Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Физтех - задания по годам → .01 Физтех до 2010 и вступительные на Физтех

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Разделы подтемы Физтех - задания по годам

Физтех до 2010 и вступительные на Физтех

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#78848Максимум баллов за задание: 7

Точки $M$ и $N$ являются серединами боковых сторон $AC$ и $CB$ равнобедренного треугольника $ABC$ . Точка $L$ расположена на медиане $BM$ так, что $BL :BM = 4:9$ . Окружность с центром в точке $L$ касается прямой $MN$ и пересекает прямую $AB$ в точках $Q$ и $T$ . Найти периметр треугольника $MNC$ , если $QT = 2$ , $AB = 8.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подобие каких треугольников несложно заметить на рисунке? Как использовать отношение, данное в условии?

Подсказка 2

Пусть точка P - точка касания окружности с прямой MN, а F - проекция центра L окружности на прямую AB. Рассмотрите подобие треугольников MLP и BLF. Как теперь найти радиус окружности?

Подсказка 3

Обратите внимание, что теперь мы знаем всё о треугольнике QFL.

Подсказка 4

Для нахождения требуемого хочется найти сторону CM. Что можно найти вместо нее? Что для этого нужно?

Подсказка 5

Найдем AM! Но нужен удобный треугольник, в котором мы может найти все остальные стороны.

Подсказка 6

Опустите перпендикуляр из M на АВ. Чему на картинке он равен? А как найти AH, используя данные из условия?

Показать ответ и решение

Пусть точка $P$ — точка касания окружности с прямой $MN,$ а $F$ — проекция центра $L$ окружности на прямую $AB.$ Тогда точки $P, L, F$ лежат на одной прямой, а $F$ — середина $QT.$ Тогда $FQ =F T = 1.$

По теореме о средней линии треугольника $1 MN = 2AB = 4$ и $MN ∥ AB.$ Обозначим $LP =LQ = LT =R.$ Предположим, что точка $Q$ лежит между $A$ и $T.$

$PIC$

Из подобия треугольников $LFB$ и $LPM$ находим, что

LF = LB- ⋅LP = 4R LM 5

LQ2 = LF2+ FQ2 ⇐⇒ R2 = 16R2 +1, 25

откуда находим, что $5 R = 3.$ Тогда

4 9 9 5 PF = LP +LF = R+ 5R = 5R= 5 ⋅3 = 3

Пусть $H$ — проекция точки $M$ на прямую $AB.$ Тогда

1 1 AH = 2(AB − MN )= 2(8 − 4)= 2, MH = PF = 3

Из прямоугольного треугольника $AMH$ находим, что

∘ ---------- √---- √-- AM = AH2 +MH2 = 4+ 9= 13

Тогда $CN =CM =AM = √13.$ Следовательно, периметр треугольника $MNC$ равен $√13-+√13-+4 =2(2+ √13).$

Ответ:

$2(2+√13)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#78854Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

∘-------- 5 -1-- 5tgx+ 10= 2sin x+ cosx

Источники: Вступительные в МФТИ - 1991 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В таком уравнении больше всего хочется возвести обе части в квадрат, так давайте сделаем это! Только не забудем условия для равносильности такого перехода (в левой части корень, значит, в правой части нашего уравнения тоже должна быть величина неотрицательная).

Подсказка 2

После возведения в квадрат у нас уничтожатся 5tg(x) с обеих сторон. Сразу же напрашивается замена, чтобы дальше мы решали обычное уравнение от одной переменной, а не тригонометрическое.

Подсказка 3

Путь t = sin²x, теперь мы получаем уравнение, которое можно привести к общему знаменателю, а дальше решить как квадратное. Не забудьте про ограничение на t, когда получите его корни!

Показать ответ и решение

Левая часть неотрицательна, поэтому и правая должна быть неотрицательна:

5 -1-- 2sin x+ cosx ≥0

5sinxcosx+ 2 ---cosx----≥ 0

Если обе части неотрицательны, то можно возвести в квадрат:

5 tgx +10= 25sin2x +5tgx+ --12-- 4 cosx

25sin2x+ --4--− 40= 0 cos2x

25 sin2x+ ---4-2-− 40=0 1− sin x

После замены $t= sin2x$ уравнение принимает вид:

25t+ -4--− 40= 0 1− t

25t(1−-t)+-4−-40(t− 1) 1− t =0

25t− 25t2+4− 40+ 40t -------1−-t------- =0

2 25t − 65t+ 36 =0,t⁄= 1

t= 4или t= 9 5 5

При обратной замене остаётся только

2 4 sin x= 5,

откуда получаем

2 x = ±arcsin √5 + πk,k∈ℤ

Вспомним условие

5sinxcosx+-2≥ 0 cosx

√ - (±2 +2)⋅± 5≥0

Окончательно получаем, что надо исключить из найденных решений серию $x= π+ arcsin√2-+ 2πk,k ∈ℤ. 5$

Ответ:

$− arcsin √2-+πk, arcsin√2-+2πk, k ∈ℤ 5 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#79126Максимум баллов за задание: 7

Числа $− sin x,4sin x⋅ctg2x,cosx$ являются членами арифметической прогрессии с номерами $k,k+ 1,k +2$ соответственно. Найти все значения $x$ и $k,$ если седьмой член этой прогрессии равен $1 5.$

Источники: Вступительные в МФТИ - 1991 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Три подряд идущих члена арифметической прогрессии... Конечно же, сразу хочется переписать это условие в виде уравнения с тремя данными в условии функциями. Далее, естественно будет это уравнение преобразовать к более приятному виду!

