Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

ПВГ - задания по годам → .05 ПВГ 2013

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Разделы подтемы ПВГ - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#91859Максимум баллов за задание: 7

Найдите $a$ и $b$ такие, что многочлен $x2013+ x99+ ax+ b$ делится нацело на $x2− x+ 1$ .

Источники: ПВГ 2013, 9 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что мы иногда делаем, когда хотим доказать, что какое-то число делится на a? Рассматриваем числа по модулю a! Давайте сделаем такой же трюк, только с многочленами.

Подсказка 2

Начнём с малого. Очевидно, что x² - x + 1 ≡ 0, значит, x² ≡ x - 1. Самостоятельно посмотрите на степени x вплоть до x⁶.

Подсказка 3

Получаем, что x³ ≡ -1, x⁴ ≡ -x, x⁵ ≡ -x + 1, x⁶ ≡ 1. Какой вывод из этого можно сделать?

Подсказка 4

Верно! Остатки степеней х по модулю x² - x + 1 зацикливаются с циклом длины 6. Как же теперь посчитать остатки для x²⁰¹³ и x⁹⁹?

Подсказка 5

С этой задачей вы точно справитесь! Докажите, что x²⁰¹³ ≡ -1 ≡ x⁹⁹. Вернёмся к тому, что от нас требуют.

Подсказка 6

Получаем, что многочлен ax + (b-2) должен делиться на многочлен x² - x + 1 при всех вещественных х. Кажется, если ax + (b-2) — невырожденное линейное уравнение, возникает много проблем. Докажите это сами, а с вырожденностью делать то особо нечего... Успехов!

Показать ответ и решение

Везде ниже будем вести рассуждения по модулю многочлена $x2− x +1.$

0 x ≡ 1,

1 x ≡ x,

x2 ≡x − 1,

x3 ≡ x⋅x2 ≡ x(x − 1)= x2− x ≡ (x− 1)− x = −1,

Аналогично далее находим

x4 ≡ −x,

x5 ≡ −x+ 1,

x6 ≡ 1.

Таким образом, цикл повторяется каждые 6 шагов.

Значит, надо только лишь найти остатки $2013$ и $99$ по модулю $6$ :

Следовательно,

2013 6⋅335+3 3 x = x ≡x ≡ −1,

99 6⋅16+3 3 x = x ≡x ≡ −1.

Теперь подставим эти значения в многочлен $P (x)$ :

P (x)≡ −1 − 1+ ax+ b= ax +(b− 2).

Для того чтобы $P(x)$ делился на $x2− x+ 1$ , необходимо, чтобы остаток $ax+ (b− 2)$ был нулевым для всех $x$ , а отсюда сразу же:

a= 0

b− 2= 0 =⇒ b= 2.

Ответ:

$a =0,b= 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#98296Максимум баллов за задание: 7

Выясните, сколько корней имеет уравнение:

( sinx) ∘ ------------ 21x− 11+ 100 ⋅sin(6arcsinx)⋅ (π− 6x)(π+ x)=0.

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Произведение 3 чисел равняется нулю. Когда такое возможно?

Подсказка 2

Надо рассмотреть случай равенства каждого множителя нулю.

Подсказка 3

Не забывайте проверять выполнение ОДЗ для корня.

Показать ответ и решение

1) $∘ (π-− 6x)(π-+x)= 0⇐ ⇒ x= π;−π 6$ . Но так как $− π < −1$ , то для корня $x =− π$ не определен $arcsinx$ и только $x= π 6$ является корнем исходного уравнения.

2) $sin(6arcsinx)= 0⇐⇒ 6arcsinx= πk,k =0,±1,±2,±3$ . Но так как $π x ≤ 6$ , то корнями исходного уравнения будут только следующие числа: $√3 1 − 1,− 2 ,±2,0$ .

3) Рассмотрим уравнение $sinx 100 =11− 21x$ . На промежутках $(− ∞;0]$ и $[1;+ ∞)$ оно не имеет решений, так как на первом из них

sinx 100-< 1< 11 − 21x,

а на втором

sin-x> −1> 11− 21x. 100

На промежутке $(0;1)$ уравнение имеет единственное решение $x0$ , так как здесь левая часть — возрастающая функция, правая часть — убывающая и, кроме того, при $x= 0$