19.01 Задачи №19 из ЕГЭ прошлых лет

а) Покажем, как переместить ровно три камня из второй коробки в третью:

За 6 раз такими операциями мы можем переместить 18 камней из второй коробки в третью.

б) Рассмотрим разность чисел камней в третьей и первой коробках. Пусть в первой сейчас камней, в третьей камней. Тогда разность равна

Если мы переложим два камня в первую коробку, то разность будет равна

Если мы переложим два камня во вторую коробку, то разность будет равна

Если мы переложим два камня в третью коробку, то разность будет равна

Мы получили, что после любой операции разность либо изменяется на 3, либо остается прежней, то есть после любых операций разность должна измениться на число, кратное 3. Тогда если в третьей коробке после некоторых операций могли оказаться все камень, то в конце разность должна быть равна

Изначально разность была равна значит, она изменилась на Однако 205 не делится на 3, значит, в третьей коробке не мог оказаться 141 камень.

в) Аналогично предыдущему пункту мы можем доказать, что разность между любыми двумя коробками может измениться только на число, кратное 3.

Тогда посмотрим на изначальную разность между второй и первой коробками. Она равна По условию в первой коробке оказался 1 камень.

Найдем наименьшее количество камней, которое могло оказаться во второй коробке. Так как разность изменяется на число, кратное 3, то имеем:

Тогда в третьей коробке может быть не более камней.

Покажем, как можно добиться 138 камней ровно. Сначала научимся перемещать по 2 камня в третью коробку из каждой другой:

Заметим, что для того, чтобы можно было проделать такие операции, в первых двух коробках должно быть хотя бы 3 и 5 камней. Тогда мы можем делать такие операции, пока не дойдем до ситуации

Теперь будем перекладывать по 2 камня из второй коробки в третью:

Окончательно имеем:

а) Покажем, как переместить ровно четыре камня из третьей коробки в четвертую:

б) Рассмотрим разность чисел камней в четвертой и первой коробках. Пусть в первой сейчас камней, в четвертой камней. Тогда разность равна

Если мы переложим три камня в первую коробку, то разность будет равна

Если мы переложим три камня во вторую коробку, то разность будет равна

Если мы переложим три камня в третью коробку, то разность будет равна

Если мы переложим три камня в четвертую коробку, то разность будет равна

Мы получили, что после любой операции разность либо изменяется на 4, либо остается прежней, то есть после любых операций разность должна измениться на число, кратное 4. Тогда если в четвертой коробке после некоторых операций могли оказаться все камней, то в конце разность должна быть равна

Изначально разность была равна значит, она изменилась на Однако 487 не делится на 4, значит, в четвертой коробке не могли оказаться 366 камней.

в) Аналогично предыдущему пункту мы можем доказать, что разность между любыми двумя коробками может измениться только на число, кратное 4.

Тогда посмотрим на изначальную разность между второй и первой коробками. Она равна Разность между третьей и второй коробками равна Тогда если в первой коробке после всех операций не оказалось камней, то во второй и в третьей коробках лежит хотя бы по 1 и 2 камня соответственно, то есть в первых трех коробках есть хотя бы 3 камня.

Если в первой коробке 1 камень, то во второй коробке есть хотя бы 2 камня, то есть количество камней хотя бы 3.

Если в первой коробке 2 камня, то во второй коробке есть хотя бы 3 камня, то есть количество камней в первых трех коробках не меньше 5.

Если в первой коробке есть хотя бы 3 камня, то в первых трех коробках уже точно есть хотя бы 3 камня.

Значит, в четвертой коробке не больше 363 камней.

Покажем, как можно добиться 363 камней ровно. Переложим из третьей коробки 120 камней в четвертую с помощью операций из пункта а). Получим ситуацию

Теперь аналогично будем перекладывать по 4 камня из второй коробки в четвертую:

С помощью таких операций переложим 116 камней. Получим ситуацию

Теперь аналогично будем перекладывать по 4 камня из первой коробки в четвертую:

С помощью таких операций переложим 116 камней. Получим ситуацию

Окончательно имеем:

а) Да, полученная сумма могла равняться например, если числа были такими:

б) Число 126 кратно 9, значит, среди слагаемых была дробь со знаменателем 9. Знаменателя 0 быть не могло, значит, последние цифры чисел были равны 6, 7, 8 и 9. Тогда можем представить исходные числа так: и Значит,

Решим полученное уравнение:

Значит, полученная сумма не может равняться

в) Пусть последними цифрами исходных чисел были цифры 1, 2, 3 и 4. Тогда сумма будет равна

Числа и являются трехзначными по условию, значит, — не больше, чем двухзначное, то есть Тогда при достигается наибольшая сумма для рассматриваемых последних цифр, то есть

Если последние цифры были другими, то в них не было 1. Тогда каждое слагаемое не превосходило бы Значит, сумма была бы не более 2000.