Подсказка 2

Если Вы всё правильно сделали, то должно было получиться 2 значения для ctg(x) — 1 и -4/3. Случай ctg(x) = 1 рассматривается просто, а со вторым нужно быть повнимательнее.

Подсказка 3

План рассмотрения случая ctg(x)=-4/3. Нам нужно выписать 2 серии решений (рассматриваем далее каждую по отдельности), для них выразить все нужные тригонометрические функции и подставить всё в условие для 7-го члена арифметической прогрессии. Отсюда и находятся значения x и k!

Показать ответ и решение

Из условия задачи получаем уравнение

cos2x 8 sinx⋅ctg2x= cosx− sinx ⇐⇒ 8sinx⋅ sin2x = cosx − sin x

cos2x 4⋅-cosx-= cosx − sinx ⇐ ⇒ 4cos2x= cos2x− cosx sinx

3cos2x +cosxsinx − 4sin2x =0 ⇐ ⇒ 3ctgx+ ctgx− 4= 0

Из последнего уравнения получаем:

[ ctgx =1 4 ctgx =− 3

Случай 1 $π π ctgx= 1, x= 4 +πn, 2x = 2 + 2πn, n∈ ℤ.$ Видно, что в этом случае прогрессия имеет вид либо $√2 √2- − 2 ; 0; 2 ,$ либо $√2- √2- 2 ; 0; − 2 .$

Пусть для данных значений $x$ существует искомое $k,$ указанное в условии задачи. Тогда получаем соотношения:

{ √-} d∈ ± -2- — разность прогрессии 2

ak+1 = a1+ dk= 0

Отсюда ${ √2 } a1 = −d, k∈ ∓ 2 ⋅k .$ Теперь из условия, что седьмой член прогрессии равен $1 5,$ получаем соотношение

1 a7 = a1+ 6d = 5

Отсюда вытекает противоречие с иррациональностью числа $√- 2.$ . Значит, в случае $1$ не существует искомых значений $x$ и $k.$

Случай 2 $ctgx= − 43.$ Выделим две серии решений этого уравнения

(a) $( ) x= arcctg − 43 +2πn$

(b) $( ) x= π+ arcctg − 43 +2πn, n ∈ℤ$

В случае (a) $sinx= 35, cosx= − 45.$ Тогда $ctg2x= −274,$ и прогрессия имеет вид $− 35; − 710; − 45.$ Разность равна $d =− 110.$ Далее

ak+1 = a1+dk= − 7-, 10

Отсюда $a1 = −dk− 710-= k1−07.$

Теперь из условия, что седьмой член прогрессии равен $1, 5$ получаем соотношение

a7 = a1+ 6d = 1 ⇐⇒ k−-7− -6= 1 =⇒ k= 15 4 10 10 5

Итак, получаем первое решение задачи:

( ( ) ) (x,k)= (x,k)= arcctg − 4 +2πn, 15 3

В случае (a) $sinx= − 3, cosx= 4. 5 5$ Тогда $ctg2x= −-7, 24$ и прогрессия имеет вид $3; 7-; 4. 5 10 5$ Разность равна $d= -1. 10$ Далее

7 ak+1 =a1+ dk= 10,

Отсюда $7 −k+7 a1 = −dk+ 10-=-10-.$

Теперь из условия, что седьмой член прогрессии равен $1 5,$ получаем соотношение

1 − k+7 6 1 a7 =a1+ 6d= 4 ⇐⇒ --10- + 10 = 5 =⇒ k= 11

Итак, получаем второе решение задачи:

( ( 4) ) (x,k)= π +arcctg − 3 + 2πn, 11

Ответ:

$(x,k)∈ {(arcctg(− 4) + 2πn, 15) ,( π+ arcctg(− 4) +2πn, 11)}, n ∈ℤ 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#79279Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

x log22 + log2(21x− 2)= 2log21x2−2x8

Источники: Вступительные в МФТИ - 1991 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что нужно записать первым делом? А потом подумайте: не видите ли вы чего-то похожего в аргументах и основаниях логарифмов? Что тогда можно сделать?

