19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

Формально, при у нас и числитель и знаменатель стремятся к 0. То есть, мы имеем неопределённость типа

Но на самом деле достаточно лишь слегка преобразовать наше выражение: Далее, нетрудно заметить, что при то есть при стремящемся к двойке справа, выражение стремится к В то же время, при то есть при стремящемся к двойке слева, выражение стремится к Значит, никакого предела у выражения а, значит, и у выражения , не существует.

Здесь достаточно преобразовать наше выражение, поделив на наибольшую степень икса в числителе и знаменателе. То есть, в данном случае, делить мы будем на




Теперь уже легко видеть, что числитель стремится к 1, будучи суммой 1 и двух бесконечно малых. Аналогично, знаменатель стремится к -2. Следовательно, по теореме о пределе частного,

Поскольку у нас то разделим числитель и знаменатель на :

Далее, нетрудно понять, что когда то поскольку при отрицательных иксах дроби переворачиваются и это то же самое, что при а это, очевидно, стремится к 0, так как аналогичный факт мы знаем ещё из теории последовательностей.

Таким образом в числителе и знаменателе у нас появилось по бесконечно малому члену, значит, вся дробь по теореме о пределе частного стремится к

a) Давайте немного проанализируем, что нам вообще дано. А дано нам, что - по определению это означает, что, какую бы последовательность мы ни взяли, если (и при этом при любом так как мы берём т.н. "проколотые" окрестности точки ), то обязательно
Аналогично, для любой последовательности и при любом мы будем иметь, что

Но что тогда будет с пределом суммы в точке ? Давайте возьмём любую последовательность при любом и подставим в сумму Имеем:

И мы просто пользуемся утверждением из теории последовательностей о том, что предел суммы последовательностей равен сумме пределов (У слагаемых и существуют пределы - это нам попросту дано.)

b) Рассуждаем аналогично. Нам дано, что - по определению это означает, что, какую бы последовательность мы ни взяли, если (и при этом при любом так как мы берём т.н. "проколотые" окрестности точки ), то обязательно
Аналогично, для любой последовательности и при любом мы будем иметь, что
Но тогда если мы возьмём любую последовательность и при любом то произведение

Мы тоже просто пользуемся утверждением про то, что предел произведения последовательностей равен произведению пределов, в случае, когда пределы сомножителей по отдельности существуют. Но это ровно наш случай: пределы и существуют - это нам и дано по условию, они равны соответственно и

Вывод: мы очень часто можем переводить наши утверждения про функции на язык последовательностей и получать доказательства практически "нахаляву", поскольку мы уже проделали основную работу, когда работали с пределами последовательностей.

Вновь сведём всё к последовательностям. Нам дано, что - по определению это означает, что, какую бы последовательность мы ни взяли, если и для любого то обязательно
Аналогично, для любой последовательности и при любом мы будем иметь, что
Но тогда, если мы возьмём любую последовательность и при любом то отношение обязано стремиться к отношению пределов и то есть, к - по утверждению о пределе отношения последовательностей. А по-отдельности пределы числителя и знаменателя существуют и равны, соответственно и - это нам дано. Значит, мы всё доказали.

Контрольный вопрос: а где мы воспользовались условием существования проколотой окрестности точки в которой функция отлична от нуля? Или, может быть, это было лишнее условие?

Мы знаем аналогичное свойство для предела последовательности - у последовательности если предел существует, то он единственный. И мы могли бы свести сразу же случай функций к случаю последовательностей. Но давайте для разнообразие докажем, что аналогичное свойства для функций тоже выполняется, но докажем на языке окрестностей.

Итак, пусть и в то же самое время, что причём .

Из того, что следует, что для любой окрестности предела найдется проколотая окрестность такая, что для всех выполнено . В то же время, из того, что следует, что для любой окрестности предела найдется проколотая окрестность такая, что для всех выполнено . Но в качестве окрестностей и двух разных точек мы всегда можем выбрать непересекающиеся окрестности. Тогда, если мы возьмем пересечение двух проколотых окрестностей , то получим новую проколотую окрестность .

И для всех должно быть выполнено, что одновременно и . Но такого быть не может, потому что мы выбрали и так, чтобы .

