Тема 15. Решение неравенств

15.02 Задачи №15 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#105047

Решите неравенство

1− 8x − 4x 2− 16x- 16 ⋅5 − 189⋅20 +25 ⋅2 ≤0.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 1

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

− 8x − 4x − 4x 1− 8x 16⋅5⋅5 − 189⋅5 ⋅4 + 25⋅4 ≤ 0 80⋅(5− 4x)2− 189⋅5− 4x ⋅4− 4x + 100⋅(4− 4x)2 ≤ 0

Разделим обе части на положительное $( − 4x)2 4 :$

( )2 (5) − 4x ( 5)− 4x 80⋅ 4 − 189⋅ 4 + 100≤ 0.

Сделаем замену $( ) 4 t = 5 − x > 0. 4$ Тогда неравенство примет вид

80t2− 189t+100 ≤0.

Решим сопутствующее уравнение:

80t2− 189t+100 =0.

Найдем дискриминант:

2 D =189 − 4⋅80⋅100= = 35721− 32000= 3721= 612.

Тогда

⌊t= 25 t= 189±-61- ⇒ |⌈ 16 160 t= 4 5

Значит, неравенство

2 80t− 189t+ 100 ≤ 0

равносильно

4≤ t≤ 25. 5 16

Сделаем обратную замену:

( )− 4 4 ≤ 5 x ≤ 25 5 4 16 ( )−1 ( )− 4x ( )2 5 ≤ 5 ≤ 5 4 4 4 −1 ≤− 4 ≤ 2 x

Данное двойное неравенство равносильно системе:

( 4 ( x− 4 |{− 1≤ − x |{ --x--≥ 0 | 4 ⇔ | x+ 2 (− x ≤ 2 ( --x--≥ 0

Решим каждое неравенство методом интервалов и пересечем их решения:

$PICT$

Следовательно,

x∈ (−∞;− 2]∪[4;+ ∞).

Ответ:

$(−∞; −2]∪ [4;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#105048

Решите неравенство

1− 3x − 3x 2− 6x 3⋅25 − 152 ⋅15 + 5⋅3 > 0.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 2

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

( 2)− 3x − 3 − 3 − 6 3 ⋅25 ⋅5 − 152⋅5 x ⋅3 x + 5 ⋅9 ⋅3 x > 0 ( − 3x)2 − 3x − 3x ( − 3x)2 75⋅ 5 − 152 ⋅5 ⋅3 + 45 ⋅ 3 > 0

Разделим обе части на положительное $( − 3)2 3 x :$

( ) ( 5)− 3x 2 (5) − 3x 75⋅ 3 − 152⋅ 3 + 45> 0.

Сделаем замену $( 5)− 3x t = 3 > 0.$ Тогда неравенство примет вид

75t2 − 152t+ 45> 0.

Решим сопутствующее уравнение:

75t2 − 152t+ 45= 0.

Найдем $D- 4$ :

D-= 762 − 75 ⋅45 = 4 2 = 5776− 3375 =2401= 49 .

Тогда

⌊ 76± 49 t= 9- t= --75-- ⇒ |⌈ 255 t= 3

Значит, неравенство

75t2− 152t+ 45> 0

равносильно совокупности

⌊t< -9 |⌈ 25 t> 5 3

Сделаем обратную замену:

$pict$

Решим каждое неравенство методом интервалов и объединим их решения:

$PICT$

Следовательно,

x ∈(−3;0)∪(0;1,5).

Ответ:

$(−3;0)∪(0;1,5)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#105052

Решите неравенство

x x x−1 x−1 2 ⋅log3x+ 3 ⋅log2 x≤ 2⋅3 ⋅log3x + 3⋅2 ⋅log2x.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 3

Показать ответ и решение

Заметим, что $x> 0.$ Тогда преобразуем неравенство:

2x⋅log x+ 3x⋅log x − 2 ⋅3x−1⋅log x− 3⋅2x−1 ⋅log x≤ 0 3 ( 2 ) 3( ) 2 log3x⋅ 2x− 2⋅3x−1 − log2x⋅ 3⋅2x−1− 3x ≤ 0 ( x−1 x−1) ( x−1 x−1) 2log3x⋅ 2 − 3 − 3log2x ⋅2 − 3 ≤ 0 (2log3x− 3log2x)(2x−1− 3x−1)≤ 0 ( x−1 x−1) (2 log3x− 3⋅log2 3⋅log3x)⋅ 2 − 3 ≤ 0 ( x− 1 log23⋅(x−1)) (2 − 3 log23)⋅log3x ⋅ 2 − 2 ≤ 0

Поймем, какого знака число $2− 3log23 :$

log23 > log22= 1 3log 3 > 3 2

Значит,

2− 3log 3< 0. 2

Тогда поделим на него, поменяв знак неравенства:

( ) log3x ⋅ 2x−1− 2log23⋅(x−1) ≥ 0.

