Задачи №15 из сборника И.В. Ященко —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#73461

Решите неравенство

2−2√x+ 32⋅102−√x > 29−2√x-+ 625 ⋅10−2−√x

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 11

Показать ответ и решение

Обозначим $2−2√x-= a,$ $10−√x = b.$ Тогда неравенство примет вид

a+ 32⋅102b− 29a− 625⋅-1-b> 0 ⇔ 100 ( 9) (625 ) 1− 2 a> 100 − 3200 b ⇔ ( ) 4 9 4 1− 29 a> 5-−22-⋅25-b ⇔ 2 ⋅5 (1− 29) a> (1− 29) ⋅ 52b 22

Так как $( 9) 1− 2 < 0$ и $b> 0,$ то имеем:

a ( 2)−2 b < 5

Сделаем обратную замену:

( ) √- ( ) 2 − x 2 −2 √ - 5 < 5 ⇔ − x> −2 √ - x< 2 ⇔ 0 ≤ x< 4

Ответ $x ∈[0;4).$

Ответ:

$[0;4)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#73463

Решите неравенство

9log2(4− x)4+ 5log (4− x)8 ≤ 56 8 0,5

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 15

Показать ответ и решение

ОДЗ неравенства:

( { (4− x)4 > 0 ( 8 ⇔ x⁄= 4 (4− x) > 0

Решим неравенство на ОДЗ.

( )2 9⋅ 1 log2(4 − x)4 + -5-⋅2log2(4− x)4 ≤ 56 3 − 1 log22(4− x)4 − 10log2(4− x)4 ≤ 56

Сделаем замену $t =log2(4− x)4.$ Тогда неравенство примет вид

t2− 10t≤56 2 t − 10t+25 ≤81 (t− 5)2 ≤92 |t− 5|≤ 9 − 9 ≤ t− 5 ≤ 9 − 4 ≤ t≤14

Сделаем обратную замену:

− 4≤ log2(x− 4)4 ≤14 ( )4 1 ≤ (x− 4)4 ≤(8√2)4 2 ⌊ √- 1 |− 8 2≤ x − 4 ≤ −2 ⌈ 1≤ x− 4≤ 8√2- 2 ⌊ √- ⌈− 8 2+ 4≤√x-≤ 3,5 4,5≤ x ≤8 2+ 4

Таким образом, ответ $x ∈[−8√2-+ 4;3,5]∪ [4,5;8√2+ 4].$

Ответ:

$[− 8√2+ 4;3,5]∪ [4,5;8√2 +4]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#73464

Решите неравенство

62x2−5|x|⋅53|x| ≤ 1

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 19

Показать ответ и решение

По формуле $aloga b = b$ верно: $5= 6log65.$ Следовательно, после замены $|x|=t,$ $t≥ 0,$ неравенство примет вид

62t2−5t⋅63tlog65 ≤1 2 62t−5t+3tlog65 ≤ 1 2t2− 5t+ 3tlog 5≤ 0 6 t(2t− 5 + 3log65)≤ 0

Заметим, что $5− 3log 5 t0 =----2--6-$ является нулем скобки. Так как $log65∈ (0;1),$ то $t0 >0.$ Следовательно, решением полученного неравенства будут

0≤ t≤ 5−-3log6-5 2

Сделаем обратную замену:

|x|≤ 5-− 3log65 ⇔ 3-log65−-5 ≤x ≤ 5−-3log6-5 2 2 2

Полученные значения $x$ являются ответом.

Ответ:

$[ ] 3log65-− 5; 5-− 3-log65 2 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#44950

Решите неравенство

4x + -112--≤ 0 4x− 32

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 21

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= 4x.$ Тогда неравенство примет вид

t+ -112-≤ 0 ⇔ t− 32 t2−-32t+112 t− 32 ≤ 0 ⇔ (t− 4)(t− 28) ----t− 32-- ≤ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$PICT$

Получаем $t ≤4$ и $28≤ t< 32.$ Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ ⌊ ⌈ 4x ≤ 4 ⇔ ⌈ x≤ 1 ⇔ | x≤ 1 28≤ 4x < 32 4log428 ≤4x <4 52 ⌈ log 28≤ x< 5 4 2

Ответ: $x∈ (−∞; 1]∪ [log428;2,5).$

Ответ:

$(−∞; 1]∪[log 28;2,5) 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#44951

Решите неравенство

5x− 10≥ --225- 5x− 10

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 22

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= 5x− 10.$ Тогда неравенство примет вид

t+ 225 ≤ 0 ⇔ t t2−-225- t ≤0 ⇔ (t+ 15)(t− 15) -----t------≤ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$PICT$

Получаем $− 15≤ t< 0$ и $t≥ 15.$ Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ x ⌊ x ⋆ x< log 10 ⌈− 15≤ 5 − 10< 0 ⇔ ⌈ −5 ≤5 <10 ⇔ |⌈ 5 5x − 10 ≥15 5x ≥ 25 x≥ 2

$⋆$ Решением неравенства $x − 5 ≤5$ является $x ∈ ℝ.$

Ответ: $x∈ (−∞; log510)∪[2;+ ∞ ).$

Ответ:

$(−∞; log 10)∪ [2;+∞ ) 5$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#44610

Решите неравенство

log (log (9− x2)) ≥ 0 tg3,2 3

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 23

Показать ответ и решение

ОДЗ неравенства:

( ( {log3(9− x2)> 0 { 9− x2 > 1 2 √- √- (9 − x2 >0 ⇔ ( 9− x2 > 0 ⇔ 9−x > 1 ⇔ − 2 2 <x < 2 2

Решим неравенство на ОДЗ.

Исследуем основание логарифма $tg3,2.$ Так как $π < 3,2< 5π, 4$ то $0 <tg3,2< 1 :$

$5π о1t3πсg,4ь32 т,а2нгенсов$

Следовательно, неравенство можно переписать в виде (при переходе на аргументы логарифмов знак неравенства меняется на противоположный, так как основание $tg3,2< 1$ ):

log(9− x2)≤ 1 ⇒ 3 2 9− x ≤ 3 ⇔ ⌊ x≥ √6 ⌈ √ - x≤ − 6

Пересечем ответ с ОДЗ:

$PICT$

Следовательно, ответ: $√- √- √ - √ - x ∈ (− 2 2;− 6]∪ [ 6;2 2).$

Ответ:

$(− 2√2;−√6] ∪[√6;2√2)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#44952

Решите неравенство

log (log1(x2− 2))≤ 0 tg0,9 4

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 24

Показать ответ и решение

ОДЗ неравенства:

( ( {log1(x2− 2)> 0 {x2 − 2 < 1 ( 2 4 ⇔ ( 2 ⇔ x − 2 >0 x − 2 > 0 ({ 2 ⌊ √- √ - ⇔ x < 3 ⇔ ⌈ −√-3 < x<√− 2 (x2 > 2 2< x < 3

Решим неравенство на ОДЗ.

Исследуем основание логарифма $tg0,9.$ Так как $π-< 3,2= 0,8, 4 4$ то $π- π- 4 < 0,9 < 2,$ значит, $tg0,9 > 1:$

$о1tπ20π4сg,9ь0 т,9ангенсов$

Следовательно, неравенство можно переписать в виде (при переходе на аргументы логарифмов знак неравенства не меняется на противоположный, так как основание $tg0,9> 1$ ):

( ) log14 x2− 2 ≤ 1 x2 − 2 ≥ 1 4 x2 ≥ 9 ⌊ 4 x≥ 1,5 ⌈ x≤ −1,5

Пересечем ответ с ОДЗ:

$PICT$

Следовательно, ответ:

( ] [ ) x∈ −√3;− 1,5 ∪ 1,5;√3 .

Ответ:

$(− √3;−1,5] ∪[1,5;√3)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#44611

Решите неравенство

log23(x−-1,5)−-1 ≤ 0 2x− 3

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 25

Показать ответ и решение

Ограничения логарифма:

x − 1,5> 0 ⇔ x > 3 2

Преобразуем неравенство

(log3(x-−-1,5)−-1)(log3(x-− 1,5)+-1)≤ 0 ⇔ (log3(x−-1,5)−-1)⋅log3(3x−-4,5) ≤ 0 2x− 3 2x − 2log23

По методу рационализации получаем

(3− 1)(x − 3− 3)(3− 1)(3x − 9− 1) (x− 9)(x − 11) --------(22−-1)(x-− log-3)--2----≤ 0 ⇔ ---x2−-log-3-6- ≤ 0 (⋆) 2 2

Нули числителя и знаменателя: $x =log 3, 1 2$ $x = 9, 2 2$ $x = 11. 3 6$ Так как $x1 ∈(1;2),$ то не определено взаимное расположение $x1$ и $x3.$ Сравним эти числа:

log 3∨ 11 2 6 6 11 log23 ∨ log22 36∨ 211

Так как $36 = 272 < 302 = 900,$ а $211 > 210 = 1024,$ то $36 < 211,$ следовательно, $log23< 11. 6$

Решим неравенство $(⋆)$ методом интервалов:

$PICT$

Отсюда получаем

11 9 x <log23; 6 ≤ x≤ 2

Чтобы пересечь полученные значения с ограничениями, нужно сравнить $log23$ и $3 2 :$

3 log23 ∨2 log2 32 ∨log2 23 32 ∨23

Следовательно, $log23> 3. 2$ Тогда ответ

( ) [ ] x ∈ 3;log23 ∪ 11; 9 2 6 2

Ответ:

$( ) [ ] 3;log 3 ∪ 11-; 9 2 2 6 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#73465

Решите неравенство

----16−-3x--- ≥ 0 log22(x+ 1,5)− 4

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 26

Показать ответ и решение

Ограничения логарифма: $x > −1,5.$ При этих $x$ неравенство равносильно

------------3x−-16----------- ≤ 0 (log2(x+ 1,5)− 2)(log2(x +1,5)+2) x log316 ---(----3-−)-3-------------≤ 0 log2 x+-1,5- ⋅log2(4(x+ 1,5)) 4

Воспользуемся методом рационализации для каждого множителя и числителя, и знаменателя:

(3− 1)(x − log316) ------(x-+1,5---)-------------------≤ 0 (2− 1) --4---− 1 (2− 1)(4(x +1,5)− 1) --x-−-log316---≤ 0 (x− 2,5)(4x + 5)

Заметим, что $log 16= 1 log 162 = 1log 256 > 1log 243 = 1⋅5 3 2 3 2 3 2 3 2$ , т.е. $5 log316> 2$ . Решим полученное неравенство методом интервалов (учитывая, что $x > −1,5$ ):

$−−5lo−+−+ 3 5g316 224$

Следовательно, ответ:

( 3 5) ( 5 ] x ∈ − 2;− 4 ∪ 2;log316

Ответ:

$( ) ( ] − 3 ;− 5 ∪ 5;log 16 2 4 2 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#44612

Решите неравенство

( ) √x-+4- 8− 32+x2 -----x−1--------≤0. 4 − 3

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 27

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ { x+x−41≥ 0 ⇔ x ≥ −4 4 − 3⁄= 0 x ⁄= log412

Исходное неравенство на ОДЗ равносильно совокупности

⌊( √----- |{ x +4 >2 0 ⌊ 2+x2 |||| 8−-32+x-≤ 0 ⇔ | 3x−1−-8-≥0 ⌈( 4x−1− 3 ⌈x4= −−4 3 √x-+-4= 0 ⌊ 32+x2 − 3log38 |⌈4x−1−-4log43 ≥ 0 x= − 4

Решим неравенство из совокупности методом рационализации:

(3 − 1)(x2+ 2− log38) (4−-1)(x−-1−-log4-3)-≥ 0 x2+ log3 9 x-−-log-182 ≥0 4

Поделим неравенство на $x2 +log 9 >0 : 38$

1 x-−-log-12 ≥ 0 4 x> log412

Тогда окончательно получаем

x ∈{− 4} ∪(log412;+∞ ).

Ответ:

${− 4} ∪(log 12;+∞ ) 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#44613

Решите неравенство

4 log (1− 4x)− log√-(−1− x)+ 4log(x2− 1)≤ log x2 0,25 2 4 2

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 29

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( ( ||| x< 1 |||1− 4x >0 |||| 4 |||{ |||{ x⌊< −1 − 1− x> 0 ⇔ x >1 ⇔ x < −1 ||||x2− 1> 0 |||| ⌈ ||(x2 > 0 ||||| x <− 1 |( x⁄= 0

Решим на ОДЗ:

( ) 4⋅ − 1 ⋅log2(1− 4x)− 2log2(−1− x)+ 4⋅ 1 log2(x2− 1) ≤2 log2|x| ⇒ 2 2 − log2(1− 4x) − log2(−1 − x) +log2(x2− 1)≤ log2(−x) ⇒ log (x2− 1)≤ log (− x)+log (1− 4x)+ log (−1− x) ⇒ 2 2 2 2 2 log2(x − 1)≤ log2(−x(1− 4x)(−1 − x)) ⇒ (x − 1)(x+ 1)≤ −x(4x− 1)(x+ 1) ⇒ (x +1)((x − 1) +x(4x− 1))≤ 0 ⇒ (x +1)(4x2− 1) ≤0 ⇒ (x +1)(2x− 1)(2x+ 1)≤ 0

( $|x|$ раскрылся отрицательно, то есть $|x|= − x,$ так как по ОДЗ $x$ — отрицательный)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$PICT$

Получаем $x ≤ −1$ и $− 1≤ x ≤ 1. 2 2$ Пересечем полученные значения $x$ с ОДЗ и получим ответ: $x∈ (−∞;− 1).$

Ответ:

$(−∞; −1)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#15706

Решите неравенство

x x 2 x x (4 − 5⋅2 ) − 20 (4 − 5 ⋅2 )≤ 96

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 31

Показать ответ и решение

x x 2 x x (4 − 5⋅2 ) − 20 (4 − 5 ⋅2 )≤ 96

Пусть $t= 2x,$ тогда неравенство примет вид:

2 2 2 (t − 5t)− 20(t− 5t)− 96 ≤ 0

Разложим левую часть на множители как квадратный трехчлен относительно выражения $(t2 − 5t):$

2 2 ((t− 5t)− 24)((t − 5t) +4)≤ 0

Заметим, что $t2− 5t− 24 = (t+ 3)(t− 8),$ а $t2− 5t+ 4= (t− 1)(t− 4).$ Тогда имеем

(t+ 3)(t− 8)(t− 1)(t− 4)≤ 0

Отсюда по методу интервалов получаем

t∈[−3;1]∪[4;8]

При $− 3≤ t≤ 1$ получим $x − 3 ≤ 2 ≤ 1,$ откуда $x≤ 0.$

При $4≤ t≤ 8$ получим $4≤ 2x ≤8,$ откуда $2≤ x≤ 3.$

Объединяя, получаем решения исходного неравенства: $x≤ 0; 2 ≤ x≤ 3.$

Ответ:

$(−∞; 0]∪[2;3]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#44957

Решите неравенство

(25x− 4⋅5x)2+ 8⋅5x <2 ⋅25x +15

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 32

Показать ответ и решение

Неравенство равносильно

(25x− 4⋅5x)2− 2 (25x− 4⋅5x)− 15< 0

Сделаем замену $t =25x − 4 ⋅5x.$ Тогда неравенство примет вид

t2− 2t− 15 <0 (t+ 3)(t− 5)< 0 −3 < t< 5

Сделаем замену $5x = y.$ Тогда $t= y2− 4y.$ Перейдем к переменной $y :$

( ( {y2− 4y < 5 {(y+ 1)(y − 5)< 0 ( 2 ⇔ ( y − 4y > − 3 (y− 1)(y − 3)> 0 ( |||{−⌊1 < y < 5 ⌊− 1< y < 1 y > 3 ⇔ ⌈ |||(⌈ 3 < y < 5 y < 1

Сделаем обратную замену:

⌊ x ⌊ ⌈− 1< 5 < 1 ⇔ ⌈x< 0 3 < 5x < 5 log53 <x < 1

Тогда окончательно получаем

x∈ (−∞; 0)∪(log 3;1) 5

Ответ:

$(−∞; 0)∪(log 3;1) 5$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#15711

Решите неравенство

8lg(−1−x) ≤ (x2 − 1)lg2

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 34

Показать ответ и решение

Ограничение данного неравенства:

− 1− x > 0 ⇔ − 1 > x

Заметим, что на ОДЗ справедливо:

x2 − 1 > 0

Тогда воспользуемся свойствами логарифма:

lg(−1− x)3 lg(x2−1) 2 ≤ 2

Рационализируем, учтя, что основание показательной функции $> 1$ :

(− 1− x)3 ≤ x2 − 1 − (x +1)3 − (x − 1)(x+ 1) ≤ 0 3 (x + 1) + (x − 1)(x + 1) ≥ 0 (x+ 1)(x2 + 2x+ 1 + x− 1) ≥ 0 2 (x+ 1)(x + 3x) ≥ 0 x (x + 1)(x + 3) ≥ 0

Методом интервалов (с учётом ограничений):

$PICT$

Таким образом получаем: $x ∈ [− 3;− 1)$ .

Ответ:

$x ∈ [− 3;− 1)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#44614

Решите неравенство

7log17 log12(− x) < 2log12 log17(−x)

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 35

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( ( ||log1(−x)> 0 || −x <1 |{ 2 |{ ||− x> 0 ⇔ || −x >0 ⇔ −1< x < 0 |(log1(−x)> 0 |( −x <1 7

Решим неравенство на ОДЗ. Преобразуем его к виду

( ) −1 ( )−1 7− log7log12(−x) < 2− log2log17(−x) ⇔ 7log7log12(−x) < 2log2log17(−x)

Воспользуемся формулой $logab a = b,$ которая верна при $a> 0,$ $a⁄= 1,$ $b > 0$ (что выполнено на нашей ОДЗ). Тогда неравенство можно преобразовать

( )−1 ( )−1 log12(−x) < log17(−x)

Воспользуемся формулой $log b= --1--= (log a)−1, a logba b$ которая верна при $a > 0,$ $a⁄= 1,$ $b> 0,$ $b ⁄=1$ (что выполнено на нашей ОДЗ):

1 1 log−x 2 < log−x7

На ОДЗ $− 1 < x< 0,$ следовательно, $0< −x < 1,$ значит, неравенство равносильно

1> 1 2 7

Получили верное неравенство. Следовательно, решением исходного неравенства будет ОДЗ. То есть ответ $x∈ (−1;0).$

Ответ:

$(−1;0)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#17142

Решите неравенство

log1log3(−2x) log1 log5(−2x) 5 5 <3 3 .

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 36

Показать ответ и решение

По свойствам логарифма исходное неравенство равносильно:

$pict$

Последний переход корректен, так как первое неравенство системы выполняется при всех $x$ из ОДЗ: $− 2x> 1,$ ведь основание логарифма левой части больше основания логарифма правой части, а аргументы равны.

Ответ:

$(−∞; −0,5)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#73462

Решите неравенство

|log (x + 1)2− 2|+ |log(2x+ 3)− 1|≤ 3 4 2

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 36

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

( ({ 2 |{ x> − 3 (x+ 1) > 0 ⇔ 2 (2x +3 > 0 |( x⁄= −1

Для того, чтобы раскрыть модули, нужно определить, при каких $x$ подмодульное выражение больше нуля, а при каких — меньше.

Рассмотрим первый модуль:

log (x +1)2− 2> 0 4 log4(x +1)2 > 2 (x+ 1)2 > 42 |x+ 1|> 4 ⌊x >3 ⌈ x <− 5

Следовательно, с учетом ОДЗ первое подмодульное выражение при $x> 3$ положительно, а при $− 32 < x< 3,x⁄= −1$ — отрицательно.

Рассмотрим второй модуль:

log (2x +3)− 1> 0 2 log2(2x +3)> 1 2x+ 3 >2 x > − 1 2

Следовательно, с учетом ОДЗ второе подмодульное выражение при $x> − 1 2$ положительно, а при $3 1 − 2 < x< −2,x ⁄= −1$ — отрицательно.

Рассмотрим промежутки, где каждое из двух подмодульных выражений принимает значение одного определенного знака:

$31 −2−1−23−−−−−+++$

Первый знак соответствует знаку первого подмодульного выражения, второй — второму.

Рассмотрим неравенство на каждом отдельно взятом промежутке.

$− 3< x <− 1,x⁄= − 1: 2 2$

− log(x+ 1)2+ 2− log (2x +3)+ 1 ≤3 4 2 log4(x +1)2+ log4(2x + 3)2 ≥ 0 log ((x+ 1)(2x + 3))2 ≥ 0 4 2 ((x+ 1)(2x+ 3)) ≥ 1 (2x2+ 5x + 3)2 ≥ 1 ⌊ ⌈ 2x2+ 5x+ 3≥ 1 ⇔ 2x2+ 5x+ 3≤ −1 ( ) (x+ 2) x+ 1 ≥ 0 ⌊ 2 x≥ − 1 |⌈ 2 x≤ − 2

Пересекая полученные значения $x$ с $− 3 < x< − 1,x⁄= − 1, 2 2$ получаем $x∈ ∅.$

$− 1≤ x ≤3 : 2$

2 − log4(x+ 1) + 2+ log2(2x +3)− 1 ≤3 − log4(x+ 1)2+ log4(2x +3)2 ≤ 2 ( )2 log4 2x-+3 ≤ 2 x+ 1 ( 2x+ 3)2 2 x-+1- ≤4 − 4 ≤ 2x+-3≤ 4 x+ 1

При $− 1 ≤ x≤ 3 2$ имеем $x +1 > 0,$ следовательно, можно умножить обе части полученного двойного неравенства на $x+ 1 :$

− 4(x +1)≤ 2x +3 ≤4(x+ 1) ⇔ x ≥− 1 2

Пересекая полученные $x$ с $1 − 2 ≤ x≤ 3,$ получаем $[ ] 1 x ∈ − 2;3 .$

$x > 3:$

2 log4(x+ 1) − 2+ log2(2x + 3)− 1 ≤3 log4(x+ 1)2+ log4(2x + 3)2 ≤ 6 2 log4((x+ 1)(2x +3)) ≤ 6 ((x+ 1)(2x+ 3))2 ≤46 =642 2 −( 64≤ 2x + 5x+ 3≤ 64 { 2x2+ 5x− 61≤ 0 ( 2 2x +√-5x+ 67≥ 0 √ --- −-5−--513 −5+---513- 4 ≤ x ≤ 4

Пересекая полученные $x$ с $x> 3,$ получаем $( √ ---] x ∈ 3; −5+--513- . 4$

В итоге получаем ответ $√--- [ 1 −5+--513] x∈ −2 ; 4 .$

Ответ:

$[ √---] − 1; −-5+-513 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#73466

Решите неравенство

log2(x4)− 4log (x2)≥ 12 2 0,25

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 27

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

( {x4 > 0 ( 2 ⇔ x ⁄= 0 x > 0

Решим неравенство на ОДЗ.

