIC$

Вычислить $0.1$ , $0.2$ , $0.5$ , $0.9$ квантили.

Показать ответ и решение

По графику видим (в соответствии с нашими договоренностями о том, что считать квантилями, когда $−1 F$ состоит из пустого множества или из целого отрезка), что

x = − 1,x = 2,x = 4,x = 5 0.1 0.2 0.5 0.9

Ответ:

Предыдущий раздел

Следующий раздел