Применим метод рационализации:

(3 − 1)⋅(x− 1)⋅(2− 1)⋅((x− 1)− log 3⋅(x− 1))≥ 0 2 (x − 1)⋅(x− 1)⋅(1− log23)≥ 0

Так как $log23> 1,$ то $1 − log23< 0.$ Тогда поделим неравенство на данный множитель, поменяв знак неравенства на противоположный:

2 (x − 1) ≤ 0 x =1

Ответ:

${1}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#105054

Решите неравенство

x x x−1 x−1 3 ⋅log5x+ 5 ⋅log3 x> 3⋅5 ⋅log5 x+ 5⋅3 ⋅log3x.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 4

Показать ответ и решение

Заметим, что $x> 0.$ Тогда преобразуем неравенство:

3x⋅log x +5x ⋅log x> 3⋅5x−1 ⋅log x+ 5⋅3x−1⋅log x 5 3 5 3 3x⋅log5x+ 5x⋅log3x − 3 ⋅5x−1⋅log5x− 5⋅3x−1 ⋅log3x> 0 ( x x−1) ( x−1 x) log5x⋅ 3 − 3⋅5 − log3x⋅ 5⋅3 − 5 > 0 3log5x⋅(3x−1− 5x−1)− 5log3x ⋅(3x−1− 5x−1)> 0 ( x−1 x−1) (3log5x− 5log3x) 3 − 5 > 0 (3log x − 5⋅log 5⋅log x)(3x−1 − 5x−1)> 0 5 3 ( 5 ) (3 − 5 log35)⋅log5x ⋅ 3x− 1− 3 log35⋅(x−1) > 0

Поймем, какого знака число $3− 5log35 :$

log5 > log 3= 1 3 3 5log35 > 5

Значит,

3− 5log35< 0.

Тогда поделим на него, поменяв знак неравенства:

( ) log5x ⋅ 3x−1− 3log35⋅(x−1) < 0.

Применим метод рационализации:

(5− 1)(x − 1)(3− 1)((x − 1)− log 5 ⋅(x − 1))< 0 3 (x − 1)(x− 1)(1 − log35)< 0

Так как $log35> 1,$ то $1 − log35< 0.$ Тогда поделим неравенство на данный множитель, поменяв знак неравенства на противоположный:

2 (x − 1) > 0 x ⁄=1

Тогда, так как $x> 0,$ то

x ∈(0;1)∪(1;+∞ ).

Ответ:

$(0;1) ∪(1;+ ∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#105056

Решите неравенство

1x x 2 ⋅5 ≤ 0,1.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 5

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

1x x 2 ⋅5 ≤ 0,1 2 1x ⋅5x⋅10≤ 1 2 1x+1 ⋅5 x+1 ≤ 1 x+1 ( )x+1 2 x ⋅ 2 log25 ≤1 x+1- 2 x ⋅2(x+1)log25 ≤20 x+1+(x+1)log 5 0 2 x 2 ≤ 2

Так как $2> 1,$ то можно перейти на неравенство показателей:

x+-1+ (x+ 1)log25≤ 0 x (x-+-1)(1+-xlog25)≤ 0 x

Заметим, что по свойству логарифмов $log25 ⋅log52= 1.$ Тогда

1+ xlog25 = log25⋅log5 2+ xlog25 =log25(log52+ x).

Тогда, поделив неравенство на $log25 >0,$ получаем

(x+-1)(log52+-x)≤ 0. x

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$x−−0−+−+1log52$

Таким образом,

x ∈(−∞; −1]∪ [− log52;0).

Ответ:

$(−∞; −1]∪ [− log52;0)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#105057

Решите неравенство

2x 1x 2 ⋅5 ≥20.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 6

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

2x 1x 2 ⋅5 ≥ 20 4x ⋅5 1x ≥ 20 4x⋅5 1x ⋅-1 ≥1 20 4x−1⋅5 1x−1 ≥ 1 ( )1 4x−1⋅ 4log45 x−1 ≥1 4x−1⋅4(1x−1)log45 ≥ 40 1 4x−1+(x−1)log45 ≥ 40

Так как $4> 1,$ то можно перейти на неравенство показателей:

( ) x− 1+ 1 − 1 log 5≥ 0 x 4 x(x− 1)− (x− 1)log 5 ---------x-------4- ≥0 (x−-1)(x−-log45) ≥0 x

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$x01lo−+−+g45$

Таким образом,

x∈ (0;1]∪ [log45;+∞ ).

