19.01 Задачи №19 из ЕГЭ прошлых лет

Заметим, что любое число из первой группы превращается в число число из второй группы превращается в число из третьей группы никак не меняется. Обозначим сумму чисел в первой группе через а их количество через сумму чисел во второй группе через а их количество через сумму чисел в третьей группе через (их количество обозначать необязательно, так как в этой группе ничего не меняется).

а) Изначально сумма всех чисел была далее в первой группе сумма стала во второй группе сумма стала Тогда составим уравнение:

В полученном уравнении можно легко подобрать пример: количество чисел во всех группах пусть будет равным 1 и . Таким образом, в первой группе число 1; во второй группе число 8; в третьей группе число 3.

Сделаем проверку:

Получилось действительно верное равенство.

б) Аналогично рассуждениям из пункта а) составим уравнение:

Заметим, что сумма натуральных чисел всегда не меньше, чем их количество, тогда

Значит, не существует натуральных чисел, удовлетворяющих нужному соотношению.

в) Так как нужно узнать, в какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма, то рассмотрим отношение полученной суммы к изначальной:

Хотим найти максимум полученного выражения. Тогда поймем, в какой группе для этого должны находиться числа. Изначальная сумма чисел фиксирована для выбранного набора чисел. Но если числа из первой и третьей группы переместить во вторую группу, то несложно проверить, что новая полученная сумма увеличится. Значит, для максимизации отношения нужно в первой и третьей группах оставить по одному числу и получится Тогда отношение примет вид

Теперь для максимизации нужно, чтобы и знаменатель должен иметь минимальное значение для фиксированного набора из чисел во второй группе и чисел в первой группе, то есть минимум это так как Тогда получим

Тогда осталось найти максимум выражения

Чтобы найти точку максимума, нужно посчитать производную:

Теперь нужно найти нули функции, в данном случае понять, когда числитель равен нулю:

Нас интересуют только положительные значения то есть точка максимума функции будет в точке так как в ней происходит переход от положительных значений производной к отрицательным. Также принимает только натуральные значения, значит, максимальное значение функции будет либо в точке либо в точке

• 
• 

Значит, максимум отношения равен 11,6 при Осталось показать, что такая ситуация точно возможна, то есть показать пример.

Пример будем составлять на основании наших рассуждений, то есть

Получаем начальные числа 1, 2, 3, 4 и 5, которые превратятся в числа 1, 26, 39, 49 и 59. Проверим отношение полученных сумм:

Значит, сумма могла увеличиться максимум в 11,6 раз.

а) Пусть в первый день Вася решил задач, тогда Петя в этот день решил задачу. Если Петя решил все задачи за 5 дней, можем составить таблицу решенных задач за эти 5 дней:

Заметим, что Вася за 5 дней решил на 15 задач меньше, чем Петя, но Петя прорешал весь сборник. Значит, если описываемое в задаче возможно, то Вася за следующие несколько дней (начиная с 6) должен дорешать эти 15 задач, причем это число должно представляться в виде суммы нескольких последовательных натуральных чисел (так как он решал каждый день на одну задачу больше, чем в предыдущий), каждое из которых больше 5. Такое может быть, например, если в шестой день он решит задач, а в седьмой — , то есть в первый день Вася решил 2 задачи, а Петя — 3.

Значит, могло получиться так, что Петя решил все задачи за 5 дней.

б) Пусть в первый день Вася решил задачу, тогда Петя в этот день решил задач. Если Петя решил все задачи за 4 дня, можем составить таблицу решенных задач за эти 4 дня:

Заметим, что Вася за 4 дня решил на 2 задачи меньше, чем Петя, при этом Петя прорешал весь сборник. Тогда, начиная с пятого дня, Васе осталось дорешать 2 задачи, при этом в пятый день он должен решить задач. Но так как , в пятый день Вася решит задач — противоречие.

Значит, такое не могло случиться.

в) Каждый из ребят решал задачи более 6 дней. Пусть Петя в первый день сделал задач и решал весь сборник ровно 7 дней. Тогда количество задач в сборнике равно (по формуле суммы арифметической прогрессии)

Разберем отдельно случаи, когда Вася решил в первый день на одну задачу больше Пети и когда на одну задачу меньше.

• Если Вася решил в первый день на одну задачу больше, чем Петя, то за семь дней он решил

  

  задач, что меньше количества задач в сборнике. Следовательно, Вася решал задачи более семи дней. За восемь дней он бы решил задач. Уравнение имеет решение . За девять или более дней Вася бы решил хотя бы , то есть больше задач, чем в сборнике. В таком случае получаем, что всего в сборнике 84 задачи (в первый день Петя решил 6 задач, а Вася 7).

• Если Вася решил в первый день на одну задачу меньше, чем Петя, то за семь дней он решил

  

  задач, что меньше количества задач в сборнике. Следовательно, Вася решал задачи более семи дней. За восемь дней он бы решил задач, за девять дней задач, за десять дней задач, за большее число дней как минимум задачи (что заведомо больше ). Уравнения не имеют целых решений, меньших 6. Значит, этот случай невозможен.

Теперь рассмотрим случаи, когда Петя решал задачи более семи дней. Перечислим всевозможные значения, которые может принимать сумма

Это числа

Это так называемые «треугольные числа». Нас интересует такая сумма, потому что это количество задач, решенных Васей, но без нескольких первых слагаемых (в зависимости от числа задач, решенных в первый день).

Если Петя решил весь сборник за 8 дней, то он решил задач. Нас интересует, может ли это число быть меньше 84. Необходимо проверить , , .