а) Заметим, что все исходные числа отличаются только последней цифрой, так как по условию она не может быть равной 0 и нет перехода через десяток. Тогда пусть изначально даны числа

Здесь — цифра от 1 до 6. Тогда по условию имеем:

Заметим, что среди цифр и только одна может делиться на 5, то есть равняться 5. Тогда пусть

Следовательно, может быть кратно только или не делиться на 5 вовсе. Если делится на 5, то пусть Тогда имеем:

Число натуральное и не кратно 5, значит, Аналогично, если не делится на 5. Тогда число натуральное и не кратно 5, то есть

Значит, полученная сумма не может равняться 42,3.

б) Число 72 кратно 9, значит, среди слагаемых была дробь со знаменателем 9. Знаменателя 0 быть не могло, значит, последние цифры чисел были равны 6, 7, 8 и 9. Тогда можем представить исходные числа следующим образом:

Значит, получаем

Решим полученное уравнение:

Значит, полученная сумма не может равняться

в) Пусть последними цифрами исходных чисел были цифры 1, 2, 3 и 4. Тогда сумма будет равна

Числа и являются трехзначными по условию, значит, — не более чем двухзначное, то есть Заметим, что сумма должна быть целая, значит, делится на 6. Тогда то есть при достигается наибольшая сумма для рассматриваемых последних цифр:

Если последние цифры были другими, то в них не было 1. Тогда каждое слагаемое не превосходило бы Значит, сумма была бы не более 2000.

а) Да, полученная сумма могла равняться например, если числа были такими:

б) Пусть есть -значное число Пусть — его первая цифра. Тогда Значит, мы можем оценить

Наша сумма равна значит, среди исходных чисел нет четырехзначных, но обязательно есть трехзначные.

Также заметим, что знаменатель, равный 72, может появиться только тогда, когда в исходных числах есть те, которые начинаются на 8 и на 9. Тогда, так как числа последовательные, среди них обязательно должны быть числа 899 и 900. Значит, единственные возможные наборы это

Нетрудно проверить, что наибольшая сумма достигается в первом наборе. Тогда сумма не превосходит

в) Сначала рассмотрим вариант, когда у всех четырех чисел одинаковая первая цифра. Пусть она равна Тогда

Пусть у нас есть четыре последовательных числа: и Тогда

Заметим, что при такая сумма никогда не будет целой. Значит, если первые цифры всех четырех чисел одинаковые, Тогда сумма не больше, чем

Такая сумма достигается при то есть если даны числа 596, 597, 598 и 599.

Рассмотрим вариант, когда существуют два числа с различными первыми цифрами. Тогда обязательно есть число вида значит, его вклад в сумму составляет Вклад любого другого числа не превосходит

Тогда вся сумма не превосходит

Значит, наибольшее значение, которое может принимать такая сумма, равно 478.

а) Да, полученная сумма могла равняться 386, например, если были даны числа 109, 110, 111 и 112. Тогда

б) Если полученная сумма равна то хотя бы одно из чисел должны были поделить на 8. При этом число должно быть нечетным, так как в знаменателе должна остаться 8. Если существует такое число меньше 80, то оно заканчивается на 8, то есть является четным; число 80 также четно. Тогда наименьшее такое число равно 81 и сумма будет уже по крайней мере

Значит, полученная сумма не может равняться

в) Найдем четыре наибольших последовательных натуральных числа из промежутка в каждом из которых есть 1. Если 1 есть в каждом числе, то хотя бы в трех из них она должна стоять в втором разряде. Тогда наибольшие такие числа это 616, 617, 618 и 619. Значит, наибольшая сумма равна

Если хотя бы одно из четырех чисел мы будем делить на цифру, большую 1, то сумма не будет превосходить

Значит, наибольшее значение, которое может принимать такая сумма, равно 2470.

а) Попробуем построить пример. Пусть и Тогда условие выполняется.

Положим в третью кучку три камня самого минимального веса, то есть 100 г. Тогда

Во вторую кучку попробуем положить камни так, что бы их суммарный вес был равен 400 г. Для этого нам нужно взять два камня по 200 г, то есть

В третью кучку мы можем положить камень весом в 500 г. Тогда Таким образом, мы получили пример, удовлетворяющий условиям и

б) Попробуем построить пример. Пусть и Число подберем позже, пока будем считать, что оно достаточно большое. Суммарный вес камней в третьей кучке должен быть наименьшим, тогда можем положить в нее камня весом в 100 г. Таким образом, В остальные кучки также положим камни по 100 г. Тогда и

Теперь нужно заменить во второй кучке несколько камней так, чтобы стало больше Сейчас Максимальный возможный вес камня равен 105 г по условию. Тогда если во второй кучке заменим один камень весом в 100 г на камень весом в 105 г, разница уменьшится на 5. Сделаем такую операцию 21 раз. Тогда получим, что то есть

Сейчас и

Теперь нужно заменить в первой кучке несколько камней так, чтобы стало больше Сначала аналогично заменим 21 камень. Тогда значит, Аналогично заменим еще 21 камень в первой кучке, тогда

Значит, если возьмем то получим пример: в первой кучке 42 камня весом 105 г, во второй — 21 камень весом 105 г и 22 камня весом 100 г, в третьей — 44 камня весом 100 г. При этом г, г и г.

