Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
ПВГ - задания по годам

Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

ПВГ - задания по годам → .08 ПВГ 2016

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Разделы подтемы ПВГ - задания по годам

ПВГ до 2010

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#92010Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

(3 √-) x+ log2x− log3x+ log4x− 7= 4 − log3 2 ⋅log249

Источники: ПВГ 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перенесите 7 вправо и попробуйте преобразовать выражение.

Подсказка 2

Можно ли получить 2 похожих выражения?

Подсказка 3

Что можно сказать о функции в левой части?

Подсказка 4

Исследуйте её монотонность.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

x +log2x − log3x +log4x = 7+log27 − log37 +log47.

Заметим, что функция $f(x)=logx − log x+log x= log x(1 − log 2+ 0.5) 2 3 4 2 3$ монотонно возрастает, но тогда и $f(x)+ x$ монотонно возрастает, откуда наше уравнение имеет не более 1 решения. Но мы знаем, что 7 — решение, поэтому оно единственное.

Ответ: 7

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#114019Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях $a$ и $b$ неравенство

-22x−1-- b <164x−4x+5 ≤ a

выполняется для всех действительных $x?$

Источники: ПВГ 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте разберёмся с дробью в степени и попробуем оценить её значение. Как связаны числитель и знаменатель?

Подсказка 2

Сделайте замену t = 2x - 1 и исследуйте дробь!

Подсказка 3

Оцените t² + 4 по неравенству о средних. В каком отрезке тогда лежит значение всей дроби?

Подсказка 4

Значение дроби по модулю не превышает 1/4! Тогда можно оценить и число, лежащее между a и b ;)

Показать ответ и решение

Пусть $t= 2x− 1.$ Рассмотрим функцию

--t-- f(t)= t2 +4

По неравенству о средних

√--- t2+4 ≥2 4t2 = 4|t|

Тогда

1 t 1 − 4 ≤ t2+4-≤ 4

Значения $± 14$ достигаются при $t= ±2.$ Следовательно, множество значений функции

2x−1 t g(t)= 164x2−4x+5-= 16t2+4

есть полуинтервал $[ ] 12;2.$

Ответ:

$a ≥2, b< 1 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущая подтема

Следующая подтема