• При задач в сборнике . Вася в первый день решил 2 задачи (0 не может быть по условию), то есть всего Вася решил задач. Следовательно, 64 должно быть меньше треугольного числа на 1. Это не выполняется, получаем противоречие.
• При задач в сборнике . Вася в первый день решил или 1 задачу, или 3 задачи. Следовательно, 72 должно или совпадать с треугольным числом, либо быть меньше него на . Это не выполняется, получаем противоречие.
• При задач в сборнике . Вася в первый день решил или 2, или 4 задачи. Следовательно, 80 должно быть меньше треугольного числа или на 1, или на . Это не выполняется, получаем противоречие.

Если же Петя решил весь сборник за 9 дней, то он решил задач. Но только при . Тогда в сборнике 81 задача. В первый день Вася решил 2 задачи. Следовательно, 81 должно быть на 1 меньше треугольного числа — противоречие.

Если Петя решал сборник более 9 дней, то он решил как минимум задач.

Значит, 84 — это наименьшее возможное количество задач в сборнике. Достигается такое число в случае, когда в первый день Петя решил 6 задач, а Вася 7.

Так как квадратное уравнение имеет два различных натуральных корня, то можно записать , где — корни уравнения. Тогда , . Всюду ниже, не умаляя общности, будем считать, что .

а) , где . Число 55 можно разложить на натуральные множители только двумя различными способами: . Значит, , или , . Получаем или соответственно.

б)

Можем к обеим частям уравнения прибавить единицу, чтобы удобно разложить на множители:

и натуральные, следовательно, множители в левой части целые неотрицательные. Число 31 можно единственным способом разложить в произведение целых неотрицательных множителей, получим

в) Имеем

Заметим, что числа и отличаются на , значит, они одной четности. Так как 2108 четное число, хотя бы один из множителей должен быть четным, но тогда и второй множитель будет четным.

Рассмотрим все возможные разложения числа 2108 на два целых четных множителя. В каждом множителе должно быть по двойке, а множители 17 и 31 либо окажутся в одном, либо в разных множителях. Также либо оба множителя должны быть отрицательны, либо оба положительны, получаем всего четыре случая:

Мы знаем, что , причем , следовательно, и . Таким образом, в каждом из случаев будет соответствовать большему из множителей.

• 

  Получаем систему

  
• 

  Получаем, что , что невозможно при натуральных и .

• 

  Получаем систему

  

  Эта система не имеет натуральных решений.

• 

  Получаем, что , что невозможно при натуральных и .

Разобрав все случаи, получили, что корнями уравнения могут быть только числа 6 и 8.

а) Заметим, что если взять набор различных чисел, где каждое либо простое, либо единица, то никакие два числа не будут иметь общего делителя, большего 1. Основываясь на этом замечании, можно построить пример:

б) Пусть сумма пяти чисел равна 23, то есть она нечётная. Тогда среди этих чисел будет нечётное количество нечётных и чётное количество чётных. Заметим, что среди этих пяти чисел чётным может быть максимум одно, иначе будут два числа, делящиеся на 2. Значит, чтобы получить сумму 23, можно использовать только нечётные числа. Посчитаем наименьшую возможную сумму пяти нечетных чисел:

Следовательно, получить сумму 23 из пяти различных чисел, описанных в условии, нельзя.

в) Заметим, что нечётную сумму, меньшую 25, составить нельзя, потому что рассуждение пункта б) работает для любого нечетного числа . Тогда посмотрим, какую минимальную чётную сумму можем получить.

Если сумма пяти чисел чётна, то среди этих пяти чисел будет чётное количество нечётных и нечётное количество чётных, причем по доказанному в пункте б) чётное число может быть максимум одно. Тогда минимальная чётная сумма, которую мы можем получить, равна сумме наименьших четырёх нечётных чисел и наименьшего чётного числа. То есть

— наименьшая возможная чётная сумма. При этом набор чисел

удовлетворяет условию задачи. Так как то 18 — наименьшее возможное значение, которое может принимать сумма пяти попарно взаимно простых чисел.

а) Стороны склада — целые числа, и его объем 120 делится на 3, поэтому есть сторона, длина которой кратна 3. Обозначим ее длину через м. Тогда выложим контейнеров с размерами м длинной стороной вдоль стены с длиной м. Длины остальных сторон склада делятся на длины других сторон контейнеров, так как любое целое число делится на 1. Тогда аналогичным образом продолжим выкладывать контейнеры и заполним такими операциями весь склад.

Значит, склад размером 120 кубометров точно можно заполнить данными контейнерами.

б) Попробуем построить пример. Для того чтобы не пришлось рассматривать много случаев, возьмем такой склад, в который можно поместить контейнеры только одним способом. То есть две стороны должны быть меньше 3. Если возьмем склад размером м, то сторона длины 3 м любого из уложенных контейнеров должна быть параллельна стороне длины 25 м склада. Мысленно разделим склад на четыре полосы размерами . В каждую из них можно поместить не больше 8 контейнеров. Возможно, некоторые контейнеры будут лежать в нескольких полосах одновременно. В любом случае максимальное количество уникальных контейнеров, которые можно разместить на складе , равно .

Значит, поместить 33 контейнера не удастся.

в) Рассмотрим склад размером м. Вдоль стен со сторонами 2 м не получится класть контейнеры стороной 3 м, значит, сторона 3 м у контейнеров будет лежать вдоль стены 200 м. То есть по соображениям из пункта б) на такой склад поместится максимум контейнера. Тогда останется свободным хотя бы

кубометров объема, то есть склада. Значит, более чем объема склада гарантированно заполнить не удастся.

Теперь докажем, что хотя бы объема при любой другой конфигурации склада заполнить получится. Пусть дан склад размером и сторона м. Тогда можем мысленно отделить часть склада со стороной 3 м и останется объем , а часть склада можно полностью заполнить контейнерами с помощью алгоритма из пункта а). Такую операцию можно делать с любой стороной склада, длина которой не меньше 3. Тогда будем продолжать отрезать части склада со стороной 3 м до тех пор, пока не останется параллелепипед с измерениями, не превосходящими . Получили, что пустым будет максимум 8 кубометров из 800, то есть максимум .