Ответ:

$(0;1]∪ [log45;+ ∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#105058

Решите неравенство

16x+0,5− 4x+1,5 − 4 100 x+1 ------4x−-2----- + 4x−-8 ≥ 4 − 24.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 7

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

16 x+0,5− 4 x+1,5− 4 100 x+1 -----4x−-2------+ 4x−-8 ≥4 − 24 2x+1 x+1,5 4----−-4----−-4+ -100- ≥ 4x+1− 24 4x− 2 4x − 8 4-⋅42x-− 8-⋅4x-− 4 -100- x 4x− 2 + 4x− 8 ≥4 ⋅4 − 24

Сделаем замену $x 4 = t> 0.$ Тогда неравенство примет вид

4t2−-8t−-4+ -100 ≥4t− 24 t− 2 t− 8 t2− 2t− 1 25 --t−-2---+ t−-8 ≥ t− 6 (2 ) -t-− 2t−-1-(t− 8)+-25(t− 2)−-(t−-6)(t−-2)(t−-8)≥ 0 (t− 2)(t− 8) (t− 8)(t2− 2t− 1− (t− 6)(t− 2))+ 25(t− 2) --------------(t−-2)(t−-8)-------------≥ 0 ( 2 2 ) (t− 8)-t-−-2t− 1-− t-+-8t−-12-+25(t−-2)-≥ 0 (t− 2)(t− 8) (t−-8)(6t−-13)+-25(t− 2) (t− 2)(t− 8) ≥ 0 2 6t-−-61t+-104-+25t−-50≥ 0 (t− 2)(t− 8) 6t2−-36t+-54 (t− 2)(t− 8) ≥ 0 2 -t−-6t+-9-≥ 0 (t− 2)(t− 8) --(t−-3)2--- (t− 2)(t− 8) ≥ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$t0238+−−+$

Таким образом,

⌊ |0< t< 2 ⌈t= 3 t> 8

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ 0< 4x < 2 x< 0,5 |⌈ 4x = 3 ⇔ |⌈x= log4 3 4x > 8 x> 1,5

Ответ:

$(−∞; 0,5)∪ {log43}∪ (1,5;+ ∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#105059

Решите неравенство

64x− 41,5x+1 + 1 x 9 ----8x−-4-----≤ 8 − 2+ 8x−-2.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 8

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

64x− 41,5x+1+ 1 x 9 ----8x-− 4----≤ 8 − 2+ 8x-− 2 3 64x−-4⋅4-2x+-1− --9-- ≤8x − 2 8x − 4 8x− 2 82x− 4⋅8x+ 1 9 x ---8x-− 4---− 8x-− 2 ≤ 8 − 2

Сделаем замену $8x = t> 0.$ Тогда неравенство примет вид

t2−-4t+-1-− -9--≤ t− 2 t− 4 t− 2 (t2− 4t+ 1) (t− 2)− 9(t− 4)− (t − 2)2(t− 4) --------------(t−-2)(t−-4)-------------≤ 0 ( 2 ) (t− 2)-t-−-4t-+1-− (t−-2)(t−-4)-− 9(t−-4)≤ 0 (t− 2)(t− 4) (t− 2)(t2− 4t+1 − (t2− 6t+ 8))− 9(t− 4) -------------(t−-2)(t−-4)-------------≤ 0 (t− 2)(2t−-7)-− 9(t−-4)≤ 0 (t− 2)(t− 4) 2t2− 11t+14 − 9t+ 36 -----(t−-2)(t−-4)----≤ 0 2 2t-−-20t+-50 ≤ 0 (t− 2)(t− 4) t2− 10t+ 25 (t−-2)(t−-4) ≤ 0 2 --(t−-5)---≤ 0 (t− 2)(t− 4)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$t0245+−++$

Таким образом,

[2< t< 4 t= 5

Сделаем обратную замену:

⌊ [2 <8x <4 1< x < 2 x ⇔ ⌈ 3 3 8 = 5 x = log85

Ответ:

$( ) 1; 2 ∪ {log 5} 3 3 8$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#105060

Решите неравенство

2 ( 2 ) x ⋅log125(2− 3x)+ log0,2 9x − 12x+ 4 < 0.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 9

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

$pict$

Преобразуем неравенство:

x2⋅log125(2 − 3x)+ log0,2(9x2 − 12x+ 4)< 0 2 2 x ⋅log53(2 − 3x)+ log5−1(2− 3x) < 0 x2 3-⋅log5(2− 3x)− 2log5(2− 3x)< 0 ( 2 ) x-− 2 ⋅log5(2− 3x)< 0 3 (x2− 6)⋅log5(2 − 3x) <0

Воспользуемся методом рационализации для логарифмической функции:

( ) x2− 6 ⋅log5(2 − 3x) <0 ( 2 ) x − 6 (5 − 1)(2− 3x− 1)< 0 (x− √6)(x + √6)(1− 3x)< 0 ( √ -)( √ -)( 1) x − 6 x+ 6 x − 3 > 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$1√√ x−3−+−+6 6$

Получили

⌊ √ - 1 |− 6< x < 3 ⌈ √ - x > 6

Пересекая с ОДЗ $2 x< 3$ получаем итоговый ответ:

( ) x∈ − √6; 1 . 3

Ответ:

$( ) −√6; 1 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#105085

Решите неравенство

( 2 )( 1 ( 2 ) (√- )) 2x + 9x + 10 3 log0,5 x − 5 +log8 5 − x ≥ 0.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 10

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

{ 2 x√-− 5> 0 5− x > 0 { (x − √5)⋅(x+ √5) > 0 √- 5− x > 0 x+ √5 <0 √ - x< − 5

Преобразуем неравенство:

( )( ( ) (√ - )) 2x2+ 9x+ 10 1 log0,5 x2− 5 + log8 5− x ≥ 0 ( 3 ) (2x +5)(x+ 2) 1 log (x2− 5) +log ( √5− x) ≥ 0 3 2−1 23 ( 1 ( ) 1 (√- )) (2x+ 5)(x + 2) −3 log2 x2− 5 + 3 log2 5 − x ≥ 0 ( ( √- ) ) (2x+ 5)(x+ 2) log2 5− x − log2 (x2 − 5) ≥0

Применим метод рационализации:

((√ - ) ( )) (2x + 5)(x+ 2)(2− 1) 5− x − x2− 5 ≥ 0 ((√- ) ( √-) ( √-)) (2x + 5)(x+ 2) 5 − x − x− 5 x+ 5 ≥ 0 (√ - )( √ -) (2x+ 5)(x +2) 5− x 1 +x + 5 ≥ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$√√ x−−−−+−+−225,55− 1$

Получили

x ∈[− √5− 1;−2,5] ∪[−2;√5] .

Пересекая с ОДЗ $x< −√5$ получаем итоговый ответ:

[ √ - ] x∈ − 5− 1;− 2,5 .

Ответ:

$[ √- ] − 5− 1;−2,5$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#73461

Решите неравенство

2 −2√x + 32 ⋅10 2−√x-> 29−2√x + 625 ⋅10− 2−√x.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 11

Показать ответ и решение

Обозначим $2−2√x = a,$ $10−√x = b.$ Тогда неравенство примет вид

a + 32 ⋅102b− 29a− 625⋅-1-b> 0 100 ( 9) (625 ) 1− 2 a> 100 − 3200 b ( ) 4 9 4 1− 29 a> 5-−22-⋅25-b 2 ⋅5 (1 − 29)a > (1 − 29)⋅ 52 b 22

Так как $( 9) 1− 2 < 0$ и $b> 0,$ то имеем:

a (2) −2 b < 5 .

Сделаем обратную замену:

√- ( ) √- ( ) √- a 2−-2x- -4 − x 2 − x b = 10−√x = 10 = 5 .

Тогда

( )− √x ( )−2 2 < 2 5 5 (5) √x (5 )2 2 < 2 √x < 2 0 ≤ x< 4

Ответ:

$[0;4)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#105086

Решите неравенство

2√x− 10 √x−4 2√x √x−6 3 + 6561⋅12 < 3 + 16⋅12 .

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 12

Показать ответ и решение

Обозначим $√- 32 x = a,$ $√- 12 x = b.$ Тогда неравенство примет вид

1-- -1- -1- 310a+ 6561⋅124b− a− 16⋅126b< 0 1 38 42 310a+ 34⋅44b− a− 36⋅46b< 0 4 -1a + 3-b− a− --1--b< 0 310 44 36⋅44 -1- -1--- 34- 310a− a< 36 ⋅44b − 44b ( 1 ) ( 1 34) 310 − 1 a < 36⋅44 − 44 b ( ) ( ) -1-− 1 a< --34--− 34 b 310 44⋅310 44 ( 1 ) ( 1 ) 34 310 − 1 a< 310 − 1 ⋅44b

Так как $( ) -1-− 1 < 0 310$ и $b >0,$ то имеем:

( )4 a< 3 . b 4

Сделаем обратную замену:

√- ( )√x ( ) √x a = 32√x-= 9- = 3 . b 12 x 12 4

Тогда

( ) √- ( ) 3 x < 3 4 4 4 √x < 4 0≤ x < 16

Ответ:

$[0;16)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#105076

Решите неравенство

|| 2 || log4(x +1) − 2 +|log2(2x+ 3)− 1|≤ 3.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 13

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

{ 2 {x ⁄=− 1 (x + 1) > 0 ⇔ 2x+ 3> 0 x >− 1,5

Раскроем модули. Для этого найдем, когда выражения в них обращаются в 0.

2 log4(x +1) − 2= 0 log4(x+ 1)2 = 2 (x+ 1)2 = 42 2 2 (x +1) − 4 = 0 (x+ 1− 4)(x +1 +4)= 0 (x− 3)(x +5)= 0 [x= 3 x= −5

Заметим, что по ОДЗ значение $x= − 5$ не подходит.

Рассмотрим второй модуль:

log2(2x+ 3)− 1= 0 log2(2x+ 3)= 1 2x+ 3= 2 2x= − 1 x= −0,5

Изобразим числовую прямую и отметим на ней ОДЗ и промежутки раскрытия модуля.

$x−−−3++−+−−131 22$

Таким образом, получаем:

При $x≥ 3:$ оба подмодульных выражения положительны.
При $[ 1 ) x∈ − 2;3 :$ первое подмодульное выражение отрицательно, а второе положительно.
При $( ) x∈ − 3;− 1 ∖ {− 1}: 2 2$ оба подмодульных выражения отрицательны.

Рассмотрим каждый из случаев по отдельности:

1.

$x≥ 3:$ так как при данных значениях $x$ выражение $x+ 1$ строго положительно, то неравенство примет вид:

log2(x +1)− 2+ log2(2x+ 3)− 1≤ 3 log2(x +1)+ log2(2x+ 3)≤ 6 log2(x+ 1)(2x +3)≤ 6 (x+ 1)(2x +3)≤ 64 2 2x + 5x− 61≤ 0

В левой части парабола, а значит данное неравенство выполнено на значениях $x,$ расположенных «между корнями» данной параболы:

D = 52+ 4⋅61⋅2 =25 +488= 513 √--- x1,2 = −5±--513- 4

Таким образом получаем, что $--- --- [−-5−-√513 −5-+√-513] x∈ 4 ; 4 .$ Теперь вспомним, что мы работаем в случае $x ≥3,$ поэтому нужно сравнить концы полученного отрезка с 3. Сравним правый конец:

√--- −-5+--513 ∨3 4√ --- −5√+--513∨ 12 513 ∨17 513> 289

Значит, $√ --- −5+---513- 3 < 4 .$

Заметим, что левой конец отрезка отрицательный, тогда в данном случае итогом будет

[ −5 +√513-] x∈ 3;----4---- .

2.

$[ 1 ) x∈ −2;3 :$ так как при данных значениях $x$ выражение $x+ 1$ снова строго положительно, то неравенство примет вид:

2− log2(x +1)+ log2(2x+ 3)− 1≤ 3 ( 2x+ 3) log2 x-+1- ≤ 2 2x+-3 ≤ 4 x+ 1 2x-+-3−-4x−-4≤ 0 x+ 1 2x+-1 ≥ 0 x+ 1

По методу интервалов:

$x−−+−+11 2$

Таким образом, мы понимаем, что промежуток $[ ) − 1;3 2$ полностью содержится среди решений данного неравенства, значит, неравенство верно для всех

[ 1 ) x∈ − 2;3 .

3.

$( 3 1) x∈ − 2;−2 ∖{− 1} :$ в данном случае мы уже не можем утверждать, что $x+ 1$ будет строго больше нуля, и тем самым мы не можем избавиться от степени, неравенство примет вид:

2 2− log4(x+ 1) + 1− log2(2x +3)≤ 3 log4(x+ 1)2+ log2(2x +3)≥ 0

Покажем, что данное неравенство не выполняется ни для каких $( ) x∈ − 3;− 1 ∖{− 1}. 2 2$

Пусть $f(x)= log2(2x + 3),$ $g(x)= log4(x+ 1)2,$ покажем, что $f(x)+g(x)< 0:$

$f(x)$ — монотонно возрастающая функция, значит, для любого $( ) x∈ − 3;− 1 ∖{−1} 2 2$ верно, что
$( 1) ( 1 ) f(x)< f − 2 = log2 − 2⋅2 +3 = 1.$
Исследуем на монотонность $g(x) =log4(x +1)2 :$
$g′(x)= --2(x-+2-1)--. (x+ 1) ⋅ln4$
Таким образом, мы понимаем, что данная функция является монотонно возрастающей при $x > −1$ и монотонно убывающей при $x< −1,$ причем, заметим, что $g(x)$ симметрична относительно прямой $x= −1,$ отсюда получаем, что для любого $( ) x ∈ − 3;− 1 ∖{−1} 2 2$ верно
$( ) ( )2 g(x)< g − 1 = log − 1 + 1 = log 1= −1. 2 4 2 4 4$

Отсюда, мы получаем, что для любого $( ) x∈ − 3;− 1 ∖{− 1} 2 2$ верно, что

( 1) ( 1) f(x)+ g(x)< f −2 + g − 2 = 1− 1= 0.