4 log22(x4)− −2-log2(x2) ≥12 log22(x4)+ log2(x4) ≥12

Пусть $log2(x4)= t.$ Тогда неравенство примет вид

⌊ 2 ⌈t≤ −4 t + t− 12 ≥0 ⇔ t≥ 3

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ ⌊ − 1 ≤ x≤ 1 log(x4)≤ −4 x4 ≤-14 || 2 2 ⌈ 2 4 ⇒ |⌈ 2 ⇔ || x≤ − 4√8 log2(x )≥ 3 x4 ≥ 23 ⌈ 4√ - x≥ 8

Учитывая ОДЗ, получаем ответ:

4√- √4- x∈ (−∞; 8]∪ [− 0,5;0)∪(0;0,5]∪ [ 8;+∞ )

Ответ:

$(−∞; 4√8]∪ [− 0,5;0)∪ (0;0,5]∪ [4√8;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#44615

Решите неравенство

25 ⋅412− 2x − 133⋅10− 2x +4 ⋅51−x4≤ 0

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 29

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство

25 ⋅2⋅(2− 2x)2− 133⋅2− 2x ⋅5− 2x + 4⋅5⋅(5− 2x)2 ≤ 0

Разделим обе части неравенства на положительное $( − 2)2 5 x :$

( ( )− 2x)2 ( )− 2x 50 2 − 133 ⋅ 2 + 20≤ 0 5 5

Сделаем замену $( ) − 2x 25 =q,$ тогда получим квадратичное неравенство

50q2− 133q +20 ≤0

Найдем корни квадратичного трехчлена $50q2− 133q +20.$ Для этого найдем его дискриминант:

D = 1332− 4⋅50⋅20 =17689− 4000= 13689= 9⋅1521 =9⋅9⋅169 =(9⋅13)2 = 1172

Тогда

133-±117- 5 -4 q = 100 ⇒ q1 = 2, q2 = 25

Тогда решением квадратичного неравенства будут $4- 5 25 ≤ q ≤ 2.$ Сделаем обратную замену, заметив, что $( 2)− 2x (5) 2x 5 = 2 :$

( )2x 4-≤ 5 ≤ 5 ⇔ − 2≤ 2 ≤ 1 25 2 2 x

Данное неравенство равносильно

( ( ||2 || 2-− x {x ≤ 1 ⇔ { x ≤ 0 ||(2 ||( 1-+x- x ≥ −2 x ≥ 0

Решим каждое неравенство методом интервалов и пересечем их решения:

$PICT$

Следовательно, ответ $x∈ (−∞; −1]∪[2;+∞ ).$

Ответ:

$(−∞; −1]∪ [2;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#44956

Решите неравенство

x2log (−x − 3) ≥log(x2+ 6x+ 9) 243 3

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 32

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

( ( {− x− 3> 0 {− x− 3> 0 ( 2 ⇔ ( 2 ⇔ x +6x +9 > 0 (x+ 3) > 0

( { −x− 3> 0 ⇔ ( x+ 3⁄= 0 ⇔ x < −3

Решим неравенство на ОДЗ.

x2 ⋅log35(−x − 3)− 2log3|x +3|≥ 0 ⇒ x2 5-⋅log3(−x− 3)− 2log3(−x − 3)≥ 0 ⇒ (x2 ) -5 − 2 log3(−x− 3)≥ 0 ⇒ 2 (x − 10)log3(−x− 3)≥ 0

Применив метод рационализации для логарифма, получим

(x2− 10)(3 − 1)(−x− 3− 1)≥ 0 ⇔

√-- √-- ⇔ (x+ 10)(x − 10)(x +4)≤ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$PICT$

Получаем $x ≤ −4$ и $√-- √ -- − 10≤ x ≤ 10.$

Пересечем полученное множество с ОДЗ и окончательно получим

√-- x∈ (− ∞;− 4]∪ [− 10;−3)

Ответ:

$(−∞; −4]∪ [−√10;− 3)$

15.02 Задачи №15 из сборника И.В. Ященко