Таким образом, хотя бы объема при любой конфигурации склада получится заполнить.

а) Если , то можем сделать , а потом снова домножить на 2 и получить . То есть мы научились строить последовательность из двух различных чисел (нечетные члены равны 196, а четные — 98). Чтобы получить последовательность из 5 различных чисел, достаточно лишь последние три числа сделать отличными от 98 и 196. По построению выше . Тогда следующие три члена можем получить домножением на 2 предыдущих: , и . Итого, в последовательности есть 5 различных чисел: 98, 196, 392, 784 и 1568.

б) По числу будем последовательно находить числа , и так далее. Каждый член последовательности либо вдвое больше, либо на 98 меньше предыдущего. Число нечётно. Поймем, что перед нечётным числом в последовательности могло стоять только нечётное. Числа в последовательности натуральные, поэтому рассмотрим два варианта:

• Пусть число чётно. Тогда следующее число либо , либо . Оба числа чётны. То есть после чётного числа всегда идет чётное. Значит, перед нечётным числом всегда стоит нечётное.
• Пусть нечётно. Тогда следующее число либо — чётное, либо — нечётное. Значит, перед нечётным числом может стоять только число на 98 больше, то есть тоже нечётное. Тогда если число нечётное, то перед ним может стоять только число , которое тоже нечётно. Следовательно, мы можем восстановить число .

Вернемся к нашей последовательности. Число нечётно. Тогда предыдущее число мы можем однозначно восстановить: . Аналогично мы можем однозначно восстановить все предыдущие члены последовательности, так как каждое из полученных чисел будет нечётно. То есть

в) Пусть — значение наибольшего члена последовательности. Заметим, что наибольший член последовательности больше 98, иначе из любого числа не было бы возможности вычитать 98 и получать натуральное число. То есть каждое следующее число получалось из предыдущего умножением на 2. Но в таком случае — явно больше 98.

Тогда будем перебирать возможные варианты наибольших чисел: 99, 100, 101 и так далее. От каждого рассматриваемого числа будем восстанавливать последовательность в обе стороны. Если получим последовательность, которую нельзя продолжить ни в одну сторону, и количество членов в ней будет меньше 400, то число, которое мы рассматривали, нам не подходит. При построении цепочки будем учитывать следующие особенности последовательности:

• После числа идет число , иначе не наибольшее.
• Перед числом стоит число вдвое меньше, если чётно. Если нечётно, то перед ним не может ничего стоять, иначе не наибольшее.
• Если число чётно и больше, чем , то слева может стоять только число вдвое меньше.
• Если число нечётно и больше , то слева ничего не может стоять.
• Если число меньше 98 и меньше , то справа стоит число вдвое больше.
• Если число меньше 98 и больше , то справа ничего не может стоять.

Начнём перебор:

• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то возможна только последовательность (или ее часть)

Все полученные последовательности нам не подходят, так как количество членов в них меньше 400. Значит, наибольшее число последовательности равно хотя бы 112. В этом случае можно составить последовательность, где наибольшее число действительно равно 112:

а) Пусть было два эксперта и они оценили 5 кинофильмов, тогда среднее геометрическое будет вычисляться с помощью квадратного корня. Тогда для каждого фильма произведение оценок экспертов должно быть квадратом натурального числа.

Заметим, что максимальное произведение двух различных чисел от 1 до 10 — это 90, значит, произведением оценок экспертов могут быть только квадраты чисел от 1 до 9.

Однако числа 1, 25, 49, 64 и 81 нельзя представить в виде произведения двух различных чисел от 1 до 10. Значит, всего целых оценок получится не больше 4, то есть два эксперта могли оценить максимум 4 кинофильма. Противоречие.

Значит, при двух экспертах не могло быть 5 кинофильмов.

б) Если могло быть три эксперта, то среднее геометрическое будет вычисляться с помощью корня третьей степени. Значит, степень вхождения каждого простого множителя в произведение трёх чисел должна быть кратна трём.

Множитель 5 входит только в числа 5 и 10 в степени 1, то есть количество 5 в произведении оценок экспертов может быть максимум 2. Значит, эти числа не будут участвовать в построении примера. По аналогичным причинам не подходит и число 7.

Мы хотим составить пример, в котором в произведение трех оценок множитель 2 входит в степени или 0, или 3, или 6, и множитель 3 входит в степени или 0, или 3. Получатся следующие тройки оценок:

Тогда рейтинги кинофильмов равны 2, 3, 4, 6 соответственно.

Значит, могло быть 3 эксперта и 4 кинофильма.

в) Докажем, что более 4 экспертов быть не может.

Разложим числа от 1 до 10 на простые множители:

Заметим, что каждый из простых множителей 3, 5 и 7 входит в разложение не более 4 раз суммарно во все числа от 1 до 10. Значит, если будет экспертов, то оценки, содержащие множители 3, 5 или 7 использоваться не могут, так как чтобы корень -й степени был целым, каждый из простых множителей должен входить в произведение хотя бы в -й степени.

Остается лишь четыре числа, которые могут быть оценками экспертов: 1, 2, 4, 8. Их всего четыре, то есть более четырёх экспертов быть не может.

Пусть будет 4 эксперта. Так как множитель 3 входит ровно в 4 степени в произведение чисел от 1 до 10, то чтобы извлечь целый корень четвертой степени, нужно либо использовать в произведении все числа, которые кратны 3, либо ни одно из них.

Построим пример, в котором используются оценки 3, 6 и 9.