Мы получили противоречие, следовательно, .

a) Прикинем, к чему стремится если мы будем приближаться к :
Если мы будем рассматривать точки, близкие к но не равные то значение в них будет близко к :
Например:

А если мы будем приближаться к справа, то получим такие значения:

Нетрудно заметить, что хоть слева, хоть справа мы будем стремиться к но значения функции будут близки к Значит, можно выдвинуть гипотезу, что

На более формальном уровне это доказывается следующим образом:
Чтобы доказать, что надо взять любую последовательность при любом и посмотреть, к чему будет стремиться
Но по утверждению про то, что предел суммы последовательностей равен сумме пределов ( мы сами взяли стремящейся к а к и стремится - это же просто константа). Значит, мы доказали, что

b) Это чуть более тонкий случай, однако очень существенно показывающий, почему мы берём именно окрестности когда считаем Прежде всего, мы советуем нарисовать график функции - это будет константа во всех точках, кроме А в нуле по определению равна то есть она ниже на той прямой, которая её изображает во всех остальных точках.

Поначалу можно подумать, что у как раз из-за такого "скачка" в нуле не будет предела. Однако это не так. Ведь мы, когда считаем должны брать только те последовательности которые стремятся к но нигде не равны Но на любой такой последовательности значения всегда равны Следовательно,

Замечание: разумеется, будь наша функция в нуле равна хоть (так чтобы она была просто обыкновенной константой - прямой линией), хоть чему-то ещё другому: не а, скажем, это, как видно из нашего рассуждения, ни на существование, ни на значение предела не повлияло бы.

Более того, функция может быть даже неопределена в точке и всё равно это не повлияет ни на существование, ни на значение её предела

Именно в этом и кроется суть нашего понятия предела функции в точке, на самом деле. Предел показывает, как ведёт себя функция в сколь угодно малой окрестности точки а на само значение в точке нам наплевать - функция там может даже быть неопределена.

a) По определению, чтобы вычислить предел нашей функции в точке нужно взять любую последовательность стремящуюся к но не равную ни при каком (т.е. ) и подставить её в функцию и посмотреть, к чему будет стремиться Так и сделаем.

Берём и подставляем в : Но к чему стремится ? по условию стремится к значит, по утверждению о пределе произведения последовательностей, А, значит, (предел суммы равен сумме пределов)
Таким образом, мы доказали, что

b) Тут рассуждаем аналогично тому, как мы делали в предыдущем пункте этой задачи.
А именно: берём любую последовательность подставляем в и смотрим, к чему стремится :

Мы воспользовались, во-первых, теоремой о том, что предел отношения последовательностей равен отношению их пределов. А когда считали пределы числителя и знаменателя соответственно, пользовались теоремами о пределе произведения и пределе суммы (тоже, разумеется, для последовательностей). Тем самым мы показали, что

c) Здесь может показаться, что будут проблемы из-за того, что мы хотим посчитать предел функции в точке то есть там, где знаменатель дроби у нас вообще не определён. Но это-то как раз не проблема. Нам вообще неважно, определена или нет функция в точке когда мы считаем её предел в этой А даже если и определена, нам неважно, чему она там равна. Нас интересует лишь поведение в малых окрестностях

Таким образом, у нас вообще нет никаких проблем с нашей функцией в этом пункте. Немного её преобразуем: Заметим, что мы поделили на скобку - но мы имеем право на неё делить, когда исследуем поведение функции в проколотых окрестностях нуля. То есть в этих проколотых окрестностях, то есть там, где наша функция - это просто константа, равная Разумеется, предел константы равен самой константе, и мы, тем самым, доказали, что
d) Здесь ровно та же проблема, что и могла бы показаться в предыдущем пункте осложняющей решение, на самом деле ничего не осложняет. Преобразуем слегка для начала нашу функцию: (мы разложили квадратный трёхчлен на множители, найдя его корни; кроме того, опять же таки, в проколотых окрестностях числа мы имеем права делить на скобку поскольку она в них не равна ).

Ну дальше уже понятно, что при функция стремится к Значит, мы доказали, что

e) Итак, давайте для начала тут тоже разделим и числитель и знаменатель дроби на максимальную степень, с которой входит в дробь, то есть, в данном случае, будем делить всё на получим:

Ясно, что числитель этой дроби будет стремиться к т.к. он из себя представляет произведение бесконечно малой на ограниченный Знаменатель, в свою очередь, видно, стремится к Значит, вся дробь, по утверждению о пределе частного стремится к

f) Опять нам поможет соображение, которое состоит в том, чтобы поделить на максимальную степень с которой он входит в дробь. Да, в данном случае эта степень будет но это ничего принципиально не меняет. Что у нас тут есть? под корнем, потом еще под одним корнем, и даже два раза под корнем. Но ясно, что максимальная степень или, как говорят, то, что быстрее всего будет расти на плюс бесконечности - это просто На него и будем делить:

Что же из себя представляет числитель? Это корень из плюс Но понятно, что при эта добавка в числителе () стремится к Значит, числитель стремится к Ещё проще увидеть то, что и знаменатель стремится к Тем самым,

g) Здесь практически та же самая история, что и в пунктах c) и d) нашей задачи. Да, с одной стороны, наша функция в той точке, где мы хотим посчитать предел, то есть в не определена. Но, напоминаем, нас вообще не интересует при исследовании на предел в точке то, что из себя представляет функция в самой точке

В то же самое время в проколотых окрестностях точки наша функция устроена довольно просто - это константа Значит, в этом примере
h) В последних двух пунктах этой задачи поможет разобраться график функции Прикрепляем его ниже:

По графику легко видеть, что точка для этой функции - "хорошая" то есть какую бы последовательность мы ни взяли (с условием, что ), мы и будем стремиться к поскольку в маленьких окрестностях положительных дробных чисел наша функция вообще постоянна, а в маленьких окрестностях отрицательных дробных чисел она возвращает их положительную дробную часть (как в нашем случае).
Следовательно,

i) А вот около всех целых точек, в частности около точки будут проблемы.

Чтобы существовал по определению необходимо, чтобы, какую бы последовательность стремящуюся к но не равной ни при каком мы ни взяли, должна иметь предел. Причём, и это крайне важно, всякий раз (то есть при любой последовательности и ) этот предел должен быть одинаковым!

Но что же будет происходить у нас? По графику видно, что если мы стремимся к справа, то значения функции близки к Если же мы стремимся к слева, то то значения функции близки к Значит ни о каком пределе в точке не может идти и речи.
Чуть более формально: давайте возьмём две различные последовательности и обе из которых стремятся к но - справа, а - слева.
Тогда, с одной стороны конечно, существует и равен И, так же, существует и равен Но у нас при различных стремлениях к получились разные пределы у Такого быть не должно. Следовательно, просто не существует

a) Понятно, что, т.к. на плюс бесконечности постоянно болтается, навряд ли у него будет какой-то предел при К тому же, если вы помните, у нет предела при Наша нынешняя задача примерно про то же самое.
Итак, давайте докажем от противного, что

Допустим, что Но это по определению означает, что какую бы последовательность я ни взял, значения синуса на ней должны стремиться к этому пределу то есть

Теперь всё просто. Возьмём две последовательности, стремящиеся к бесконечности, но так, что функция синуса в точках этих последовательностей ведёт себя принципиально по-разному. Например, возьмём последовательность идущую по нулям синуса. Таким образом, будет выполнено, что а значит и тем более
С другой стороны, если мы возьмём такую последовательность то она тоже, несомненно, стремится к но однако будет выполнено, что а значит и тем более
Следовательно, никакого предела у на бесконечности быть не может. Потому что мы должны при любой последовательности получать одно и то же значение предела

На самом деле, можно построить и такую последовательность что но вообще не имеет предела - это делается не то чтобы сильно хитрее того, что мы сделали выше. Попробуйте сами придумать такую

b) Нас спрашивают, к чему стремится при
Если просто посмотреть на график синуса, то станет почти очевидным, что чем меньшие мы берём аргументы, то есть чем ближе мы становимся к точке тем ближе сам синус становится к То есть у нас, по идее, должна родиться гипотеза, что Давайте попробуем эту гипотезу доказать:

Вспомним школу и нарисуем единичную окружность, отметив на ней угол в радиан, и отметив (на рисунке этот отрезок нарисован красным цветом).

Ну хорошо, мы на рисунке отметили красным, а где же на рисунке само значение ?
Вспомним, что длина всей окружности равна то есть, в данном случае, поскольку окружность единичного радиуса. А как найти длину не полной окружности, а дуги окружности, на которую опирается угол величиной радиан? Нужно, конечно, длину всей окружности поделить на и домножить на то есть дуга, на которую опирается угол в радиан и будет сама иметь длину = То есть на рисунке можно отметить оранжевым цветом вот так:

Таким образом, легко видеть, что просто-напросто меньше, чем при маленьких значениях угла - поскольку красный отрезок, очевидно, меньше, чем дуга.
Значит, если то тем более и должен стремиться к И, таким образом, мы и доказали нашу гипотезу, что

Несмотря на то, что наша функция не определена в точке , это нам никак в вычислении предела помешать не может. Поскольку для вычисления предела при нас интересует лишь поведение функции в проколотых окрестностях точки , а в этих проколотых окрестностях наша функция всегда равна 1 (просто сокращаем на ненулевой ). Но предел константы равен самой константе - это очевидно.

Если бы мы захотели формально и аккуратно по определению доказать, что , то мы должны были бы показать, что для любой последовательности , но при этом выполнено, что . Но это очевидно.

a) Давайте немного проанализируем, что нам вообще дано. А дано нам, что - по определению это означает, что, какую бы последовательность мы ни взяли, если (и при этом при любом так как мы берём т.н. "проколотые" окрестности точки ), то обязательно
Аналогично, для любой последовательности и при любом мы будем иметь, что

Но что тогда будет с пределом суммы в точке ? Давайте возьмём любую последовательность при любом и подставим в сумму Имеем:

И мы просто пользуемся утверждением из теории последовательностей о том, что предел суммы последовательностей равен сумме пределов (У слагаемых и существуют пределы - это нам попросту дано.)

b) Рассуждаем аналогично. Нам дано, что - по определению это означает, что, какую бы последовательность мы ни взяли, если (и при этом при любом так как мы берём т.н. "проколотые" окрестности точки ), то обязательно
Аналогично, для любой последовательности и при любом мы будем иметь, что
Но тогда если мы возьмём любую последовательность и при любом то произведение

Мы тоже просто пользуемся утверждением про то, что предел произведения последовательностей равен произведению пределов, в случае, когда пределы сомножителей по отдельности существуют. Но это ровно наш случай: пределы и существуют - это нам и дано по условию, они равны соответственно и

c) Вновь сведём всё к последовательностям. Нам дано, что - по определению это означает, что, какую бы последовательность мы ни взяли, если и для любого то обязательно
Аналогично, для любой последовательности и при любом мы будем иметь, что
Но тогда, если мы возьмём любую последовательность и при любом то отношение обязано стремиться к отношению пределов и то есть, к - по утверждению о пределе отношения последовательностей. А по-отдельности пределы числителя и знаменателя существуют и равны, соответственно и - это нам дано. Значит, мы всё доказали.

C одной стороны, наша функция в той точке, где мы хотим посчитать предел, то есть в не определена, поскольку она там должна быть то есть делиться на
Но, напоминаем, нас вообще не интересует при исследовании на предел в точке то, что из себя представляет функция в самой точке

В то же самое время в проколотых окрестностях точки наша функция устроена довольно просто - это константа Значит,

По графику

легко видеть, что точка для этой функции - "хорошая" то есть какую бы последовательность мы ни взяли (с условием, что ), мы и будем стремиться к поскольку в маленьких окрестностях положительных дробных чисел наша функция вообще постоянна, а в маленьких окрестностях отрицательных дробных чисел она возвращает дополнение до 1 их отрицательной дробной части (как раз раш случай).
Следовательно,

a) Понятно, что, т.к. на плюс бесконечности постоянно болтается, навряд ли у него будет какой-то предел при К тому же, если вы помните, у нет предела при Наша нынешняя задача примерно про то же самое.
Итак, давайте докажем от противного, что

Допустим, что Но это по определению означает, что какую бы последовательность я ни взял, значения синуса на ней должны стремиться к этому пределу то есть

Теперь всё просто. Возьмём две последовательности, стремящиеся к бесконечности, но так, что функция синуса в точках этих последовательностей ведёт себя принципиально по-разному. Например, возьмём последовательность идущую по нулям синуса. Таким образом, будет выполнено, что а значит и тем более
С другой стороны, если мы возьмём такую последовательность то она тоже, несомненно, стремится к но однако будет выполнено, что а значит и тем более
Следовательно, никакого предела у на бесконечности быть не может. Потому что мы должны при любой последовательности получать одно и то же значение предела

На самом деле, можно построить и такую последовательность что но вообще не имеет предела - это делается не то чтобы сильно хитрее того, что мы сделали выше. Попробуйте сами придумать такую

b) Нас спрашивают, к чему стремится при
Если просто посмотреть на график синуса, то станет почти очевидным, что чем меньшие мы берём аргументы, то есть чем ближе мы становимся к точке тем ближе сам синус становится к То есть у нас, по идее, должна родиться гипотеза, что Давайте попробуем эту гипотезу доказать:

Вспомним школу и нарисуем единичную окружность, отметив на ней угол в радиан, и отметив (на рисунке этот отрезок нарисован красным цветом).

Ну хорошо, мы на рисунке отметили красным, а где же на рисунке само значение ?
Вспомним, что длина всей окружности равна то есть, в данном случае, поскольку окружность единичного радиуса. А как найти длину не полной окружности, а дуги окружности, на которую опирается угол величиной радиан? Нужно, конечно, длину всей окружности поделить на и домножить на то есть дуга, на которую опирается угол в радиан и будет сама иметь длину = То есть на рисунке можно отметить оранжевым цветом вот так:

Таким образом, легко видеть, что просто-напросто меньше, чем при маленьких значениях угла - поскольку красный отрезок, очевидно, меньше, чем дуга.
Значит, если то тем более и должен стремиться к И, таким образом, мы и доказали нашу гипотезу, что

Когда мы работаем с корнями, очень часто бывает полезно и приятно домножить и разделить на "сопряженное" выражение. То есть, например, если мы имеем дело с суммой корней, то домножить и разделить на разность тех же самых корней; а если имеем дело с разностью - то домножить и разделить на сумму. Это ровно наш случай, а, значит, так мы и поступим: Мы пока что не избавились от корней, а только наоборот их приумножили. Но, на самом деле, это не повод останавливаться. Теперь мы домножим числитель и знаменатель на и это просто-напросто избавит нас от корней в числителе. Тогда получится, что

Мы видим, что числитель у нас степени а знаменатель - это с точностью до более маленьких степеней - произведение корней из иксов в квадрате. Значит, и числитель и знаменатель имеют максимальную степень равную Значит, на этот мы и разделим и числитель и знаменатель (в знаменателе у нас произведение двух скобок и мы каждую делим на - итого на ).

Что же дальше? Осталось только заметить, в знаменателе у нас стоит произведение двух сомножителей:
1. Ясное дело, при первый корень здесь стремится к т.к. подкоренное выражение - это плюс бесконечно малая Второй корень по тем же соображениям стремится к но он домножен на значит, Тем самым, первый сомножитель стремится к
2. Аналогично разбираем и множитель Он, как видно, стремится к
Таким образом, знаменатель нашей дроби стремится к а числитель, что совсем очевидно, к Итого, по утверждению про предел дроби, вся дробь а значит и исходное выражение стремится к при

Видно, что если мы просто тупо подставим и в числитель и в знаменатель, то получим неопределённость вида т.к. при будет равно

Но мы и не имеем права просто брать и подставлять в функцию ту точку, в которой мы считаем предел (очень скоро мы поймём, в каких случаях это можно делать, но пока что мы не торопимся. Напомним, что определение предела вообще говорит нам, что нас не интересует значение в точке когда мы считаем ).

Но, раз является корнем и числителя и знаменателя, можно попробовать и в числителе и в знаменателе вынести общим множителем скобку (хотя мы и не знаем формулы дискриминанта для многочленов сотой и пятидесятой степени, но мы сделаем это даже проще).
1. Разделим многочлен, стоящий в числителе нашей дроби, т.е. на многочлен (раз является корнем то деление должно получиться без остатка). Делим в столбик, и получаем, что - во втором сомножиеле стоят все степени от до (желающие могут поделить в столбик самостоятельно)
2. Аналогично, если мы разделим на в столбик, то получим - во втором сомножиеле стоят все степени от до

Таким образом, наша дробь превращается в

И, далее, поскольку мы считаем предел при то мы имеем право сократить числитель и знаменатель на скобку поскольку нас интересует поведение этой дроби в проколотых окрестностях точки После сокращения у нас получится вот такая красивая дробь:

А теперь всё легко. Ясно, что при числитель стремится к а знаменатель к Значит, итого, мы доказали, воспользовавшись в конце утверждением о пределе отношения, что

Вспомним определение того, что такое
эквивалентна функции при (обознач.: при ), если существует такая функция что:
1. ;
2. при

a) Если в качестве взять (то есть функция - это просто константа равная всюду 1), то есть то ясно, что и в любой точке и мы тем самым доказали, что

b) Если то существует такая функция что и при Но тогда, деля на альфу: и очевидно, что функция тоже стремится к 1 при Следовательно,

с) Если и при этом то существуют такие и что при и:

Но тогда где при как произведение стремящихся к единице и Следовательно, по определению мы доказали, что

Действительно, из того, что следует, что существует такая функция что где при

Но тогда
А значит: то есть то есть где И видно, что при Следовательно, по определению,

Пускай тогда понятно, что

И мы в предпредпоследнем равенстве воспользовались тем, что при

Достаточно показать, что есть бесконечно малая функция при Действительно, если мы это покажем, то будет выполнено соотношение

где при а значит мы по определению покажем, что

Давайте докажем, что при Действительно:

Однако, поскольку по условию при выполнено, что то Следовательно, И мы всё доказали.

Замечание: Если внимательно проанализировать эту задачу, то она даёт вам инструмент, позволяющий всю нашу таблицу эквивалентностей превратить в таблицу равных функций. То есть, при помощи этой задачи таблица

переходит в таблицу