Подсказка 2

Первым делом, конечно, пишем ОДЗ! А ещё, если сложить логарифмы слева, аргумент будет почти такой же, как основание логарифма справа) Тогда можно это и сделать, а потом при помощи небольших преобразований получить уравнение с одним логарифмом

Подсказка 3

И этот логарифм можно заменить на t, а потом решить получающееся квадратное уравнение, не забыв проверить корни на соответствие ОДЗ

Показать ответ и решение

Найдём ОДЗ:

(| x >0 |||{ 2 | 21x−2 2> 0 |||( 21x2− 2x ⁄=1 21x − 2x >0

(| x > 0 |||{ x > 2- | x ⁄= 211±-√22- |||( x ∈(−2∞1; 0)∪ (2;+∞ ) 21

Преобразуем левую часть уравнения:

log x +log(21x− 2)= log ( 21x2−-2x) 22 2 2 2

(21x2−-2x) 2 log2 2 = log2(21x − 2x)− 1

Теперь воспользуемся тем, что $1 logab= logba$ и сделаем замену $2 t= log2(21x − 2x)$ , тогда наше уравнение примет вид:

6 t− 1= t

Домножим на $t$ и получим квадратное уравнение: $t2− t− 6 =0,$ корни которого будут равны $t1 = 3, t2 =− 2$

При $t1 = 3$ нужно решить уравнение $log2(21x2− 2x)= 3$ . Пропотенциируем и получим $21x2− 2x− 8= 0$ . Корни этого уравнения $x1 = 2 3$ и $x2 =− 4 7$ . $x2$ не будет входить в ОДЗ, поэтому оставляем лишь $x1$

При $t2 = −2$ нужно решить уравнение $2 log2(21x − 2x)= −2$ . Так же потенциируем и получаем $2 1 21x − 2x− 4$ . Корни этого уравнения $x3 = 1 6$ и $x4 =− 1- 14$ . $x4$ нам не подходит, так как этот корень не попадает в ОДЗ.

Ответ:

$x = 1; x= 2 6 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#104740Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых

√ ---- log5(x+ 2− a)+ log1∕5(a− 1− x) =log259

имеет решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами логарифмы с похожими основаниями, быть может, преобразуем выражения так, чтобы остался логарифм лишь с одним основанием?)

Подсказка 2

После преобразований мы придём к системе, одно из уравнений которой следует из ограничений на ОДЗ. Можем ли мы сделать такие преобразования, чтобы избавиться от x и решать систему для a?

Подсказка 3

4(a-1) > 4x, после чего можно заменить 4x в другом уравнении. Теперь нам нужно сравнить две величины c a.

Подсказка 4

Например, можно изобразить графики √(2-a) и 1-a, чтобы понять, как расположены решения этого неравенства!

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов уравнение равносильно системе

{ x+ √2−-a= 3(a− 1− x) a− 1>x

{ 4x= 3(a− 1)− √2-− a 4(a− 1)> 4x

из которой следует неравенство

4(a− 1)> 3(a− 1)− √2−-a

1− a< √2−-a

Из графиков функций $y = 1− a$ и $√---- y = 2− a$

$PIC$

видно, что множество решений неравенства — промежуток $(a1;2].$ , где $a1$ — это корень уравнения

1− a= √2−-a

такой, что $a1 < 0$ .

(1 − a)2 = 2− a

a2− a− 1= 0

√- a1 = 1−-5 2

Решение исходного уравнения выражается из уравнения $4x =3(a− 1)− √2-− a$ при каждом значении $a$ из промежутка.

Ответ:

$(1−-√5;2] 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#64111Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму всех решений уравнения

2 [x] + 40x+ 336= 0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, перед нами уравнение, где используется переменная и её целая часть. Что мы обычно делаем в таких случаях? А, да, точно, давайте представим переменную в виде суммы её целой и дробной части. (т.е. введём a = [x] и b = {x})

Подсказка 2

Немного подумаем. Да, очевидно, что 40 * b ∈ [0, 40) ≥ (a² + 40*a + 336) ∈ (-40, 0]. Получаем систему неравенств, которые надо решить в целых числах. Да...звучит непросто, но мы же суровые ребята, находим все значения а, к каждому из них найдём b, далее складываем всё, что получилось и уверенно пишем ответ!!!

Показать ответ и решение

Пусть $a =[x],b= {x},$ тогда получаем уравнение

2 a +40a+ 40b+ 336= 0

Нам требуются такие значения $a$ , что $a2+ 40a+336∈ (− 40,0]$ , то есть $(a+ 28)(a +12)∈(−40,0]$ . Решая это неравенство в целых числах, находим решения $a∈ {−12,−13,−14,− 15,−25,−26,−27,−28}$ . В пару к каждому находим $b= − a2+40a+336 40$ , получаем $b∈ {0,3, 7,39,39,-7,3,0} 810 40 40 10 8$ . Остаётся записать ответ, используя $x =a +b.$

5 3- 1- -1 3- 5 − 12 − 128 − 1310 − 1440 − 2440 − 2510 − 268 − 28 =− 155,9

Ответ:

$− 155,9$

Следующая подтема