Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

ПВГ - задания по годам → .06 ПВГ 2014

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Разделы подтемы ПВГ - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#92078Максимум баллов за задание: 7

Натуральные числа $a$ , $b$ , $c$ удовлетворяют условию

abc+ ab+bc+ ac+a+ b+ c= 164.

Чему может быть равно произведение $abc$ ?

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Левая часть что-то очень сильно напоминает. Какое-то симметричное произведение... Какое же?

Подсказка 2

Точно! (a+1)(b+1)(c+1) = abc + ab + bc + ac + a + b + c + 1. Что же тогда мы можем сделать с нашим уравнением?

Подсказка 3

Именно! Добавить +1 к обоим частям, получим (a+1)(b+1)(c+1) = 165 = 5*3*11. Какой вывод можно сделать?

Подсказка 4

Воспользуемся натуральностью чисел и получим единственный ответ. Также не забудьте учесть всевозможные перестановки. Успехов!

Показать ответ и решение

(a+ 1)(b+1)(c+1)= 165 =5 ⋅33= 5⋅3⋅11

Числа $a+ 1, b+ 1, c+1$ натуральные и больше 1. Число 165 раскладывается ровно на 3 простых множителя, поэтому $a+ 1, b+ 1, c+ 1$ являются числами 3, 5 и 11 в каком-то порядке, $a, b, c$ являются числами 2, 4 и 10 в каком-то порядке и $abc= 80$ .

Ответ: 80

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#92333Максимум баллов за задание: 7

В периодической десятичной дроби $0,242424...$ первую цифру после запятой заменили на $4$ . Во сколько раз полученное число больше исходного?

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть исходное число это x, конечное — y. Чему же равно выражение y-x?...

Подсказка 2

Очевидно, что y = x + 0.2. Хотим найти отношения y/x, то есть (x+0.2)/х. Для того, чтоб найти эту дробь, необходимо знать x. Как же его найти?

Подсказка 3

Поскольку период длины 2, кажется что число x и х*10² не особо то отличаются...

Подсказка 4

Точно! Докажите, что 99x = 24, отсюда найдите x, и дальше дело за малым.

Показать ответ и решение

Пусть $0,242424...= x.$ Тогда изменённое число равно $0,442424...=x +0,2.$ Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти $x.$ Приведём два способа.

Способ 1. Запишем дробь через период, а затем умножим на 100:

0,(24)= x

24,(24)=100x

Вычтем из второго равенства первое:

24= 99x

x= -8 33

Способ 2. $x =0,242424...$ равен сумме

( ) 24-+ 242 +-243 + ...= 24-⋅ 1+-1-+ -12-+... 100 100 100 100 100 100

Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получаем

x= 24-⋅---1--= -8 100 1− -1- 33 100

Чтобы узнать во сколько новое число больше исходного, разделим одно на второе:

-8 + 1 33--5-= 5⋅8+-33= 73 8- 5⋅8 40 33

Ответ:

$73 40$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#107093Максимум баллов за задание: 7

На основании прямого кругового конуса расположены три попарно касающихся друг друга шара одинакового радиуса. Каждый из них касается также боковой поверхности конуса. Четвёртый шар того же радиуса касается первых трёх и боковой поверхности конуса. Найдите объём конуса, если радиус окружности, образованной точками касания четвёртым шаром боковой поверхности конуса, равен $√ - 2$ .

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте представить расположение шаров. Какой фигурой можно описать их центры?

Подсказка 2

Правильно, центры шаров образуют правильный тетраэдр. Теперь нужно заметить, с чем ещё совпадает угол между высотой и боковым ребром тетраэдера?

Подсказка 3

Он совпадает с углом между высотой и образующей конуса и углом между радиусом окружности из условия и радиусом четвёртого шара, если они проведены в одну точку. Как можно найти этот угол?

Подсказка 4

Выразим sin и cos этого угла через стороны тетраэдра. Теперь нам нужно понять, из каких отрезков состоит образующая конуса.

Подсказка 5

Он состоит из расстояния от вершины конуса до точки касания четвёртого шара, расстояния между точками касания нижнего и верхнего шаров и расстояния от основания конуса до точки касания нижнего шара. Теперь, если сложим их, то найдем образующую. Останется только найти через неё объём конуса!

Показать ответ и решение

Центры шаров образуют правильный тетраэдр. Угол $α$ между высотой и боковым ребром рассчитается и совпадает с углом между высотой и образующей конуса, а также с углом между радиусом упомянутой в условии окружности и радиусом 4-го шара, проведенными в одну точку.

$PIC$

Пусть $α$ — указанный угол. Тогда $√3 √6 sinα= -3 ,cosα = 3-.$ Пусть $r$ — радиус окружности в плоскости касания конуса четвертым шаром. Образующая $l$ собирается из кусочков: