Тема Линал и алгебра.

10 СЛУ и матрицы. Метод Гаусса.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела линал и алгебра.

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#36011

Решить методом Гаусса систему уравнений:

({ 2x1+ 3x2 =6 (− 20x1+ 3x2 = 11

Показать ответ и решение

Поступим так, как и требуется от нас, согласно алгоритму метода Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы $( 2 3 6) ˆA= − 20 3 11 .$

Далее, мы хотим привести её к ступенчатому виду при помощи наших элементарных преобразований (сокращённо Э.П.) Напомним, что:

Э.П. 1. Поменять местами какие-то две строки матрицы.

Э.П. 2. Умножить какую-то строку на ненулевое число.

Э.П. 3. Прибавить к одной из строк другую строку, умноженный на какое-то число.

Итак, нам нужно занулить только коэффициент под двойкой в левом верхнем углу, то есть только $− 20.$ Сделать это очень просто при помощи Э.П. 3.
Добавим ко второй строке первую, умноженную на $10.$ Тогда получится вот такая матрица системы: $(2 3 6) Aˆ= 0 33 71 .$ Тогда, из последней строчки матрицы сразу же немедленно следует, что $33x2 = 71.$ Откуда мы получаем, что $x2 = 71. 33$ Осталось лишь подставить это $x2$ в первое уравнение системы: $2x1+ 3x2 = 6.$ Значит, подставляя $x2$ получаем, что $2x1+3 ⋅ 71-=6; 33$
$x1 = 6− 7111 =− 5. 2 22$

Ответ: $(x1) x2$ = $(− 522) 7313$

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#36012

Решить методом Гаусса систему уравнений:

(| ||{ −9x1+ 6x2+ 7x3+ 10x4 = 3 || −6x1+ 4x2+ 2x3+ 3x4 =2 |( −3x1+ 2x2− 11x3− 15x4 = 1

Показать ответ и решение

Здесь мы сталкиваемся с несколько необычным случаем. У нас уравнений получилось меньше, чем неизвестных. Это означает, что либо наша система имеет бесконечно много решений, либо не имеет ни одного. Но давайте не забегать вперёд. Мы и так это поймём, если попробуем решить её методом Гаусса, как и раньше.

Запишем расширенную матрицу системы $(− 9 6 7 10 3) ˆA= |(− 6 4 2 3 2|) . − 3 2 −11 −15 1$

Далее, нам нужно привести её к ступенчатому виду. Сначала умножим первую строку на 2, вторую на 3, а третью на 6. (Так мы добьемся, что в первом столбце все коэффициенты станут равны $− 18,$ а это значит, что нам будет удобно все под левым верхним элементом обнулить!). То есть мы считайте что три раза применили Э.П. 2.

$( ) |−18 12 14 20 6| (−18 12 6 9 6). −18 12 − 66 −90 6$ Далее, мы вычитаем первую строчку из второй и из третьей, то есть дважды применяем Э.П.2. Получается вот такая матрица: $( ) − 18 12 14 20 6 |( 0 0 −8 −11 0|) . 0 0 −80 − 110 0$ Осталось лишь вторую строку умножить на 10: $(− 18 12 14 20 6) |( 0 0 −80 − 110 0|). 0 0 −80 − 110 0$ И далее вычесть вторую строку из третьей: $( −18 12 14 20 6) |( 0 0 −80 −110 0|) . 0 0 0 0 0$ Последняя строчка у нас занулилась, то есть на неё мы вообще не будем обращать внимания. Во второй строчке у нас написано, что $− 80x3− 110x4 = 0,$ или, что то же самое, $x3 = − 11x4. 8$ Значит, мы берём $x3$ за главную, или базисную, переменную, а $x4$ будет у нас свободной переменной.

Подставляем $x3 =− 11x4. 8$ в первое уравнение и получаем, что $− 18x1+ 12x2− 11⋅14x4 +20x4 = 6. 8$
То есть, $x = 2x + 1x − 1. 1 3 2 24 4 3$

Таким образом,
Ответ: $(x) x1 3$ = $(2x + -1x − 1) 3 2 −2 141x4 3 , 8 4$ где $x2$ и $x4$ - любые вещественные числа. Таким образом, поскольку $x2$ и $x4$ мы можем брать любыми, у нас получилось бесконечно много решений.

Наши формулы $x =− 11x 3 8 4$ и $x = 2x + -1x − 1 1 3 2 24 4 3$ описывают зависимость между главными переменными $x 1$ и $x 3$ и свободными переменными $x 2$ и $x . 4$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#36013

Решить методом Гаусса систему уравнений:

(| ||{−9x1+ 10x2 +3x3+ 7x4 =7 ||−4x1+ 7x2+x3 +3x4 = 5 |(7x1+ 5x2 − 4x3− 6x4 =3

Показать ответ и решение

Запишем расширенную матрицу системы

(− 9 10 3 7 7) ˆA= |− 4 7 1 3 5| ( ) 7 5 −4 −6 3

Сначала умножим первую строку на 4, а вторую на на 9. То есть мы что два раза применили Э.П. II.:

(−36 40 12 28 28) |(−36 63 9 27 45|) 7 5 − 4 − 6 3

Поменяем немного порядок строк для удобства (это несколько раз применённое Э.П. I.):

(−36 63 9 27 45) |( 7 5 − 4 − 6 3|) −36 40 12 28 28

Теперь отнимаем из третьей строки первую (то есть прибавляем к третьей строке первую с коэффициентом $λ= −1$ ):

( −36 63 9 27 45) |( 7 5 − 4 − 6 3 |) 0 −23 3 1 − 17

Поделим обратно первую строчку на 9 (то есть умножим её на $19$ при помощи Э.П. II), чтобы числа не были такими большими:

(−4 7 1 3 5 ) |( 7 5 −4 −6 3 |) 0 −23 3 1 −17

Далее, умножим первую строку на 7, вторую строку на 4:

(−28 49 7 21 35 ) |( 28 20 − 16 − 24 12 |) 0 −23 3 1 −17

и прибавим ко второй строчке первую:

( ) −28 49 7 21 35 |( 0 69 − 9 − 3 47|) 0 −23 3 1 − 17

Умножим теперь третью строчку на $3$

( ) −28 49 7 21 35 |( 0 69 − 9 − 3 47|) 0 −69 9 3 − 51

И прибавим вторую строчку к третьей:

( ) | −28 49 7 21 35| ( 0 69 −9 −3 47) 0 0 0 0 −4

Обратим теперь внимание на то, что последнее уравнение получилось противоречиво, ведь оно говорит, что:

0x1+0x2+ 0x3+0x4 = −4

Конечно, таких $x, 1$ $x , 2$ $x , 3$ $x 4$ подобрать просто нельзя. Поэтому система несовместна - она не имеет решений.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#36068

Перемножить матрицы: $(1 n) 0 1$ $⋅$ $(1 m ) 0 1$

Показать ответ и решение

По формуле произведения матриц получается, что $(1 n) 0 1$ $⋅$ $(1 m ) (1 m + n) 0 1 = 0 1$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#36069

Верно ли, что:
a) сумма
b) произведение
матриц не зависит от порядка, то есть
a) $A +B = B+ A$ для любых матриц $A$ и $B,$ для которых вообще возможно сложение и
b) $A ⋅B = B ⋅A$ для любых матриц $A$ и $B,$ для которых вообще возможно умножение?

Показать ответ и решение

a) Это свойство очевидно выполнено для всех матриц, для которых вообще возможно сложение (то есть для матриц одинакового размера). Просто вспомните определение - матрицы складываются покомпонентно. То, что сложение матриц не зависит от их порядка, следует из того, что с обычными числами работает такое же правило: например, $2+3 =3+ 2.$

b) Здесь ответ будет $”$ нет $”$ сразу по двум причинам.

Во-первых, произведение матриц не всегда определено.

То есть, допустим, в то время как произведение $( ) (1 0 0 0 ) | 5 6| |(0 −1 2 0 |) ⋅||| 7 8||| 0 3 0 −4 ( 9 10) 11 12$ в таком порядке определено

Но если я мы их обменяем местами, то получится вот такое "произведение": $(5 6) ||7 8|| ||(9 10||) 11 12$ $⋅$ $(1 0 0 0) |(0 −1 2 0|) . 0 3 0 − 4$

Это произведение уже очевидно не определено. Ведь произведение $A⋅B$ матрицы $A$ размера $m × n$ на матрицу $B$ размера $p×q$ определено только в том случае, когда $n =p.$ То есть, количество столбцов матрицы, идущей первой в произведении. У нас же количество столбцов первой матрицы - это 2, а количество строк второй матрицы равно 3. Перемножить их так просто-напросто не получится.

Во-вторых, даже если произведение матриц $A$ и $B$ определено в обоих порядках, то есть можно посчитать и $AB$ и $BA$ , то эти два произведения вовсе не обязательно должны получиться одинаковыми.

К примеру, давайте возьмём $( ) A = 0 1 0 1$ и в качестве $B$ возьмём $( ) B = 2 4 0 0$

Тогда, опять же таки по формуле произведения матриц, имеем: $(0 1) (2 4) (0 0) A⋅B = 0 1 ⋅ 0 0 = 0 0$

Но если мы захотим перемножить их в другом порядке, то тогда получится матрица: $( ) ( ) ( ) B ⋅A= 2 4 ⋅ 0 1 = 0 6 . 0 0 0 1 0 0$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#36070

Перемножить матрицы: $(cosα − sinα) (cosβ − sinβ) sinα cosα ⋅ sinβ cosβ$

Показать ответ и решение

По формуле умножения матриц, имеем: $(cosα − sinα) (cosβ − sinβ) sin α cosα ⋅ sin β cosβ =$
$(cosαcosβ− sinαsin β − cosαsinβ− sinα cosβ) (cos(α+ β) − sin(α +β)) = sinαcosβ+ cosαsin β − sinα sinβ+ cosα cosβ = sin(α +β) cos(α+ β)$

(В конце мы воспользовались формулами синуса и косинуса суммы углов).

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#36071

Перемножить матрицы: $( ) 1 5 3 2 −3 1$ $⋅$ $( 2 − 3 5) |(− 1 4 − 2|) 3 − 1 1$

Показать ответ и решение

Здесь всё делается стандартно по формуле умножения матриц. На выходе мы получим матрицу размера $2×3.$ Вот вам ответ, чтобы было, с чем сверять собственные вычисления:

$( ) 6 14 −2 10 − 19 17$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#44602

Найти ФСР ОСЛУ $Ax = 0,$ заданной $( ) | 1 1 0 − 3 − 1| || 0 − 2 2 2 1 || A = | | |( 0 − 6 6 15 0 |) 0 2 − 2 10 − 5$

Показать ответ и решение

Присоединенную матрицу выписывать нет никакого смысла, поскольку система однородная и незачем приписывать столбец нулей.

Далее, приводим нашу матрицу $A$ методом Гаусса к ступенчатому виду и получаем следующую матрицу:

( ) | 1 1 0 − 6 0 | || 0 − 2 2 5 0 || || 0 0 0 3 − 1|| ( ) 0 0 0 0 0

Это означает, что

( || x1 + x2 − 6x4 = 0 |{ | − 2x2 + 2x3 + 5x4 = 0 ||( 3x4 − x5 = 0

или, выражая главные переменные через независимые:

( |||{ x1 = − x2 + 2x5 5 || x3 = x2 − 6x5 |( x = 1x 4 3 5

Далее, базис пространства решений, т.е. ФСР нашей ОСЛУ в данном случае будет состоять из двух векторов (по числу независимых переменных в общем решении). Cоставляется он так: в формулы для общего решения мы поочередно подставляем вместо каждой независимой переменной $1,$ а вместо всех остальных независимых переменных $0.$ И вычисляем, чему равны $x ,x ,...,x 1 2 5$

Таким образом

5 1 {v1 = (− 1,1,1,0,0),v2 = (2,0,− 6, 3,1)}− Ф СР О СЛ У Ax = 0

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#63938

Решить систему уравнений:
1. По формулам Крамера;
2. Матричным методом.

( || 6x1 + 6x2 − x3 = 16 |{ | 5x1 + 5x2 − 8x3 = 80 . ||( 4x1 + 3x2 + 9x3 = 90

(1)

Показать ответ и решение

1.Сначала решим систему, используя формулы Крамера:

$( ) 6 6 − 1 | | det|( 5 5 − 8|) = − 43 4 3 9$
$( ) 16 6 − 1 det|| 80 5 − 8|| = − 7326 ( ) 90 3 9$
$( ) 6 16 − 1 | | det|( 5 80 − 8|) = 7278 4 90 9$
$( ) 6 6 16 det|| 5 5 80|| = 400 ( ) 4 3 90$

$7326 7278 400 x1 = 43-,x2 = − -43-,x3 = − 43-$

2.Теперь матричным методом (через обратную матрицу):

$( ) ( ) 6 6 − 1 16 || || || || A = ( 5 5 − 8) ,B = ( 80) 4 3 9 90$
$( 69 57 ) | −43 43 1| A −1 = |( 7743- − 5483 − 1|) 5- 6- 43 − 43 0$
$( ) 734263- − 1 || 7278|| X = A B = ( − 43 ) − 40430$

Произведем проверку:
$7326 7278 400 6x1 + 6x2 − x3 = 6⋅ 43 − 6 ⋅ 43 + 43 = 16$
$5x1 + 5x2 − 8x3 = 5⋅ 734236− 5 ⋅ 724738+ 840403 = 80$
$7326 7278 400 4x1 + 3x2 + 9x3 = 4⋅ 43 − 3 ⋅ 43 − 9 43 = 90$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#65732

Решить систему матричных уравнений $( {XA1 = C1 ( A2X + B2Y = C2$ и найти матрицу $− 1 B2$
$( ) ( ) − 1 2 2 − 4 − 12 32 12 − 18 | | | | A1 = |( 2 − 6 0 2 |) ,C1 = |( − 1 2 0 − 7 |) − 3 8 4 − 3 0 − 2 6 − 3$
$( ) ( ) ( ) |− 1 − 3 − 2| | 1 − 2 3 3 | | − 13 − 9 2 | |− 2 − 1 − 1| | − 1 3 − 2 − 4| | 1 11 − 6| A2 = || || ,B2 = || || ,C2 = || || |(− 2 − 3 − 2|) |( 2 − 1 10 5 |) |( − 5 − 29 9 |) 3 3 3 1 − 1 7 9 9 − 35 20$

Показать ответ и решение

Запишем первое уравнение системы, задав матрицу $X$ :

( ) ( ) ( ) | x11 x12 x13| | − 1 2 2 − 4| |− 12 32 12 − 18| |( x21 x22 x23|) ⋅|( 2 − 6 0 2 |) = |( − 1 2 0 − 7|) x31 x32 x33 − 3 8 4 − 3 0 − 2 6 − 3

Составим систему уравнений для первой строки матрицы $C1$ :

$(| |||− x11 + 2x12 − 3x13 = − 12 |||{ 2x11 − 6x12 + 8x13 = 32 ||2x + 4x = 12 |||| 11 13 |(− 4x11 + 2x12 − 3x13 = − 18$

Решим ее. $x11 = 2,x12 = − 2,x13 = 2$
Аналогично составим систему уравнений для второй строки матрицы $X$ :

$( || |||− x21 + 2x22 − 3x23 = − 1 ||{2x − 6x + 8x = 2 21 22 23 |||2x21 + 4x23 = 0 |||| (− 4x21 + 2x22 − 3x23 = − 7$

$x21 = 2,x22 = − 1,x23 = − 1$ . Составим систему уравнений для третьей строки матрицы $X$ :

$( |||− x31 + 2x32 − 3x33 = 0 ||| |{2x31 − 6x32 + 8x33 = − 2 | |||2x31 + 4x33 = 6 |||( − 4x31 + 2x32 − 3x33 = − 3$

$x31 = 1,x32 = 2,x33 = 1$
Мы получили матрицу $X$ :

( ) 2 − 2 2 || || X = ( 2 − 1 − 1) 1 2 1

Подставим её во второе уравнение системы:

A X + B Y = C 2 2 2

( ) ( ) ( ) − 1 − 3 − 2 ( ) 1 − 2 3 3 − 13 − 9 2 || || 2 − 2 2 || || || || || − 2 − 1 − 1|| ⋅|| 2 − 1 − 1|| + || − 1 3 − 2 − 4|| ⋅Y = || 1 11 − 6 || | − 2 − 3 − 2| ( ) | 2 − 1 10 5 | | − 5 − 29 9 | ( ) 1 2 1 ( ) ( ) 3 3 3 1 − 1 7 9 9 − 35 20

( ) ( ) ( ) − 10 1 − 1 1 − 2 3 3 − 13 − 9 2 || || || || || || || − 7 3 − 4|| + ||− 1 3 − 2 − 4|| ⋅Y = || 1 11 − 6|| |− 12 3 − 3| | 2 − 1 10 5 | | − 5 − 29 9| ( ) ( ) ( ) 15 − 3 6 1 − 1 7 9 9 − 35 20

( ) ( ) | 1 − 2 3 3 | |− 3 − 10 3 | ||− 1 3 − 2 − 4|| || 8 8 − 2|| | | ⋅Y = | | |( 2 − 1 10 5 |) |( 7 − 32 12|) 1 − 1 7 9 − 6 − 32 14

Получившуюся систему решим стандартным способом через обратную матрицу:

( ) 145 89 − 32 9 || || B −1= | 45 28 − 10 3 | 2 ||− 31 − 19 7 − 2|| ( ) 13 8 − 3 1

( ) ( ) ( ) 145 89 − 32 9 − 3 − 10 3 − 1 − 2 − 1 || || || || || || Y = || 45 28 − 10 3 || ⋅|| 8 8 − 2|| = || 1 − 2 1 || | − 31 − 19 7 − 2| | 7 − 32 12 | | 2 − 2 1 | ( ) ( ) ( ) 13 8 − 3 1 − 6 − 32 14 − 2 − 2 1

Произведем проверку, подставив найденные матрицы $X$ и $Y$ в исходную систему уравнений:

( ) ( ) ( ) 2 − 2 2 − 1 2 2 − 4 − 12 32 12 − 18 || || || || || || ( 2 − 1 − 1) ⋅( 2 − 6 0 2 ) = ( − 1 2 0 − 7) 1 2 1 − 3 8 4 − 3 0 − 2 6 − 3

( ) ( ) ( ) ( ) − 1 − 3 − 2 ( ) 1 − 2 3 3 − 1 − 2 − 1 − 13 − 9 2 || || 2 − 2 2 || || || || || || ||− 2 − 1 − 1|| ⋅ ||2 − 1 − 1 || + || − 1 3 − 2 − 4|| ⋅|| 1 − 2 1 || = || 1 11 − 6|| |(− 2 − 3 − 2|) ( ) |( 2 − 1 10 5 |) |( 2 − 2 1 |) |( − 5 − 29 9|) 1 2 1 3 3 3 1 − 1 7 9 − 2 − 2 1 9 − 35 20

Система решена верно.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#65756

Решить матричные уравнения

⌊ ⌋ ⌊ ⌋ |1 2 − 3| | 1 − 3 0| a)|⌈3 2 − 4|⌉ X = |⌈10 2 7|⌉ 2 − 1 0 10 7 8

⌊ ⌋ ⌊ ⌋ | 5 3 1 | |− 8 3 0| b) X |⌈ 1 − 3 − 2|⌉ = |⌈− 5 9 0|⌉ − 5 2 1 − 2 15 0

Показать ответ и решение

⌊ ⌋ −1 ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ |1 2 − 3| | 1 − 3 0| | − 4 3 − 2| | 1 − 3 0| |6 4 5| X = |3 2 − 4| ⋅| 10 2 7| = | − 8 6 − 5| ⋅|10 2 7| = |2 1 2| ⌈ ⌉ ⌈ ⌉ ⌈ ⌉ ⌈ ⌉ ⌈ ⌉ 2 − 1 0 10 7 8 − 7 5 − 4 10 7 8 3 3 3

⌊ ⌋ ⌊ ⌋− 1 ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ |− 8 3 0| | 5 3 1 | | − 8 3 0| | 1 − 1 − 3 | |1 2 3| X = |− 5 9 0| ⋅| 1 − 3 − 2| = | − 5 9 0| ⋅ 1-| 9 10 11 | = |4 5 6| ⌈ ⌉ ⌈ ⌉ ⌈ ⌉ 19⌈ ⌉ ⌈ ⌉ − 2 15 0 − 5 2 1 − 2 15 0 − 13 − 25 − 17 7 8 9

Ответ:

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#65996

a) Найти многочлен $f(x)$ третьей степени, для которого:

f (− 2) = 1, f (− 1) = 3, f(1) = 13, f(2) = 33

b) Найти многочлен $f (x )$ четвертой степени, для которого:

f (− 3) = − 77,f (− 2) = − 13,f (− 1) = 1,f(1) = − 1,f(2) = − 17

Показать ответ и решение

a) Пусть искомый многочлен имеет вид $f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d$ . Тогда из условия можно составить следующую систему из четырех уравнений:

( ||| − 8a + 4b− 2c + d = 1 |||| { − a + b− c + d = 3 | ||| a+ b + c+ d = 13 |||( 8a+ 4b + 2c+ d = 33

Решением этой системы будет $a = 1,b = 3,c = 4,d = 5$ . Значит, искомый многочлен:

x3 + 3x2 + 4x + 5

b) Сделаем то же самое для многочлена четвертой степени. Он имеет вид $ax4 + bx3 + cx2 + dx + e$ . Составим систему:

( |||| 81a− 27b + 9c− 3d + e = − 77 |||| ||{ 16a− 8b + 4c− 2d + e = − 13 a− b + c− d + e = 1 || |||| a+ b + c+ d + e = − 1 |||| ( 16a+ 8b + 4c+ 2d + e = − 17

Решением этой системы будет $a = − 1,b = 0,c = 0,d = − 1,e = 1$ . Искомый многочлен:

− x4 − x+ 1

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#66166

Составить параметрические уравнения плоскости

( { 7x1 + 9x2 − 3x3 + 11x4 + 6x5 = 9 ( 3x1 + 3x2 − x3 + 3x4 + 2x5 = − 3

Показать ответ и решение

Найдем общее решение системы уравнений с матрицей

( | ) 7 9 − 3 11 6 | 9 3 3 − 1 3 2 | − 3

Домножим вторую строку на $7$ и вычтем из нее первую строку, умноженную на $3$ , получим эквивалентную систему:

( | ) 7 9 − 3 11 6 | 9 0 − 6 2 − 12 − 4 | − 48

Частное решение неоднородного уравнения – вектор $1 (− 5,− 3,1,4,1)$ . Найдем общее решение однородной системы, заодно разделив вторую строку на $2$ :

| ( | ) 7 9 − 3 11 6 |0 0 − 3 1 − 6 − 2 |0

Для удобства прибавим к первой строке вторую, умноженную на $3$ :

( | ) 7 0 0 − 7 0 | 0 | 0 − 3 1 − 6 − 2 | 0

Тогда общее решение однородной системы имеет вид

( ) ( ) ( ) ( ) | x1| | 0| | 1| | 0 | || x2|| || 13|| || − 2|| || − 23|| | | | | | | | | || x3|| = a|| 1|| + b|| 0|| + c|| 0 || |( x4|) |( 0|) |( 1|) |( 0 |) x5 0 0 1

Общее решение неоднородной системы (совпадающее с требуемым параметрическим заданием плоскости):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x1 − 5 0 1 0 || || || 1|| || 1|| || || || 2|| || x2|| || − 3|| || 3|| || − 2|| ||− 3|| | x3| = | 1 | + a | 1| + b| 0 | + c | 0 | || x || || 4 || || 0|| || 1 || || 0 || ( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) x5 1 0 0 1

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#69843

Убедиться в справедливости теоремы Кронекера-Капелли, а также в том, что количество главных неизвестных равно рангу, решив систему, а также вычислив ранги матрицы и расширенной матрицы системы

( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 | x1| 7 || || || x2|| || || || 3 2 1 1 − 3 || || x || = || − 2|| | 0 1 2 2 6 | | 3| | 23 | ( ) |( x4|) ( ) 5 4 3 3 − 1 x 12 5

Показать ответ и решение

1. Найдем ранг матрицы $( ) | 1 1 1 1 1 | || 3 2 1 1 − 3|| A = | | |( 0 1 2 2 6 |) 5 4 3 3 − 1$ .
Пойдем, например, методом окаймляющих миноров. Очевидно, что $rkA ≥ 1$ . Далее, возьмем левый верхний минор $( ) det 1 1 = 2− 3 = − 1 ⁄= 0 3 2$ . Следовательно, ранг нашей матрицы больше либо равен двум.

Далее, давайте посчитаем миноры порядка три, содержащие минор $( ) det 1 1 3 2$ .

( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 det|| 3 2 1|| = 0 det|| 3 2 1|| = 0 det|| 3 2 1|| = 0 ( ) ( ) ( ) 0 1 2 5 4 3 0 1 2

( ) ( ) ( ) |1 1 1 | | 1 1 1 | | 1 1 1| det |3 2 − 3| = 0 det| 3 2 − 3| = 0 det| 3 2 1| = 0 ( ) ( ) ( ) 0 1 6 5 4 − 1 5 4 3

(Это нормально, что некоторые из миноров вообще были одинаковыми - их конечно можно было не вычислять по-новой, но выписать мы их все равно обязаны, формально все эти шесть окаймляющих миноров получились вычеркиванием различных строк и столбцов исходной матрицы).

И мы видим, что $rkA = 2$ .

2. Найдем ранг расширенной матрицы $( ) | 1 1 1 1 1 7 | || 3 2 1 1 − 3 − 2|| (A |b) = || || ( 0 1 2 2 6 23 ) 5 4 3 3 − 1 12$ .
А в этом случае давайте приведем нашу матрицу к ступенчатому виду. В ступенчатом виде она будет такой:

( ) 1 1 1 1 1 7 | | ˜ || 0 1 2 2 6 23|| (A|b) = || 0 0 0 0 0 0 || ( ) 0 0 0 0 0 0

И мы видим, что $rk(A |b) = rk(A)$ . Следовательно, по теореме Кронекера-Капелли, данная система линейных уравнений разрешима.

Более того, всего неизвестных у нас четыре, а ранг системы равен 2, следовательно, у нас должно получиться 2 главных неизвестных (и, соответственно, $5 − 2 = 3$ свободных).

Так оно и есть: за главные мы берем $x1$ и $x2$ . Тогда из второй строчки мы получаем, что

x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23, x2 = − 2x3 − 2x4 − 6x5 + 23

Тогда из первой строчки

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7, x1 = − x2 − x3 − x4 − x5 + 7 = x3 + x4 + 5x4 − 16

Таким образом, можем записать общее решение нашей системы:

( { x = x + x + 5x − 16 1 3 4 4 x3,x4,x5 − любы е вещ ественны е чи сла ( x2 = − 2x3 − 2x4 − 6x5 + 23,

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#94063

Мы обратили особое внимание на то, что в Э.П. II число $λ$ , на которое мы домножаем $i$ -ое уравнение системы (или $i−$ ую строчку расширенной матрицы системы), должно быть обязательно не равно нулю.

Задача. Почему в Э.П. II условие $λ ⁄= 0$ - важно? Будет ли система $S ′$ , полученная из системы $S$ домножением какого-то уравнения на $λ = 0$ эквивалентна системе $S$ ? Если же нет, то какая связь обязательно будет между множеством решений исходной системы $S$ и системы $S ′$ , полученной домножением какого-то уравнения на $λ = 0$ ?

Показать ответ и решение

1. Это условие важно ровно потому, что при домножении какого-то уравнения на $λ = 0$ система не переходит в эквивалентную ей.

Например, можно рассмотреть систему уравнений

( { 3x+ 5y = 6 ( 4x+ y = − 1

решением которой является одноэлементное множество

M = {(− 11 , 27)} 17 17

Но если, например, домножить первое уравнение этой системы на $λ = 0$ , то получим систему

({ 0 = 0 ( 4x+ y = − 1

Или просто

4x+ y = − 1

решением которой является уже бесконечное множество

M ′ = {(x,− 1− 4x)|x ∈ ℝ}

2. Но ясно, что если система $S′$ получена из системы $S$ домножением какого-то уравнения на $λ = 0$ , то система $′ S$ является следствием системы $S$ . В том смысле, что если $M$ - множество решений системы $S$ , а $M ′$ - множество решений системы $S′$ , то $M ⊂ M ′$ .

Действительно, нетрудно убедиться в том, что это так, поскольку мы при переходе от $S$ к $S′$ просто избавились от одного из условий, но все прежние условия сохранились.

Таким образом, очевидно, что любой набор $(x1,...,xn)$ , удовлетворявший старой системе $S$ , будет удовлетворять и новой системе $S′$ , в которой просто одно из старых уравнений пропало, а остальные уравнения - такие же.

Следовательно, $M ⊂ M ′$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#94064

Мы обратили особое внимание на то, что в Э.П. III когда мы прибавляем к $i$ -ому уравнению $j−$ ое, умноженное на $λ$ , это $j−$ ое уравнение при этом не меняется.

Введем теперь новое, модифицированное Э.П. III’. Оно состоит в том, что мы прибавляем к $i−$ ому уравнению $j−$ ое, умноженное на $λ$ , но и само $j−$ ое уравнение при этом умножаем на $λ$ .

Задача. Будет ли это Э.П. III’ переводить систему $S$ в эквивалентную ей систему $′ S$ ?

Показать ответ и решение

Если $λ = 0$ , то, очевидно, нет, поскольку мы таким образом вычеркиваем $j−$ ое уравнение из системы и, таким образом, убираем одно из условий системы.

Если же $λ ⁄= 0$ , то да, $S′$ будет эквивалентна $S$ . Поскольку то, что мы здесь назвали Э.П. III’ на самом деле состоит из последовательного применения старого Э.П. III к $i−$ ой строчке, и затем Э.П. II к $j−$ ой строчке. А они оба переводят систему в эквивалентную ей.

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#94065

Мы уже доказали теорему, говорящую о том, что если система $S′$ (того же размера, что и система $S$ ) получена из системы $S$ некоторой последовательностью Э.П., то $S ′ ∼ S$ .

Задача. Но верно ли обратное? Верно ли, что если $S′ ∼ S$ (и $S′$ того же размера, что и $S$ ), то существует некоторая последовательность Э.П., переводящая систему $S$ в систему $′ S$ ?

Показать ответ и решение

Вообще говоря, в такой постановке это, как ни странно, неверно.

Рассмотрим, например, две такие системы из 2 уравнений с двумя неизвестными:

( { x +0y = 1 S :( − x+ 0y = 1

({ S′ : 0x +y = 1 ( 0x − y = 1

Очевидно, что $′ S ∼ S$ по определению, потому что у них совпадают множества решений. А именно, нетрудно видеть, что и система $S$ , и система $S′$ - несовместны, поэтому множество решений обоих из них - пустое множество. А любые два пустых множества равны.

С другой стороны, давайте даже для удобства запишем матрицу первой и второй системы:

( ) S : 1 0 1 − 1 0 1

( ) S′ : 0 1 1 0 − 1 1

очевидно, $S$ никак не получится перевести в $S′$ никакими элементарными преобразованиями. Ну хотя бы потому, что при любых элементарных преобразованиях у системы $S$ во втором столбце всегда будет оставаться два нуля, в то время как у системы $S′$ при любых элементарных преобразованиях во втором столбце мы никогда не сможем получить два нуля.

Следовательно, такое банальное обращение известной нам теоремы неверно.

Впрочем, для размышления на досуге есть хорошая
Задача***. Доказать, что если $S ∼ S′$ (и они одного и того же размера), и множества решений $S$ и $S′$ непусты, тогда систему $S$ можно привести при помощи последовательности Э.П. к системе $′ S$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#94066

Пусть мы имеем дело с системой линейных уравнений самого общего вида

(| |||| a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1 |{ a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2 | |||| ... |( am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm

с $n$ неизвестными и $m$ уравнениями.

И если мы зададим вопрос, сколько различных решений может иметь такая система, то мы можем дать такой достаточно очевидный ответ:

Возможны всего три случая. Либо СЛУ не имеет решений; либо СЛУ имеет одно единственное решение; либо СЛУ имеет бесконечно много решений.

Действительно, первый случай реализуется тогда и только тогда, когда после приведения СЛУ в ступенчатый вид мы получили противоречивое уравнение, то есть уравнение вида

astxt = bs, ast = 0,bs ⁄= 0

Второй случай реализуется, когда нет ни одного противоречивого уравнения, и все неизвестные - главные.

Третий же случай реализуется, когда нет ни одного противоречивого уравнения, и есть хотя бы одна свободная неизвестная.

Однако, даже не знание коэффициентов $aij,bi$ , но знание размера, то есть знание $m$ и $n$ нашей системы может иногда уточнить ответ на вопрос о количестве решений.

Задача.
a) Пусть $m = n$ . Сколько тогда такая СЛУ может иметь решений?;
b) Пусть $m > n$ . Сколько тогда такая СЛУ может иметь решений?;
c) Пусть $m < n$ . Сколько тогда такая СЛУ может иметь решений?;
d) Пусть все свободные коэффициенты $bi = 0,i = 1,...,m$ . Сколько тогда такая СЛУ может иметь решений?;
e)* Пусть все свободные коэффициенты $bi = 0,i = 1,...,m$ и $m < n$ . Сколько тогда такая СЛУ может иметь решений?

Показать ответ и решение

a) Возможны все три варианта - нет решений, одна решение, и бесконечно много. Соответствующие примеры получим, взяв, например, $m = n = 1$ . Одно решение будет у такой замечательной системы с одним неизвестным и одним уравнением как

{ 666x = 2024

Ноль решений будет у такой замечательной системы с одним неизвестным и одним уравнением как

{ 0x = 2024

И бесконечно много решений будет у такой замечательной системы с одним неизвестным и одним уравнением как

{ 0x = 0

b) Возможны все три варианта - нет решений, одна решение, и бесконечно много. Соответствующие примеры получим, взяв, например, $m = 2,n = 1$ . Одно решение будет у такой замечательной системы как

( { 2x = 10 ( 2x = 10

Ноль решений будет у такой замечательной системы как

( { 2x = 10 ( 3x = 10

И бесконечно много решений будет у такой замечательной системы как

({ 0x = 0 ( 0x = 0

c) Вот тут уже не все теоретические варианты возможны. На самом деле, у такой системы может либо вообще не быть решений, либо их сразу бесконечно много. Пример, когда у такой системы 0 решений получается при $m = 1,n = 2$ :

{ 0x+ 0y = 2

Пример, когда у неё бесконечно много решений тоже можно построить при $m = 1,n = 2$ :

{ x+ y = 555

Почему же при $m < n$ невозможен случай, когда у системы ровно одно единственное решение? На самом деле, по очень простой причине.

Вспомним, что у системы решение единственно, если в ее ступенчатом виде все переменные главные, то есть нет свободных переменных.

Вспомним так же, что переменная называется главной, если с нее начинается строка в ступенчатом виде.

Однако при $m < n$ строк будет просто меньше, чем переменных. Следовательно, не может быть такого, чтобы строк хватило на все переменные, следовательно, с какой-то переменной строка просто не начнется. То есть из-за нехватки строк у нас обязательно будет хотя бы одна свободная переменная.

А, значит, раз у нас будет свободная переменная, то возможны два случая. Либо система несовместна (в случае, если есть хотя бы одно противоречивое уравнение), либо она совместна, и тогда она обязательно будет иметь бесконечно много решений;

d) Такая система не может быть несовместна. По той простой причине, что при всех $b = 0,i = 1,...,m i$ у такой системы обязательно будет решение

x = x = ...= x = 0 1 2 n

Но вот остальные два варианта здесь возможны. У такой системы может быть как одно решение, так и бесконечно много.

Одно решение будет, например, у такой системы

( { x+ y = 0 ( x− y = 0

А бесконечно много решений будет, например, у такой системы

({ x+ y = 0 ( x+ y = 0

e) Во-первых, в силу пункта d) такая система обязательно имеет либо 1, либо бесконечно много решений.

Однако, в силу пункта c) такая система не может иметь одного решения, она имеет либо 0, либо бесконечно много решений.

Совмещая эти два результата, получаем, что в случае пункта e) такая система обязательно имеет бесконечно много решений.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#94067

Решить систему уравнений методом Гаусса:

(| ||||6x1 + 4x2 + x5 = 4 |{3x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = − 7 | ||||9x1 + 6x2 + 6x3 − 3x4 + 4x5 = − 1 |(3x1 + 2x2 + 4x3 − 2x4 + 2x5 = 3

Показать ответ и решение

Запишем расширенную матрицу нашей системы

( 6 4 0 0 1 4 ) | | ˆA = || 3 2 − 2 1 0 − 7|| |( 9 6 6 − 3 4 − 1|) 3 2 4 − 2 2 3

Вычтем из третьей строки первую и четвертую (то есть прибавим первую и четвертую с коэффициентом $λ = − 1$ , это Э.П. III):

( 6 4 0 0 1 4 ) | | || 3 2 − 2 1 0 − 7|| |( 0 0 2 − 1 1 − 8|) 3 2 4 − 2 2 3

Вычтем из четвертой строки вторую:

( ) 6 4 0 0 1 4 || 3 2 − 2 1 0 − 7|| || || ( 0 0 2 − 1 1 − 8) 0 0 6 − 3 2 10

Вычтем из первой строки удвоенную вторую (то есть прибавим с коэффициентом $λ = − 2$ , это тоже Э.П. III):

( 0 0 4 − 2 1 18) | | || 3 2 − 2 1 0 − 7|| |( 0 0 2 − 1 1 − 8|) 0 0 6 − 3 2 10

Поменяем местами первую и вторую строчки (это Э.П. I):

( ) 3 2 − 2 1 0 − 7 || 0 0 4 − 2 1 18|| || || ( 0 0 2 − 1 1 − 8) 0 0 6 − 3 2 10

Вычтем из последней строки вторую и третью:

( ) | 3 2 − 2 1 0 − 7| || 0 0 4 − 2 1 18|| |( 0 0 2 − 1 1 − 8|) 0 0 0 0 0 0

Вычтем из третьей строки вторую с коэффициентом $λ = 12$ :

( ) 3 2 − 2 1 0 − 7 || || || 0 0 4 − 2 1 18|| ( 0 0 0 0 12 − 17) 0 0 0 0 0 0

Вуаля, мы получили матрицу в ступенчатом виде.

Последнюю строчку можно не учитывать, и поэтому мы начинаем обратный ход метода Гаусса, находя неизвестные, начиная с предпоследней строки и двигаясь снизу вверх.

При этом уже видно, что переменные $x1,x3,x5$ будут главными, а $x2$ и $x4$ - свободными.

Из предпоследнего уравнения видим, что $x5$ вообще находится однозначно:

1 2x5 = − 17, x5 = − 34

Далее, из второго уравнения видим такую зависимость:

4x3 − 2x4 + x5 = 18

Зная, что $x5 = − 34$ и принимая во внимание то, что мы уже решили, что $x3$ - главная переменная в этом уравнении, выразим $x 3$ :

2x4-− x5-+-18 2x4 +-34+-18 2x4 −-16 1 x3 = 4 = 4 = 4 = 2x4 + 13

И из первого уравнения видим

3x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = − 7

И раз $x1$ - главная переменная этого уравнения, её и нужно выражать:

x = −-2x2 +-2x3 −-x4 −-7-= −-2x2 +-x4 +-26-− x4-−-7= − 2x2-+19-= − 2x + 19 1 3 3 3 3 2 3

Следовательно, мы готовы выписать ответ системы:

2 19 1 x1 = − 3x2+ 3-, x3 = 2 x4+13, x5 = − 34, x2 ∈ ℝ− лю бое число , x4 ∈ ℝ− лю бое число

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#94068

Решить систему при всех возможных значениях параметра $a ∈ ℝ$ (то есть указать те $a$ , при которых система неразрешима, и выписать решения системы при тех $a$ , при которых она разрешима):

( |||ax1 + x2 + x3 = 1 { ||x1 + ax2 + x3 = 1 |(x1 + x2 + ax3 = 1

Показать ответ и решение

Расширенная матрица системы получается такой:

( ) a 1 1 1 ˆ || || A = ( 1 a 1 1) 1 1 a 1

Для удобства поменяем сращу первую и последнюю строчки, потому что гораздо удобнее, когда в первой строке на первом месте стоит единичка (это Э.П. I):

( 1 1 a 1) | | |( 1 a 1 1|) a 1 1 1

Вычтем из второй строчки первую:

( ) | 1 1 a 1| | 0 a− 1 1− a 0| ( ) a 1 1 1

Вычтем из третьей строчки первую с коэффициентом $a$ :

( ) 1 1 a 1 || || ( 0 a− 1 1 − a 0 ) 0 1− a 1− a2 1− a

Умножим третью строчку на $− 1$ , это Э.П. II:

( ) | 1 1 a 1 | |( 0 a− 1 1 − a 0 |) 0 a− 1 a2 − 1 a− 1

Вычтем из третьей строчки вторую:

( ) 1 1 a 1 || || ( 0 a− 1 1 − a 0 ) 0 0 a2 + a − 2 a− 1

И мы привели систему в ступенчатый вид. Теперь будем делать обратный ход метода Гаусса, следя внимательно за тем, что тут будет зависеть от $a$ .

Начнем с третьего уравнения. Оно имеет вид

2 (a + a− 2)x3 = a− 1, (a + 2)(a − 1)x3 = a− 1

Сразу видим, что если $a = − 2$ , то система вообще не имеет решений, поскольку левая часть третьего уравнения равна нулю, а правая - не равна нулю.

Пусть теперь $a ⁄= − 2$ . Если же при этом еще и $a ⁄= 1$ , то третье уравнение превращается в

1 (a +2)x3 = 1, x3 = ----- a +2

Далее, подставляем это во второе уравнение

(a− 1)x2 + 1-− a-= 0, x2 =-1--- a +2 a+ 2

Подставляем найденные значения $x2$ и $x3$ в первое уравнение:

x + -1---+ -a---= 1, x = --1-- 1 a+ 2 a+ 2 1 a + 2

Теперь остался последний случай, когда $a = 1$ . Тогда третье уравнение системы выполнено автоматически, потому что в нем написано $0 = 0$ .
Второе уравнение в таком случае тоже выполнено всегда, потому что в нем тоже написано $0 = 0$ . Остается только первое уравнение, которое нам говорит

x1 + x2 + x3 = 1

То есть мы должны здесь принять $x1$ за главную переменную, а все остальные будут свободными, и тогда в таком случае будет ответ

x1 = 1− x2 − x3

Ответ:
1. При $a = − 2$ решений нет;
2. При $a ⁄= − 2,a ⁄= 1$ получаем $x = x = x = -1- 1 2 3 a+2$ ;
3. При $a = 1$ получаем $x1 = 1− x2 − x3$ , $x2,x3$ - любые вещественные числа.

Ответ:

Предыдущий раздел

Следующий раздел