в) Заметим, что так как вес камней по условию не меньше 100 г. Если то в каждой кучке будут лежать только камни весом в 100 г, тогда и Так как при этом то Получили противоречие. Следовательно, Построим пример для аналогично предыдущему пункту.

Пусть и Число подберем позже, пока будем считать, что оно достаточно большое. Суммарный вес камней в третьей кучке должен быть наименьшим, тогда можем положить в нее камня весом в 100 г. Таким образом, В остальные кучки также положим камни по 100 г. Тогда и

Теперь нужно заменить во второй кучке несколько камней так, чтобы стало больше Сейчас Максимальный возможный вес камня равен г. Тогда если во второй кучке заменим один камень весом в 100 г на камень весом в 101 г, разница уменьшится на 1. Сделаем такую операцию 101 раз. Тогда получим, что то есть

Сейчас и

Теперь нужно заменить в первой кучке несколько камней так, чтобы стало больше Сначала аналогично заменим 101 камень. Тогда значит, Аналогично заменим еще 101 камень в первой кучке, тогда

Значит, если возьмем то получим пример: в первой кучке 202 камня весом 101 г, во второй — 101 камень весом 101 г и 102 камня весом 100 г, в третьей — 204 камня весом 100 г. При этом г, г и г.

а) Разложим 1105 на простые множители: Значит, возможны три пары чисел

Заметим, что первая пара подходит под условие:

б) В задаче нас просят проверить некоторые утверждения о произведении трёхзначного числа и его суммы цифр. Значит, нужно понять, какими свойствами обладает данное произведение и сами множители.

Так как — это сумма цифр трёхзначного числа, то

Ещё по признаку равноостаточности дает такой же остаток при делении на 3, что и число Если этот остаток равен 0, то остаток произведения тоже равен 0. Если же остаток при делении на 3 равен 1 или 2, то остаток произведения равен 1.

Значит, произведение не может иметь остаток 2 при делении на 3.

Число 1106 имеет остаток 2 при делении на 3, так как

Такое невозможно. Значит,

в) Число 1503 делится на 3, поэтому число 1504 имеет остаток 1 при делении на 3 и теоретически может быть равно 1504. Разложим 1504 на простые множители: Так как то возможны только четыре пары чисел Это пары

Во всех парах сумма цифр числа не равна числу Значит

Число 1505 имеет остаток 2 при делении на 3, поэтому

Число 1506 делится на 3. Но если какое-то из чисел и делится на 3, то второе тоже делится на 3. Значит, произведение кратно 9. Но 1506 не делится на 9, поэтому

Разложим 1507 на простые множители: Этот вариант подходит, так как Значит, наименьшее значение, которое может принимать выражение равно 1507.

Пусть дано трёхзначное число где а сумма его цифр равна

а) Если частное числа и его суммы цифр равно то

Так как и — цифры, то Значит, должно быть маленьким, ведь при уже При и равенство выполняется. Проверим число

б) Пусть возможно такое, что частное числа и его суммы цифр равно тогда

Оценим Так как то

Но так как — трёхзначное число, то и Получили противоречие, значит, частное числа и его суммы цифр не может равняться 6.

в) Если исходить из условия, то задача сводится к тому, что нужно найти максимум следующей дроби:

На первый взгляд кажется, что нужно просто потребовать и найти максимум выражения. Но все не так просто, так как в таком случае мы отбрасываем все варианты, где Поэтому построим сначала некоторую табличку для случаев, когда

Обратим внимание на несколько вещей.

• Внутри каждого столбца чем больше значение тем меньше значение дроби.
• Все числа, содержащиеся в столбцах для нам не подходят, так как при достигается значение 70, а при все значения

Таким образом, чтобы найти число, при котором достигается максимум (внутри данной таблицы), осталось проверить два первых столбца.

Данная таблица показывает, что в первых двух столбцах нет целых чисел Дальнейшая проверка не нужна, так как при увеличении числа уменьшаются.

Осталось проверить лишь случай, когда

• в данном случае получается
  
• в данном случае получается
  
• в данном случае получается

Дальнейшая проверка снова не нужна, так как при увеличении результат деления уменьшается. Таким образом, мы убедились, что нельзя получить в результате деления целое число, большее чем 70.

По признакам делимости на 3 и на 9 число и его сумма цифр имеют одинаковые остатки при делении на 3 и на 9 соответственно. Поэтому все три числа имеют одинаковые остатки при делении на 3, значит их сумма делится на 3, так как сумма их остатков делится на 3.

а) Число делится на , поэтому нужно попробовать найти пример. Для начала поймем, каким может быть первое число. Оно меньше , но является трёхзначным, иначе сумма трёх чисел не больше, чем

Тогда если первое число

то Второе число не больше но является двузначным, иначе третье число будет равно второму, а числа по условию различны.

Тогда если второе число

то Рассмотрим сумму трех чисел:

Пусть Тогда для суммы трех чисел имеем:

Так как то . Значит, Подходят и То есть

Проверим получившееся число:

Ответ: сумма трёх чисел может быть равна

б) Если три числа имеют одинаковые остатки при делении на 3, то их сумма равна

Это число кратно 3. Как было показано выше, числа из условия имеют одинаковые остатки при делении на 3, поэтому их сумма должна делиться на 3, но 419 не кратно 3, поэтому сумма трёх чисел не может быть равна 419.

Ответ: сумма трёх чисел не может быть равна 419.

в) Если последнее число равно 5, то первые два числа имеют остаток 5 при делении на 9, значит, первое число имеет вид . Так как первое число — трёхзначное, то

То есть всего существует 100 трёхзначных чисел, которые дают остаток 5 при делении на 9. Сумма цифр такого числа может равнятся 5, 14 и 23. Но второе число должно быть двузначным, иначе оно будет равно третьему числу. Значит, нам нужно найти количество трёхзначных чисел, сумма цифр которых равна 5, и вычесть их количество из 100, потому что они нам не подходят.

Переберем всевозможные варианты первой цифры. Она не меньше 1, но не больше 5.

Если первая цифра такого числа равна 5, то такое число одно — 500.

Если первая цифра равна 4, то есть два варианта: 401 и 410.

Если первая цифра равна 3, то есть три варианта: 302, 311 и 320.

Если первая цифра равна 2, то есть четыре варианта: 203, 212, 221 и 203.

Если первая цифра равна 1, то есть пять вариантов: 104, 113, 122, 131 и 140.

Всего мы получили трёхзначных чисел с суммой цифр 5. Они нам не подходят, поэтому троек чисел, подходящих под условие, всего

Пусть дано трёхзначное число Тогда , его сумма сумма цифр равна

а) Если частное числа и его суммы цифр равно то

Видно, что при и равенство выполняется. Проверим число

Ответ: да, может,

б) Пусть возможно такое, что частное числа и его суммы цифр равно тогда

Оценим Так как

Тогда либо и либо и Но ни 77, ни 86 не кратно 13, поэтому частное числа и его суммы цифр не может равняться

Ответ: нет, не может.

в) Пусть где — натуральное. Тогда

Так как — целое, то тоже целое. По условию не делится на 100. Это значит, что хотя бы одна из цифр и ненулевая, следовательно,

Нужно найти наименьшее целое значение . Для этого разберем все возможные случаи суммы Если в каком-то случае мы получим, что число не делится нацело на то это будет означать, что рассматриваемый вариант невозможен.

• Пусть Тогда и число не кратно

• Пусть

  • Если , то число не кратно
  • Если , то число не кратно

• Пусть

  • Если , то число не кратно
  • Если , то число не кратно
  • Если , то число не кратно

• Пусть

  • Если , то число не кратно
  • Если , то число не кратно
  • Если , то число не кратно
  • Если , то число не кратно

• Пусть

  • Если , то число не кратно
  • Если , то число не кратно

  • Если , то

    
  • Если , то число не кратно
  • Если , то число не кратно

• Пусть

  • Если , то число не кратно
  • Если , то число не кратно
  • Если , то число не кратно
  • Если , то число не кратно
  • Если , то число не кратно
  • Если , то число не кратно

• Пусть Тогда

  

  Первое неравенство верно, потому что у правой дроби числитель меньше либо равен числителя дроби слева (), а знаменатель больше либо равен знаменателя дроби слева (). Получили, что в этом случае, какие бы мы не брали и , мы всё равно получим

Получается, наименьшее возможное значение частного . Оно достигается при

а) Если число 686 является -ым членом геометрической прогрессии, первый член которой равен 128, а знаменатель равен то

Тогда если геометрическая прогрессия начинается со 128 и имеет знаменатель то её четвертое число равно 686.

б) Если число 496 является -ым членом геометрической прогрессии, первый член которой равен 128, а знаменатель равен то

Так как 31 — простое множитель, а числа в прогрессии целые, 496 может быть только вторым числом. Если это так, то и третье число равно

Но по условию прогрессия должна состоять хотя бы из трёх трёхзначных чисел. Противоречие. Значит, геометрическая прогрессия не может содержать число 496.

в) Если прогрессия состоит хотя бы из трёх чисел, то

Если наибольшее число прогрессии будет равно 128, поэтому

Так как числа в последовательности натуральные, то должно иметь вид При этом может являться только степенью двойки. Так как — натуральное, то Тогда Отсюда

При третье число равно — четырехзначное, не подходит.

При третье число равно

Если то третье число меньше 968. Значит, наибольшее возможное значение третьего числа последовательности равно 968. Тогда рассмотрим случай, когда последовательность состоит хотя бы из четырех чисел. Это значит, что

По аналогии с предыдущим разобранным случаем должно иметь вид Отсюда

При наибольший целый член прогрессии равен При наибольший целый член равен

При знаменатель прогрессии равен а сама прогрессия состоит из чисел

После числа 972 должно идти число 1458, но оно уже не является трехзначным, значит, наибольшее число, которое может являться членом прогрессии, равно 972.

Рассмотрим три подряд идущих числа последовательности. Пусть это числа и

По условию имеем

Значит, последовательность из разностей -го и -го чисел является строго убывающей последовательностью. То есть где Пусть — сумма последовательности разностей.

Заметим, что

По условию поэтому

а) Пусть второй член может быть отрицательным. Тогда первый член последовательности разностей равен

Так как последовательность разностей строго убывает, все её члены отрицательны. Значит, сумма всех ее членов тоже отрицательна. Но по доказанному ранее . Противоречие. Значит, второй член последовательности не может быть отрицательным.

б) Пусть второй член может равнятся 20. Так как — целые числа, из строгого неравенства следует нестрогое Тогда из следует

Значит, Но Противоречие. Второй член последовательности не может быть равен 20.

в) Из предыдущего пункта мы получили оценку на Так как по условию то Построим пример последовательности, в которой

Для этого должны выполняться равенства для для всех от 1 до 79. То есть последовательность разностей выглядит так: Тогда исходная последовательность: Она подходит под условие задачи и наименьшее значение второго члена равно 39.

Во всех трёх пунктах полученная сумма равняется 150, отличается лишь количество единиц. Понятно, что все слагаемые будут числами, состоящими из единиц, и все они не могут быть 1111 и больше, так как сумма в этом случае будет явно больше 150. То есть все слагаемые будут вида 1, 11 или 111. Заметим, что может быть максимум одно слагаемое 111, иначе сумма будет не менее 222, что больше 150.

а) Если слагаемое 111 в сумме есть, то осталось составить сумму из слагаемых 1 и 11. Но даже из единиц сделать это невозможно, ведь они в сумме дадут как минимум 57.

Значит, все слагаемые равны 1 или 11. Пусть слагаемых равны 11, тогда оставшиеся слагаемых равны 1. Можем составить уравнение:

Получили, что такое возможно, если взять 10 слагаемых по 11 и 40 слагаемых по 1.

б) Аналогично рассуждениям из пункта а) понимаем, что из единиц составить сумму 39 невозможно, значит, слагаемого 111 быть не могло. Пусть слагаемых равны 11, тогда слагаемых равны 1. Можем составить уравнение:

Данное уравнение имеет только нецелое решение, значит, быть не могло.

в) Если слагаемое 111 в сумме есть, то осталось составить сумму из слагаемых 1 и 11. Очевидно, что слагаемых, равных 11, будет не больше 3 (иначе сумма будет минимум 44). Тогда разберем 4 возможных случая и посчитаем чему равно то есть сколько единиц написано на доске при данном количестве слагаемых:

• 
• 
• 
• 

Если числа 111 в сумме нет, то все слагаемые равны 1 или 11. Пусть слагаемых равны 11, тогда слагаемых равны 1. Можем составить уравнение:

Нужно найти все возможные при условии, что — целое неотрицательное. Понятно, что иначе будет меньше 0.

Также нужно учитывать, что то есть

Таким образом, подходят все от 0 до 13. Подставим все возможные значения в уравнение и получим, что может быть равно одному из чисел

Добавляем возможные когда есть слагаемое 111. Из еще не перечисленных это значения 15 и 24.

а) Если сумма равна 173, то возможные по условию задачи слагаемые не могут быть больше 166, то есть варианты следующие:

Теперь нужно попробовать составить пример из приведенных выше вариантов, причем использовать каждое число можно максимум один раз. Методом проб и ошибок находим один из примеров

б) Если сумма равна 109, то варианты слагаемых следующие:

При этом использование бОльших чисел даст сумму больше нужной.