Найдем четвертую оценку. В произведение двойка входит в степени 1. То есть чтобы извлечь корень четвертой степени, рассматриваемое произведение нужно домножить еще на . Получаем 4 эксперта с набором оценок , то есть рейтинг фильма равен 6.

Значит, максимум могло быть 4 эксперта для одного кинофильма.

Обозначим сумму всех чисел на красных карточках а сумму всех чисел на синих карточках Так как по условию среднее арифметическое всех чисел равно 16, то

После увеличения в два раза всех чисел на синих карточках их сумма тоже увеличилась в два раза, а среднее арифметическое стало равно 31,2, то есть

а) Если синих карточек 10, то красных

Так как на всех карточках написаны натуральные числа, то каждое число равно минимум 1. В таком случае сумма чисел на красных карточках ровно 40, поэтому на всех красных карточках написано 1. Иначе если увеличим хотя бы одно число, то сумма будет больше 40. Значит, теперь нужно понять, какие числа могли быть записаны на синих карточках. Заметим, что их сумма равна

Тогда можно взять 5 пар чисел, равноудаленных от числа 76, чтобы все числа были разные и сумма оставалась равной 760. Получается пример:

Здесь все числа различные и больше 1, то есть любого из чисел на красных карточках.

б) Если красных карточек 10, то синих

Заметим, что если числа на всех красных карточках не больше 3, то сумма равна максимум но — противоречие. Значит, есть красная карточка с числом 4 или больше, значит, числа на синих карточках не меньше 5. Посчитаем наименьшую возможную сумму на синих карточках. Для этого вспомним формулу суммы первых членов арифметической прогрессии: если — первый член и — разность прогрессии, то

Тогда первый член прогрессии равен 5 и каждый следующий увеличивается минимум на 1, а всего их 40:

Получили, что наименьшая сумма больше полученной из условия задачи, то есть 10 красных карточек быть не могло.

в) Докажем, что 36 и больше синих карточек быть не может. В этом случае красных карточек не больше 14, тогда наибольшее число на них не менее 3, иначе сумма будет равна максимум

Значит, числа на синих карточках не меньше 4. Посчитаем наименьшую возможную сумму на синих карточках, если чисел хотя бы 36:

Получили, что наименьшая сумма больше полученной из условия задачи, то есть не могло быть 36 и более синих.

Теперь достаточно привести пример на 35 синих карточек.

Красные карточки: пять чисел 2 и десять чисел 3 с суммой

Синие карточки: 34 последовательных числа от 4 до 37 с суммой 697 и последнее число равно

Получили, что все числа различные и больше чисел на красных карточках.

Значит, максимум могло быть 35 синих карточек.

а) В условии требуется получить 0 в итоговом произведении. Произведение равно нулю только тогда, когда один из множителей равен нулю. Каждый множитель — сумма чисел в вершинах одного из треугольников. Значит, если произведение равно 0, то и одна из сумм равна 0.

Пусть нашелся треугольник, сумма чисел в вершинах которого равна 0. Если сумма чисел в вершинах треугольника равна 0, то в вершинах должно быть хотя бы одно отрицательное и одно положительное число, так как среди чисел у нас нет 0.

Минимальное положительное число из нашего набора равно 8. Тогда и сумма отрицательных чисел по модулю должна быть хотя бы 8. Среди чисел набора два самых больших по модулю отрицательных числа — это -4 и -3 с суммой, равной -7. Получили противоречие.

Значит, сумма чисел в вершинах треугольника не могла равняться 0, а следовательно, и произведение таких сумм не могло равнятся 0.

б) Пусть произведение трех сумм могло равнятся 270. Рассмотрим, какая наибольшая сумма чисел в трех вершинах могла получиться. Тогда для трех наибольших чисел получаем наибольшую возможную сумму:

Посмотрим, как можно разложить на множители 270, если наибольший из них не превосходит 33. Наибольшее число, не превосходящее 33, на которое делится 270, равно 30. Тогда произведение двух оставшихся множителей равно 9.

Рассмотрим, как могла получится сумма 30:

Тогда остались числа

Нам нужно получить из них две суммы, произведение которых будет равно 9. Общая сумма оставшихся чисел равна 10. Тогда двумя множителями могут быть суммы

Следовательно, произведение сумм чисел в вершинах треугольника может быть равно 270, если в вершинах первого треугольника написаны числа , в вершинах второго — числа , в вершинах третьего — числа

в) По условию нам нужно получить наименьшее возможное произведение двух сумм. Мы можем получить отрицательное произведение, если одна из сумм будет положительной, а вторая отрицательной. Значит, нам нужно найти наибольшее по модулю отрицательное произведение.

Посмотрим, какое наибольшее по модулю значение может принимать отрицательная сумма. Для этого нужно взять три наибольших по модулю отрицательных числа из всего набора:

Посмотрим, какое наибольшее значение может принимать положительная сумма. Для этого нужно взять три наибольших положительных числа из всего набора:

Заметим, что все взятые шесть чисел различны, значит, наибольшее по модулю отрицательное произведение равно произведению наименьшего возможного отрицательного и наибольшего возможного положительного множителей, то есть

Введем следующие обозначения: — количество овощей с массой меньше 1000 г, — количество овощей с массой ровно 1000 г, — количество овощей с массой больше 1000 г. По условию общее число овощей равно

Обозначим суммарную массу всех овощей По условию средняя масса всех овощей равна 1000 г, то есть

Аналогично суммарная масса овощей, которые весят меньше 1000 г, равна овощей, которые весят больше 1000 г — овощей, которые весят 1000 г — причем Тогда имеет место равенство:

а) Допустим, такое возможно. Тогда причем Получаем противоречие, так как и не могут равняться нулю.