Следовательно, данное неравенство не выполняется при данных значениях $x.$

Итогом является объединение промежутков из первых двух случаев, то есть

[ √---] x∈ −0,5; −-5+-513 . 4

Ответ:

$[ √ --- ] − 0,5;--513-− 5 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#105077

Решите неравенство

|| 2 || log9(2x+ 1) − 1 − |log3(1− x)− 3|≥ 1.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 14

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

{ 2 {x ⁄= −0,5 (2x+ 1) > 0 ⇔ 1 − x > 0 x< 1

Раскроем модули. Для этого найдем, когда выражения в них обращаются в 0.

2 log9(2x+ 1) − 1 =0 log9(2x +1)2 = 1 (2x +1)2 = 91 2 2 (2x+ 1) − 3 = 0 (2x+ 1− 3)(2x +1 +3)= 0 (x− 1)(x +2)= 0 [x= 1 x= −2

Заметим, что по ОДЗ значение $x= 1$ не подходит.

Рассмотрим второй модуль:

log3(1− x)− 3 = 0 log3(1− x)= 3 1− x =27 x= − 26

Изобразим числовую прямую и отметим на ней ОДЗ и промежутки раскрытия модуля.

$x1−−−−−+−++ 022,56$

Таким образом, получаем:

При $x≤ −26 :$ оба подмодульных выражения положительны.
При $x∈ (− 26;− 2]:$ первое подмодульное выражение положительное, а второе отрицательно.
При $x ∈ (− 2;1)∖{− 0,5}:$ оба подмодульных выражения отрицательны.

1.

$x≤ −26 :$ так как при данных значениях $x$ выражение $2x+ 1$ отрицательно, то неравенство примет вид:

log (−2x− 1)− 1− log (1− x)+3 ≥ 1 3 3 log3 2x+-1 ≥ −1 x− 1 2x+-1 ≥ 1 x − 1 3 6x+-3−-x+-1- x− 1 ≥ 0 x+ 0,8 -x−-1-≥ 0

По методу интервалов:

$x−1+−+0,8$

Таким образом, в данном случае получаем: $x∈ (− ∞;− 26].$

2.

$x∈ (− 26;− 2]:$ так как при данных значениях $x$ выражение $2x+ 1$ отрицательно, то неравенство примет вид:

log3(−2x− 1)− 1+ log3(1− x)− 3 ≥ 1 log3(2x+ 1)(x − 1)≥ 5 (2x + 1)(x− 1)≥ 243 2x2− x− 244≥ 0

В левой части парабола, значит, решением данного неравенства будут лучи, которые расположены по разные стороны от корней параболы:

D = 1+ 2⋅4 ⋅244 =1953 1± 3√217 x1,2 = ---4-----

Таким образом, решением данного неравенства является

( 1− 3√217] [1 + 3√217- ) x∈ −∞; ----4---- ∪ ----4----;+∞ .

Но так как мы рассматриваем только $x∈ (−26;−2],$ то второй луч не подходит. Сравним конец первого луча с концами отрезка:

√ --- √ --- √--- 1-− 3-225-< 1−-3--217-< 1−-3-196- 4 4 4 1 − 3 ⋅15 1− 3√217- 1− 3⋅14 ---4--- < ----4----< ---4--- √ --- −11< 1-−-3-217< −101 4 4

Таким образом, в данном случае

( √ ---] x∈ − 26; 1-−-3-217 . 4

3.

$x∈ (− 2;1)∖ {−0,5} :$ в данном случае выражение $2x+ 1$ может принимать как положительные, так и отрицательные значение, поэтому разобьем на два случая, но перед этим преобразуем неравенство:

− log |2x +1|+ 1+ log (1− x)− 3 ≥ 1 3 3 log -1-− x ≥ 3 3|2x+ 1| -1−-x- |2x+ 1| ≥ 27

$x> −0,5:$ тогда неравенство примет вид
$1−-x-≥ 27 2x+ 1 −55x−-26- 2x+ 1 ≥ 0 26 x+-55- 2x+ 1 ≤ 0$
По методу интервалов:

$26 x−−+−+0,555$

Таким образом, в данном случае подходят $( ] x∈ − 0,5;− 26 . 55$
$x< −0,5:$ тогда неравенство примет вид
$x-− 1 2x+ 1 ≥ 27 −53x− 28 -2x+-1--≥ 0 28 x+ 53 2x+-1-≤ 0$
По методу интервалов:

$28 x−−+−+0,553$

Таким образом, в данном случае подходят $[ ) x∈ − 28-;− 0,5 . 53$

Объединяя все результаты, получаем:

( 1 − 3√217-] [ 28 ) ( 26] x∈ − ∞;----4---- ∪ − 53;−0,5 ∪ −0,5;− 55 .

Ответ:

$( √---] [ ) ( ] −∞; 1−-3-217- ∪ − 28;− 0,5 ∪ −0,5;− 26- 4 53 55$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#73463

Решите неравенство

2 4 8 9log8(4− x) +5 log0,5(4 − x) ≤ 56.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 15

Показать ответ и решение

ОДЗ неравенства:

{ 4 (4 − x)8> 0 ⇔ x⁄= 4 (4 − x)> 0

Решим неравенство на ОДЗ.

( )2 9⋅ 1 log2(4 − x)4 + -5-⋅2log2(4− x)4 ≤ 56 3 − 1 log22(4− x)4− 10log2(4− x)4 ≤ 56

Сделаем замену $t =log2(4− x)4.$ Тогда неравенство примет вид

t2− 10t ≤56 2 t − 10t+25 ≤81 (t− 5)2 ≤92 |t− 5|≤ 9 − 9≤ t− 5≤ 9 −4≤ t≤ 14

Сделаем обратную замену:

$pict$

Таким образом,

[ √- ] [ √- ] x∈ −8 2 +4;3,5 ∪ 4,5;8 2 +4 .

Ответ:

$[ √- ] [ √ - ] − 8 2+ 4;3,5 ∪ 4,5;8 2+ 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#105061

Решите неравенство

2 4 12 log0,2(x+ 5)− 4log25(x+ 5) ≥40.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 16

Показать ответ и решение

ОДЗ неравенства:

{ 4 (x + 5)1>2 0 ⇔ x ⁄= −5 (x + 5) > 0

Решим неравенство на ОДЗ.

( ) (−1)log5(x+ 5)4 2− 4 ⋅3⋅log5(x+ 5)4 ≥40 2 4 2 4 log5(x+ 5) − 6log5(x+ 5) ≥40

Сделаем замену $4 t =log5(x +5) .$ Тогда неравенство примет вид

t2− 6t≥ 40 t2− 6t+9 ≥ 49 (t− 3)2 ≥72 [|t− 3|≥ 7 t− 3≤ − 7 t− 3≥ 7 ⌊ t≤ −4 ⌈t≥ 10

Сделаем обратную замену:

$pict$

Таким образом,

( √ ] [ √ - ) x∈ −∞; −5 − 25 5 ∪[−5,2;−5)∪ (−5;−4,8]∪ 25 5− 5;+∞ .

Ответ:

$( √ -] [ √- ) − ∞;− 5− 25 5 ∪[−5,2;− 5)∪(−5;−4,8]∪ 25 5− 5;+∞$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#105078

Решите неравенство

log3(3− x)− log3(3x+ 2) --log2x2-+2log-x4+-4- ≥ 0. 3 3

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 17

Показать ответ и решение

Преобразуем знаменатель:

log2x2+ 2log x4+ 4 =log2x2+ 4log x2+ 4 = 3 3 3 3 = (log3x2)2+ 2⋅2⋅(log3x2)+ 22 = (log3x2+ 2)2.

Тогда исходное неравенство равносильно неравенству

log3(3−-x)−-log3(3x+-2) (log3x2+ 2)2 ≥ 0.

Найдем ОДЗ

( ( ( ||x < 3 ||| 3− x> 0 |||x < 3 ||||| 2 { 3x+ 2> 0 {3x >− 2 {x > −3 ||| x2 > 0 ⇔ |||x ⁄= 0 ⇔ |||x ⁄= 0 ( log3x2+ 2⁄= 0 (x2 ⁄= 3−2 |||| 1 (x ⁄= ±3

Таким образом,

( ) ( ) ( ) ( ) x∈ − 2;− 1 ∪ − 1;0 ∪ 0; 1 ∪ 1;3 . 3 3 3 3 3

Преобразуем неравенство:

log3(3-− x)−-log3(3x+-2)≥ 0 (log3x2 +2)2 ( 3 − x ) log3 3x+-2 (log-x2-+2)2-≥ 0 3

Заметим, что на ОДЗ $( ) log3 x2+ 2 > 0,$ поэтому полученное неравенство равносильно неравенству

log3 3-− x-≥ 0 3x+ 2 3−-x-≥ 30 3x+ 2 -3−-x 3x+ 2 ≥ 1 3− x 3x-+-2 − 1≥ 0 1−-4x ≥ 0 3x+ 2 4x−-1 ≤ 0 3x+( 2 ] 2 1 x ∈ −3;4

Пересечем полученные значения $x$ с ОДЗ и получим:

( ) ( ) ( ] x∈ − 2;− 1 ∪ − 1;0 ∪ 0; 1 . 3 3 3 4

Ответ:

$( ) ( ) ( ] − 2 ;− 1 ∪ − 1;0 ∪ 0; 1 3 3 3 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#105087

Решите неравенство

log5(3− 2x)− log5(x+ 2) ---log2x2+-log-x4+-1-- ≥ 0. 5 5

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 18

Показать ответ и решение

Преобразуем знаменатель:

log2x2 +log x4+ 1= log2x2+ 2log x2+ 1= 5 5 5 5 =(log5 x2)2+ 2⋅(log5x2)+ 1 =(log5x2+ 1)2.

Тогда исходное неравенство равносильно неравенству

log5(3−-2x)−-log5(x+-2) (log5x2+ 1)2 ≥ 0.

Найдем ОДЗ

( ( (||x < 3 || 3− 2x> 0 ||2x < 3 |||| 2 |{ x+ 2> 0 |{x > −2 |{x > −2 || x2 > 0 ⇔ ||x ⁄= 0 ⇔ ||x ⁄= 0 |( log5x2 +1 ⁄= 0 |(x2 ⁄= 5− 1 ||||| √ - (x ⁄= ±-55

Таким образом,

√- √- √ - √- ( -5-) ( -5- ) ( --5) ( -5-3) x∈ − 2;− 5 ∪ − 5 ;0 ∪ 0; 5 ∪ 5 ;2 .

Преобразуем неравенство:

log5(3-− 2x)−-log5(x+-2)≥ 0 (log5x2 +1)2 ( 3− 2x) log5 x-+2- -----2----2-≥ 0 (log5x +1)

Заметим, что на ОДЗ $(log5 x2+ 1)2 > 0,$ поэтому полученное неравенство равносильно неравенству

( ) log 3−-2x ≥ 0 5 x +2 3−-2x 0 x +2 ≥ 5 3− 2x -x+-2 ≥ 1 3−-2x− 1≥ 0 x+ 2 1−-3x ≥ 0 x+ 2 3x−-1 ≤ 0 x+ 2 ( 1] x ∈ −2;3

Пересечем полученные значения $x$ с ОДЗ и получим:

( √5) ( √5- ) ( 1] x∈ −2;− 5-- ∪ −-5-;0 ∪ 0;3 .

Ответ:

$( √ -) ( √ - ) ( ] −2;−--5 ∪ −--5;0 ∪ 0; 1 5 5 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#73464

Решите неравенство

62x2−5|x|⋅53|x| ≤1.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 19

Показать ответ и решение

По формуле $alogab = b$ имеем $5= 6log65.$ Следовательно, после замены $|x|= t≥ 0,$ неравенство примет вид

62t2−5t⋅63tlog65 ≤1 62t2− 5t+3tlog65 ≤ 60 2 2t − 5t+ 3tlog65≤ 0 t(2t− 5+ 3log65)≤ 0

Заметим, что $t0 = 5−-3log65 2$ является нулем скобки. Так как $log65∈ (0;1),$ то $t0 >0.$ Следовательно, решением полученного неравенства будут

0 ≤ t≤ 5−-3log65. 2

Сделаем обратную замену:

5− 3log65 |x|≤ ----2----,

следовательно,

3-log65−-5 ≤x ≤ 5−-3log6-5. 2 2

Полученные значения $x$ являются ответом.

Ответ:

$[ ] 3log65-− 5; 5-− 3-log65 2 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#105079

Решите неравенство

9|x|−4x2 4|x| 4 ⋅9 ≥ 1.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 20

Показать ответ и решение

По формуле $alogab = b$ имеем $9= 4log49.$ Следовательно, после замены $|x|= t≥ 0,$ неравенство примет вид

49t− 4t2 ⋅44tlog49 ≥1 2 49t−4t+4tlog49 ≥ 40 9t− 4t2+ 4tlog49≥ 0 t(9− 4t+ 4log 9)≥ 0 4 t(9− 4t+ 4log23)≥ 0

Заметим, что $t0 = 9+-4log23 4$ является нулем скобки. Так как $log 3> 0, 2$ то $t0 > 0.$ Следовательно, решением полученного неравенства будут

0 ≤ t≤ 9+-4log23. 4

Сделаем обратную замену:

9+ 4log23 |x|≤ ----4---- 9 +4 log 3 9+ 4log 3 −----4--2- ≤x ≤ ----4-2-- − 9− log23 ≤x ≤ 9+ log2 3 4 4

Полученные значения $x$ являются ответом.

Ответ:

$[ ] − 9 − log 3; 9+ log 3 4 2 4 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2