В сумме не могут одновременно участвовать числа 61 и 66, так как Даже если участвуют все числа, кроме одного из 61 и 66, то сумма получится меньше чем 109:

При этом если не использовать какие-то слагаемые, то сумма будет еще меньше. Значит, сумму 109 получить нельзя.

в) Если сумма равна 1021, то варианты слагаемых следующие:

При этом использование бОльших чисел даст сумму больше нужной.

Заметим, что все числа на доске имеют остаток 1 при делении на 5. Значит, остаток при делении на 5 суммы всех чисел на доске равен остатку их количества при делении на 5, так как каждое дает по единичке. Число 1021 дает остаток 1 при делении на 5, тогда количество слагаемых должно иметь вид

Одного слагаемого недостаточно, так как это было бы само число 1021, но оно не состоит только из цифр 1 и 6. А вот 6 слагаемых уже добиться возможно:

Заметим, что последняя цифра суммы чисел зависит только от последних цифр слагаемых. На доске записаны числа, которые оканчиваются на 4. Посмотрим, на какую цифру может оканчиваться их сумма. Для этого построим табличку:

Видно, что такая последовательность последних цифр сумм чисел, оканчивающихся на 4, циклична с периодом 5, так как сумма пяти таких чисел оканчивается на 0.

а) Нас просят узнать, может ли сумма таких чисел равняться 282. Она оканчивается на 2, поэтому количество слагаемых может быть равно 3, (можем свериться с табличкой) и так далее.

Попробуем построить пример для трех слагаемых. Наименьшие два числа, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4, это 24 и 54, тогда третье число равно

Получили три числа, удовлетворяющих условию задачи: 24, 54 и 204. Значит, ответ — может.

б) Согласно условию задачи, каждое слагаемое должно делиться на 3 и оканчиваться на 4. Рассмотрим все числа, которые подходят под условие. Составим из них возрастающую последовательность. Тогда разность любых двух соседних чисел этой последовательности делится на 10, так как все числа оканчиваются на 4. С другой стороны, она делится на 3, так как все числа делятся на 3. То есть делится на 30, так как числа 3 и 10 взаимно просты. Мы рассматриваем соседние числа последовательности, поэтому такая разность должна быть минимальна, значит, она равна 30. Первым числом последовательности будет 24, так как это минимальное натуральное число, которое оканчивается на 4 и делится на 3.

Нас просят узнать, может ли сумма таких чисел равняться 390. Она оканчивается на 0, поэтому количество слагаемых должно быть равно Рассмотрим сумму 5 наименьших чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4:

То есть наименьшая сумма, которую мы можем получить с 0 на конце, это 420, а по условию нужно Значит, сумма чисел не может равняться

в) В пункте б) мы получили, что все числа, делящиеся на 3 с четверкой на конце, образуют арифметическую прогрессию с разностью 30 и первым членом 24.

Нам требуется определить, какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2226. Если это так, то количество слагаемых имеет вид где — целое неотрицательное число. Так как мы хотим определить, какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске, то нам нужно рассматривать сумму первых членов полученной арифметической прогрессии. Так как эта сумма должна быть не больше 2226, мы получим оценку на

Вспомним формулу суммы первых членов арифметической прогрессии: если — первый член и — разность прогрессии, то

Значит, сумма первых членов нашей арифметической прогрессии равна

Заметим, что при получается следующее:

Значит, не больше единицы и слагаемых может быть максимум Осталось показать, что такая ситуация точно возможна, то есть предъявить пример.

Чтобы составить пример, достаточно взять 8 наименьших чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4, и девятое слагаемое, подходящее по сумме всех чисел, получим естественным образом:

То есть наибольшее количество чисел с суммой 2226 — это 9.

а) Начальная средняя масса гирек в граммах в первой кучке равна

Далее добавили гирьку массой г и средняя масса гирек должна увеличиться на 1 г. Тогда можем составить уравнение:

То есть единственный возможный вариант — это добавить гирьку массой 9 г в первую кучку. Но в наборе каждая гирька в единственном экземпляре и гирька с массой 9 г уже в первой кучке есть. Значит, ответ — не могла.

б) Пусть общий вес гирек в первой кучке изначально равен г и их средний вес до перекладывания равен 7,5 г. Тогда имеем:

При добавлении одной гирьки массой г средний вес должен увеличиться на 1 г. Тогда запишем уравнение:

Но г — вес гирьки, а — количество гирек, то есть оба числа целые и разность не может быть нецелым числом. Значит, ответ — не мог.

в) К гирькам общим весом г добавили гирьку массой г. Тогда составим уравнение:

Теперь заметим, что суммарный вес гирек не меньше, чем вес наименьших гирек (это гирьки 1 г, 2 г, …, г), то есть

Значит, их средний вес

Также заметим, что максимальный вес гирьки это 100 г, то есть Исходя из полученного выше уравнения, можем составить неравенство:

Значит, максимальное значение равно 65. Осталось показать, что такая ситуация точно возможна, то есть привести пример. Хотим получить следующее:

Если взять самые маленькие гири 1 г, 2 г, …, 65 г в изначальный набор первой кучки, то

Тогда Получили то есть в изначальный набор из 65 наименьших гирек нужно добавить гирю 99 г, и их средний вес увеличится на 1. Значит, ответ то есть в первой кучке изначально могло быть максимум 65 гирек.

а) Заметим, что если у нас на доске записано хотя бы две единицы, то на следующий день можно написать такой же набор с заменой двух единиц на одну тройку, тогда количество чисел уменьшится на 1, а сумма увеличится на 1 и все условия при этом выполняются. Значит, можно изначально написать 12 единиц и пять раз заменять две единицы на тройку, тем самым получим корректную последовательность наборов на 6 дней. Таким образом, может быть больше 5.

б) Построим пример для В первый день запишем число 2 и двенадцать чисел 3, во второй день — двенадцать чисел 4, в третий день — шесть чисел 4 и пять чисел 5, а в четвёртый день — десять чисел 5. Тогда сумма чисел в первый день равна 38, во второй — 48, в третий — 49, а в четвёртый — 50. Среднее арифметическое чисел, записанных в первый день равна

Среднее арифметическое всех записанных чисел равно

в) Так как сумма чисел, записанных в первый день, равна 6, то записано не более шести чисел. По условию в каждый следующий день количество чисел хотя бы на 1 меньше, а сумма хотя бы на 1 больше, чем в предыдущий.

• Если то в шестой день записано одно число. Но в шестой день сумма должна быть строго больше суммы первого дня, что невозможно, так как числа больше 5 использовать нельзя.
• Если то в пятый день записано максимум 2 числа с суммой не более 10. Тогда суммы в четвертый, третий и второй дни не более 9, 8, 7 соответственно, следовательно, сумма всех чисел не более
• Если то в четвертый день записано максимум 3 числа с суммой не более 15. Тогда суммы в третий и второй дни не более 14 и 13 соответственно, следовательно, есть сумма всех чисел не более
• Если то в третий день записано максимум 4 числа с суммой не более 20. Тогда сумма во второй день не более 19, следовательно, сумма всех чисел не более .
• Если то во второй день записано максимум 5 чисел с суммой не более 25, следовательно, сумма всех чисел не более
• Если то сумма всех чисел ровно 6.

Получили, что сумма чисел точно не превосходит 48. Приведем пример на основании рассуждений выше для суммы 48. Это возможно при тогда в четвертый день записаны 3 числа с суммой 15 — это 5, 5, 5; в третий день — 5, 5, 3, 1; во второй — 5, 5, 1, 1, 1; в первый — 1, 1, 1, 1, 1, 1. Общая сумма равна

Значит, наибольшая возможная сумма всех чисел при данных условиях равна 48.

Для начала заметим, что не могут двое мальчиков передать конфеты мальчикам, так как в этом случае у получивших конфеты мальчиков их будет одинаковое число. Также двое мальчиков не могут передать конфеты девочкам, так как у девочек разное число конфет, а получат они одинаковое, то есть одинаковым это число стать не может. Это значит, что нет трех подряд идущих мальчиков и двух переходов от мальчикам к девочкам. То есть все мальчики и все девочки стоят подряд (иначе появится хотя бы два мальчика, передающие конфеты девочкам), в частности это означает, что мальчиков максимум 2. Учитывая, что мальчиков по условию задачи хотя бы двое, получаем, что мальчиков ровно двое.

а) Пусть мальчиков может быть ровно столько же, сколько девочек. Мальчиков двое, значит, девочек тоже двое, и стоят они по кругу так: ММДД.

Попробуем составить пример. Изначально знаем, что количество конфет у каждого должно делиться на 4. Тогда пусть у мальчиков по 4 конфеты, у первой девочки , у второй девочки . После команды у первого мальчика стало , у второго осталось 4, у первой девочки , а у второй . Знаем, что у девочек стало одинаковое число конфет, тогда составим уравнение:

Теперь нужно так подобрать разные и , чтобы они были целые и кратны 4. Чтобы получилось целым, должно делиться на 3. Следовательно, вида и кратно 4, то есть вида . Если , то — не подходит. Если , то .

Проверим: изначально по кругу были числа 4, 4, 16, 12; стало соответственно 6, 4, 13, 13 — все условия задачи выполнены.

Значит, да, мальчиков может быть ровно столько же, сколько девочек. Тогда у мальчиков по 4 конфеты, у первой девочки справа от мальчиков 16 конфет, у второй 12.