б) Допустим, такое возможно. Тогда

Подставим это в условие

Так как 156 не делится на 7, то такого целого не существует, получили противоречие.

в) Пусть — масса наименьшего овоща, очевидно, что этот овощ находится в группе меньших 1000. Максимальный возможный вес овощей в этой группе, при том, что один овощ весит равен Чтобы пример существовал, эта верхняя граница должна быть не меньше, чем заданная в условии сумма масс овощей в этой группе — Это необходимое условие, его выполнение не гарантирует существование примера, однако его невыполнение гарантирует, что примера нет. Тогда имеем:

Минимальное допустимое достигается при максимальном допустимом Мы уже знаем, что из этого следует, что делится на 4. Обозначим тогда Получаем оценку:

При минимальное возможное Пример: один овощ массы 387, 35 овощей массы 999, 2 овоща массы 1000, 27 овощей массы 1024.

а) Когда в задаче дается набор различных натуральных чисел, а также дается либо сумма чисел, либо их среднее арифметическое (зная среднее арифметическое чисел и их количество, можно легко посчитать их сумму), то, как правило, работает классическая идея минимальной суммы.

Предположим, что наименьшее число равно 3. Тогда наименьшая возможная сумма шести наименьших чисел равна

Тогда наименьшее среднее арифметическое шести наименьших чисел равно

Мы взяли шесть самых маленьких различных натуральных чисел при условии, что наименьшее из них равно 3. И если их среднее арифметическое оказалось больше 5, то и среднее арифметическое шести любых различных натуральных чисел, наименьшее из которых равно 3, будет больше 5.

Следовательно, мы получили противоречие, значит, наименьшее число в наборе не может быть равно 3.

б) Пусть мы имеем набор упорядоченных по возрастанию чисел

Тогда по условию имеем:

Отсюда получаем

Наименьшее возможное значение — это 5, так как числа натуральные и различные и они упорядочены по возрастанию. Тогда самое маленькое возможное значение — это 6. Но тогда наибольшая возможная сумма равна

Значит, наибольшее возможное среднее арифметическое всех десяти чисел равно

Следовательно, среднее арифметическое всех чисел не может быть равно 11.

в) В предыдущем пункте мы сказали, что

Следовательно, для того, чтобы найти наибольшую возможную сумму всех чисел, нужно найти наименьшую возможную сумму

Ранее мы доказали, что минимальная сумма Заметим, что, учитывая условие, что сумма наименьших шести чисел равна 30, такая ситуация невозможна: наибольшее возможное тогда равно 5, значит, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна

Отсюда мы получаем, что наибольшая сумма первых шести чисел равна

Рассмотрим следующие случаи.

1) Пусть Тогда

Тогда наибольшее возможное значение для — это 5. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна

Следовательно, такой случай невозможен.

2) Пусть Тогда

Тогда наибольшее возможное значение для — это 6. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна

Следовательно, такой случай невозможен.

3) Пусть Тогда

Тогда наибольшее возможное значение для — это 6. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна

Следовательно, такой случай невозможен.

4) Пусть Тогда

Тогда наибольшее возможное значение для — это 7. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна

Это не меньше 15, следовательно, противоречия мы не получили. Попробуем построить пример.

Возьмем Возьмем также

Тогда действительно

Подберем последние четыре числа:

Тогда действительно

Пример приведен, следовательно, наибольшая возможная сумма десяти чисел равна Тогда наибольшее среднее арифметическое всех чисел равно 10,5.

Число делится на 72 тогда и только тогда, когда оно делится и на 8, и на 9.

Признак делимости на 8: число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, составленное из трёх последних цифр числа делится на 8.

Признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 9.

а) Мы хотим добиться, чтобы после вычеркивания нескольких цифр из числа 123456789 получилось число, делящееся на 72, то есть делящееся и на 8, и на 9. Воспользуемся признаком делимости на 8.

Сейчас три последние цифры образуют число 789. Оно нечётно, поэтому не может делиться на 8. Значит, нам в любом случае придется вычеркнуть последнюю цифру 9. После этого последние три цифры будут образовывать число которое не делится на 8.

Значит, придется вычеркнуть одну из цифр 6, 7 или 8. Если мы вычеркнем 8, то число станет нечетным. Тогда попробуем вычеркнуть 7. После этого последние три цифры будут образовывать число которое делится на 8.

У нас осталось число 1234568, оно не делится на 9, так как сумма его цифр 29 не делится на 9. Значит, нам нужно вычеркнуть из этого числа цифры так, чтобы сумма оставшихся была кратна 9, а последние три цифры остались нетронутыми. Так можно сделать, если вычеркнуть цифру 2. Тогда мы получим число

Рассуждения выше не нужно писать в решении на экзамене. Они приведены для того, чтобы читатель понял логику построения примера.

б) Аналогично предыдущим рассуждениям, чтобы после вычёркивания нескольких цифр число 846927531 делилось на 72, оно должно оканчиваться на чётную цифру. Тогда мы обязаны вычеркнуть цифры 7531.

Итак, у нас осталось число 84692, сумма его цифр равна 29. После вычёркивания нескольких цифр оно должно начать делиться на 9, то есть сумма оставшихся цифр должна равняться либо 9, либо 18, либо 27. Рассмотрим три этих варианта:

• Если сумма оставшихся цифр равна 9, то, так как 9 — это единственная нечётная цифра в числе 84692, осталась именно она, то есть вычеркнули цифры 8, 4, 6 и 2. Очевидно, что 9 не делится на 72.
• Если сумма оставшихся цифр равна 18, то мы вычеркнули цифры, сумма которых равна 11. Так как 9 — это единственная нечётная цифра в числе 84692, 11 мы могли получить только как сумму 9 и 2. Тогда осталось число 846. Оно не делится на 8, значит, не делится и на 72.
• Если сумма оставшихся цифр равна 27, то могли вычеркнуть только цифру 2. Тогда осталось число 8469. Оно нечётно, значит, не делится на 72.

Значит, из числа 846927531 нельзя вычеркнуть несколько цифр так, чтобы получилось число, кратное 72.

в) Всего в числе 124875963 девять различных цифр, ни одна из которых не равна 0. После вычёркивания нескольких из них должно остаться число, которое делится на 72. Это значит, что должно остаться хотя бы 2 цифры.

При этом если осталось ровно две цифры, то они обязаны образовывать число 72, то есть после вычёркивания должны остаться цифры 2 и 7. Однако в таком случае они будут образовывать число 27, значит, невычеркнутыми должны остаться хотя бы три цифры.

Рассмотрим все кратные 72 трехзначные числа, все цифры которых различны и ни одна из них не равна 0. Таких чисел всего 6:

Ни одно из них нельзя получить вычёркиванием цифр из числа 124875963, в этом легко убедиться, проверив, в каком порядке цифры перечисленных трехзначных чисел входят в исходное число 124875963. Значит, остались невычеркнутыми хотя бы четыре цифры, то есть можно вычеркнуть максимум 5 цифр.

Построим пример на 5 вычеркнутых цифр. Чтобы число делилось 72, его последняя цифра должна быть чётной, тогда нужно вычеркнуть 3. Затем вычеркнем цифры 5 и 7, полученное число 124896 по признаку делится на 8 (896 делится на 8). Сумма его цифр равна 30. Вычеркнем цифры 1 и 2, полученное число 4896 по признаку делится на 9 (сумма его цифр 27).

Тогда из числа 124875963 можно вычеркнуть 5 цифр 1, 2, 3, 5, 7 и получить число

Выше было доказано, что большее количество цифр вычеркнуть нельзя.

а) Заряд аккумулятора планшета уменьшается на 3 пункта при получении трёх звёзд, на 6 пунктов при получении двух звёзд и на 9 пунктов при получении одной звезды, то есть при прохождении уровня на любое количество звёзд заряд аккумулятора уменьшается на число пунктов, кратное 3.

Тогда после прохождения Витей нескольких уровней заряд аккумулятора тоже уменьшился на число пунктов, кратное 3. Однако 32 не делится на 3, следовательно, заряд аккумулятора не мог уменьшиться ровно на 32 пункта.

б) Пусть Витя прошёл уровней на три звезды, уровней на две звезды и уровней — на одну. Тогда всего он прошел уровней, получил за них звезд, а заряд аккумулятора за это время уменьшился на пунктов. Тогда имеем систему:

Значит, Витя прошел уровней.

в) Из двух уравнений, полученных в предыдущем пункте, можно составить следующую систему:

Заметим, что количества уровней, пройденных на одну, две или три звезды — неотрицательные целые числа. Тогда может равняться только 0, 1 или 2. Рассмотрим три этих варианта:

• Если то

  Тогда Витя получил очков.

• Если то

  Тогда Витя получил очков.

• Если то

  Тогда Витя получил очков.

Значит, Витя мог получить максимум очков.

а) Предположим, что существуют такие что

Рассмотрим самый простой случай, когда то есть числа взаимно просты. Тогда

Так как то получаем Заметим, что

Следовательно, нужно составить из множителей такие числа и чтобы их НОД был равен 1, и они удовлетворяли уравнению

Перебором убеждаемся, что подходят и

б) Выпишем решения уравнения в натуральных числах. Выразим

Для того, чтобы было натуральным, число должно быть целым. Это возможно только тогда, когда делится без остатка на 7.

Все возможные остатки при делении на 7 — это Заметим, что нам подходит только случай, когда при делении на 7 дает остаток 5, то есть Тогда имеем:

Таким образом, решением уравнения при будут

Предположим, что существуют такие что Рассмотрим несколько случаев.

1) Если то Следовательно, аналогично пункту а) Заметим, что так как то

Следовательно, не может быть равным 2. Получили противоречие.

2) Пусть Следовательно, можно записать где — натуральные. Тогда уравнение перепишется как

Тогда, так как — натуральные числа, то 73 должно делиться на Но 73 — простое число и делится только на 1 или на 73. Следовательно, Тогда имеем:

Полученное уравнение также можно решить в натуральных числах и при получить решения

Следовательно, при получаем

Тогда справедлива оценка

С другой стороны,

Следовательно, также получили противоречие.

в) Заметим, что в пункте б) мы доказали, что существует лишь два варианта, чему может быть равно либо 1, либо 73.

Рассмотрим оба случая.

1) Если то Значит,

То есть минимальное значение для

2) Если то Значит,

То есть минимальное значение для равно 36.

Таким образом, мы видим, что минимально возможное значение для равно 5.

Приведем пример. Этот минимум мы получили из случая, когда и при

Следовательно, пример:

а) Заметим, что среди красных чисел также могут встречаться числа, кратные 3. Например, число 24 может встретиться в списке два раза: один раз как красное, второй — как зеленое.

Так как и чисел 3, 6, …, 90 — ровно тридцать штук, и они все кратны 3, то уберем из них, например, число 90, а вместо него возьмем число 24 (которое будет красным). Тогда мы получим 29 зеленых чисел: 3, 6, …, 87 и одно красное 24 (кратное 3), причем очевидно, что сумма всех чисел будет строго меньше 1395.

Ответ: да, может.

б) Упорядочим зеленые числа по возрастанию. Тогда наименьшее возможное значение первого числа — это 3, второго — это 6 и так далее. Наименьшее значение последнего, тридцатого числа, это 87. Сумма всех этих чисел равна 1305 — и это наименьшее возможное значение суммы 29-ти зеленых чисел. Следовательно, если сумма всех чисел равна 1066, то красное число должно быть отрицательным, что невозможно.

Ответ: нет, не может.

в) Докажем, что наименьшее возможное количество красных чисел — это 7.

Рассмотрим минимальное значение для суммы всех чисел для всех случаев, когда красных чисел от 2 до 6 (то, что на доске не может быть написано одно красное число, мы рассмотрели в пункте б)). Оформим это в таблице:

 
То есть мы брали самые маленькие зеленые числа и самые маленькие красные числа и общая сумма чисел получалась больше 1066. Следовательно, для любых наборов красных и зеленых чисел, где красных чисел от 2 до 6, общая сумма чисел будет больше, чем 1066.

Итак, мы имеем пример для 6 красных чисел, когда сумма всех чисел (зеленых и красных) равна 1068. Нужно добавить одно красное число и убрать одно зеленое так, чтобы общая сумма чисел стала равна 1066. Для этого нужно убрать одно зеленое число, которое больше добавленного красного числа на 2. Теперь смотрим: если мы добавим красное 56, то нам нужно убрать зеленое 58. Но такого числа среди зеленых нет.

Перебираем дальше: если добавить красное 64, то убрать нужно зеленое 66, которое как раз у нас имеется! Таким образом, мы построили пример, когда на доске написано 7 красных чисел:

а) Упорядочим числа по возрастанию Пусть одно из этих чисел равно 230. Пусть все оставшиеся 99 чисел – это 1, 2, 3, …, 99. Тогда сумма всех ста чисел — наименьшая возможная сумма в случае, когда среди чисел есть 230. Вычислим ее:

Получили противоречие с условием, следовательно, ответ: нет.

б) Предположим, что на доске нет числа 14. Снова упорядочим числа по возрастанию и рассмотрим числа: 1, 2, …, 13, 15, …, 101. Мы взяли наименьшее возможное значение для первого числа, для второго и т.д. Тогда сумма всех этих чисел — наименьшая возможная сумма среди сумм произвольных ста натуральных чисел. Она равна:

Получили опять же противоречие с условием, следовательно, ответ: нет.

в) Приведем пример, когда среди чисел есть четыре числа, кратные 14 (это числа 14, 28, 42, 56):

Докажем, что не может быть меньше четырех чисел, кратных 14.

Возьмем набор чисел от 1 до 100. Сумма чисел в данном наборе равна 5050. Это минимально возможная сумма ста различных натуральных чисел. Назовем числа, кратные 14, странными. В данном наборе 7 странных чисел. Будем уменьшать количество странных чисел в нашем наборе, сохраняя минимальность суммы чисел в наборе.

Итак, для того, чтобы сумма чисел была минимальна, мы должны убрать самое большое странное число — это 98. Тогда взамен ему придется добавить другое число (не странное!). Самое маленькое такое число — это 101. После этого мы получим минимальную сумму, равную 5053. Она меньше, чем 5120, поэтому будем продолжать дальше.

Поступая аналогично, уберем странные числа 98, 84, 70. Вместо них добавим 101, 102, 103. Получим при этом минимальную сумму, равную 5104. Сделав данную операцию еще раз, то есть убрав 56 и добавив 104, получим минимальную сумму 5152, что больше, чем 5120. В силу минимальности суммы чисел в нашем наборе получаем противоречие.

а) Если на доске написано поровну чисел, оканчивающихся на 4, и чисел, оканчивающихся на 8, то чисел каждого вида по 15 штук. Следовательно, если сложить все эти числа, то последняя цифра их суммы будет равна последней цифре числа

то есть последняя цифра должна быть равна 0, что противоречит условию.

б) Рассмотрим все идущие подряд 30 натуральных чисел, оканчивающихся на 4, начиная с самого маленького:

Эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью 10. Следовательно, их сумма равна

Заметим, что это намного больше чем 2786. Также заметим, что это наименьшая возможная сумма 30-ти различных чисел, оканчивающихся на 4. Как нам максимально уменьшить эту сумму, убрав четыре числа, оканчивающихся на 4, и добавив четыре числа, оканчивающихся на 8? Нужно убрать самые большие числа,оканчивающиеся на 4, и добавить самые маленькие, оканчивающиеся на 8. То есть нужно убрать 294, 284, 274, 264 и добавить Но в этом случае сумма всех чисел будет равна

Значит, на 8 не могут оканчиваться ровно 4 числа.

в) Назовем числа, оканчивающиеся на 4, «числа Ч», а оканчивающиеся на 8 – «числа В».

Из пункта б) следует, что для того, чтобы понять, какое наименьшее количество чисел В может быть на доске, нужно убирать самые большие числа Ч и добавлять самые маленькие числа В, чтобы для начала их сумма максимально приблизилась к числу 2786.

Уберем еще 254 и добавим 48. Тогда, аналогично алгоритму в пункте б), нужно уменьшить сумму на 206: Уберем еще числа 244 и 234 и добавим числа 58 и 68, тогда сумма равна Итак, это наименьшая возможная сумма, если на доске написано семь чисел В.

Заметим, что каждый раз, убирая любое число Ч и добавляя любое число В, мы уменьшаем сумму на число Если изначально (когда было 30 чисел Ч) последняя цифра их суммы была равна 0, то после восьми замен (убираем число Ч и добавляем число В) последняя цифра суммы будет как у числа По условию сумма должна быть равна 2786, следовательно, восемь чисел В на доске быть не может.

А вот для девяти чисел В на доске последняя цифра суммы всех чисел будет равна 6.

Докажем, что девять – наименьшее количество чисел В, которое может быть написано на доске.

Сейчас мы имеем семь чисел В: 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68.

и 23 числа Ч: 4, 14, 24, …, 214, 224.

Их сумма равна 2888.

Нам нужно получить сумму 2786, то есть уменьшить имеющуюся у нас сумму на 102. Как говорилось ранее, «каждый раз, убирая любое число Ч и добавляя любое число В, мы уменьшаем сумму на число ». Представим 102 как

Уберем число Ч и добавим число В так, чтобы сумма всех чисел уменьшилась на 46, а потом уберем число Ч и добавим число В так, чтобы сумма уменьшилась на 56.

Пример: убираем 124 и добавляем 78; убираем 144 и добавляем 88.

Таким образом, мы построили пример, когда на доске написано девять чисел В и доказали, что меньше девяти быть не может.

а) Пусть 5 человек писали только первую контрольную и получили за нее по 0 баллов, еще 5 человек писали только вторую контрольную и получили за нее по 0 баллов.

Пусть оставшиеся 18 человек писали обе контрольные, причем каждый получил за обе одинаковое количество баллов.

Составим таблицу:

 

Здесь «» значит, что человек не писал контрольную.

Для того, чтобы среднее арифметическое оценок за первую контрольную или за вторую контрольную было равно 15, нужно, чтобы

То есть надо найти такие 18 чисел, сумма которых равна Возьмем 15 чисел, равных 20, и 3 числа, равных 15:

Составим таблицу:

 

Видим, что среднее арифметическое лучших оценок всех учеников равно:

Замечание.

Мы получили дробь, у которой числитель такой же, как в среднем арифметическом для каждой контрольной, а вот знаменатель уже не 23, а 28.

б) Пусть — сумма максимальных баллов всех студентов. Предположим, что то есть

Заметим, что либо первую, либо вторую контрольную писало не менее 14 человек, так как если каждую контрольную писало менее 14 человек, то всего студентов менее 28. Можно считать, что не менее 14 человек писало первую контрольную.

Пусть — сумма баллов по первой контрольной, — количество человек, писавших эту контрольную. Тогда имеем:

Докажем, что

Действительно, возьмем произвольного студента. Если он писал только первую контрольную, то его балл будет участвовать и в и в Если он писал только вторую контрольную, то его балл будет участвовать в но не будет участвовать в Если он писал обе контрольные, то в будет участвовать его балл за первую контрольную, а в — его наибольший балл, то есть либо этот же балл, либо выше.

Таким образом, во-первых, слагаемых в будет больше, чем в часть из них будет совпадать со слагаемыми из а часть будет больше или равна. Что и требовалось доказать.

в) Пусть — сумма баллов тех, кто писал только первую контрольную, — кто писал только вторую контрольную, — сумма максимальных баллов среди 10-ти, писавших обе, — сумма минимальных баллов среди этих 10-ти. Тогда имеем:

Заметим, что среднее арифметическое всех оценок по всем контрольным также равно 15, только вот количество ВСЕХ оценок уже равно Следовательно,

Тогда имеем:

Заметим, что так как максимальная оценка за контрольную — 20 баллов, то Следовательно, Тогда имеем:

Приведем пример для Из получения оценки следует, что то есть 10 студентов, писавших обе контрольные, получили по 20 баллов за каждую. Тогда имеем:

Если взять то количество студентов, писавших только первую контрольную, равно

Тогда только вторую контрольную тоже должно писать 9 человек.

То есть мы пришли к тому, что нужно показать, что есть такие 9 натуральных чисел от 0 до 20, которые в сумме дают 85. Такой пример существует:

а) Очевидно, что в задуманном наборе должны быть числа 2, 3, 5. Для того, чтобы на доске появилось число 9, в наборе либо должна быть 9, либо еще одна 3.

Рассмотрим набор

Так как на доске должны быть записаны все попарные произведения, то на доске должно быть число Его там нет. Следовательно, этот набор невозможен.

Рассмотрим набор

Проверкой убеждаемся, что он подходит.

б) Очевидно, что в задуманном наборе должны быть числа 3, 5, 7. Для того, чтобы на доске была написана 9, нужно, чтобы в наборе была либо 9, либо еще одна 3.

Рассмотрим последнее написанное на доске число:

Заметим, что последнее записанное на доске число — это всегда произведение всех задуманных чисел.

Следовательно, либо этот набор точно содержит числа 3, 5, 7, 9, либо содержит 3, 3, 3, 5, 7.

Пусть в задуманном наборе как минимум есть числа 3, 3, 3, 5, 7. Тогда на доске должно быть записано число которого там нет. Следовательно, набор с такими числами точно не может быть задуман.

Пусть в задуманном наборе как минимум есть числа 3, 5, 7, 9. Проверим, подходит ли он. Тогда на доске, например, должно быть число А его там нет. Следовательно, набор не подходит.

в) Как уже говорилось в пункте б), наибольшее число на доске — это произведение всех задуманных чисел. Следовательно, — произведение всех чисел.

Таким образом, у нас возможны два следующих набора:

Если бы в наборе было какое-то число, отличное от 1, 2, 41 и 82, то оно было бы делителем 82. Но мы уже выяснили, что у 82 делители только 1, 2, 41, 82.

Обозначим сумму всех чисел последовательности через

а) Из условия задачи получаем:

Возьмем, например, Тогда Чтобы сумма была равна 10, возьмем Несложно видеть, что такой набор удовлетворяет условию.

б) Как и в пункте а), имеем условие на третье число даст:

Тогда разность первого и третьего членов последовательности равна

Такое невозможно, так как и по условию являются цифрами.

в) По условию имеем:

Так как и — цифры, то модуль разности не должен превышать 9:

Построим пример для Тогда третий член последовательности равен

Возьмем Тогда Чтобы сумма была равна 14, возьмем Несложно видеть, что такой набор удовлетворяет условию.