б) Как уже поняли в самом начале — мальчиков ровно два, при этом по условию девочек хотя бы две, значит, мальчиков не может быть больше, чем девочек.

в) По рассуждениям выше можем сделать вывод, что мальчиков два, тогда девочек четыре, а стоять они могут только в таком порядке: ММДДДД.

Пусть изначально у мальчиков по конфет, а у девочек, если пойти направо, конфет. Тогда после команды количество конфет у мальчиков стало равно и , а у девочек в том же порядке — , , и .

Значит, и .

Посчитаем общую сумму конфет :

То есть, если у детей суммарно 328 конфет, то .

Все числа в задаче натуральные, поэтому, чтобы равенство выполнялось, должно делиться на 10. Следовательно, последняя цифра должна быть 6. Для этого нужно рассмотреть все возможные последние цифры — это цифры от 0 до 9, далее их умножить на 7 и посмотреть какие последние цифры могут получиться в результате. После того как перемножили все, понимаем, что единственный вариант, когда последняя цифра получается 6 это , значит, имеет вид . Также нужно не забывать, что все кратны 4, иначе дети не смогут передать соседу четверть своих конфет. Значит, имеет вид .

Теперь нужно проверить чему может быть равен , чтобы все условия задачи были выполнены.

Если , то , но 15 не делится на 4, то есть этот вариант не подходит.

Если , то — пока условие задачи выполняется, поэтому посчитаем , , (выше мы уже научились их выражать через и ). , , .

Проверим: изначально по кругу были числа 112, 112, 4, 40, 28, 32; стало соответственно 92, 112, 31, 31, 31, 31 — все условия задачи выполнены, значит, 328 конфет могло быть.

а) Допустим, что какая-то девочка набрала меньше грибов, чем какой-нибудь мальчик. Пусть первая девочка набрала грибов, а первый мальчик — грибов, тогда . Также мы знаем, что любые пять мальчиков набрали больше грибов, чем любые три девочки, то есть верно следующее: . Сложим два неравенства и получим: .

Но еще нам известно, что любые две девочки набрали больше грибов, чем любые три мальчика. Значит, можем составить два неравенства: и . Сложим их: . Получили, что неравенство из первого абзаца решения противоречит условию задачи, значит, не могло так случиться, что какая-то девочка набрала меньше грибов, чем какой-нибудь мальчик.

б) Пусть у всех мальчиков будет грибов (где — номер мальчика, а — что-то очень маленькое относительно ), а у девочек будет (где — номер девочки, а — что-то пренебрежительно маленькое относительно ). Даем столько грибов, потому что получатся как раз верные равенства: и . Первое неравенство верно, так как можно сократить на и слева останется положительное число, а справа отрицательное. Второе неравенство верно, потому что можно сократить на и получим — верно, так как и пренебрежительно мало относительно .

Под рассуждения выше подходит . У мальчиков: 1000, , , ; у девочек: 1500, , , , .

в) Упорядочим количество грибов у мальчиков и у девочек . Из условия можно составить неравенства:

x8 + x9 + x10 < y1 + y2 ⇔ x8 + x9 + x10 + 1 ≤ y1 + y2

Аналогично:

y7 + y6 + y5 + 1 ≤ x1 + x2 + x3 + x4 + x5

Также , так как с обеих сторон неравенства по 6 слагаемых и каждое слева не больше каждого справа. Отсюда получаем:

3 ⋅ (x8 + x9 + x10 + 1) + 2 ≤ 3 ⋅ (y1 + y2) + 2 ≤ 2 ⋅ (y7 + y6 + y5 + 1) ≤ 2 ⋅ (x1 + x2 + x3 + x4 + x5)

Теперь имеем: .

Также , так как каждое слагаемое слева не больше каждого слагаемого справа.

Сложим два последних неравенства и получим: . Значит у каждого мальчика минимум 5 грибов.

Аналогичным образом хотим получить минимум грибов у каждой девочки.

, так как с обеих сторон неравенства по 15 слагаемых и каждое слева не больше каждого справа. А также . Тогда можем составить цепочку неравенств:

3 ⋅ (y7 + y6 + y5 + 1) + 5 ≤ 3 ⋅ (x1 + x2 + x3 + x4 + x5) + 5 ≤ 5 ⋅ (x8 + x9 + x10 + 1) ≤ 5 ⋅ (y1 + y2)

Теперь имеем: .

Также , так как каждое слагаемое слева не больше каждого слагаемого справа.

Сложим два последних неравенства и получим: . Значит у каждой девочки минимум 8 грибов.

Если у каждой девочки будет по 8 грибов, а у каждого мальчика по 5 (это как раз минимум количества грибов), то условие задачи выполняется, так как и .

Значит, минимальное возможное количество грибов, собранное всеми детьми суммарно .