Тема Алгебра

19 Формулы сокращённого умножения → 19.01 Квадрат суммы и разности

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Формулы сокращённого умножения

Квадрат суммы и разности

Куб суммы и разности

Разность квадратов

Сумма и разность кубов

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#117167

Преобразуйте квадрат двучлена в многочлен стандартного вида:

a) $2 (a+ x)$

б) $2 (x+ 1)$

в) $2 (b− y)$

г) $2 (− 2)$

д) $2 (c+ d)$

е) $2 (m − n)$

ж) $2 (a− 5)$

з) $2 (c+ 8)$

Источники: Алгебра. 7 класс. Задачник - Мордкович А.Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

a) $(a+ x)2$

$2 2 2 (a+ x) =a +2ax+ x$

б) $2 (x+ 1)$

$2 2 2 2 (x+ 1) =x +2x⋅1+ 1 = x +2x+ 1$

в) $2 (b− y)$

$2 2 2 (b− y) =b − 2by+ y$

г) $2 (y− 2)$

$2 2 2 2 (y− 2) =y − 2⋅2y+ 2 =y − 4y+ 4$

д) $2 (c+ d)$

$(c+ d)2 =c2+ 2cd+ d2$

е) $(m − n)2$

$(m − n)2 = m2 − 2mn + n2$

ж) $(a− 5)2$

$(a− 5)2 =a2− 2⋅5a+ 52 =a2− 10a+ 25$

з) $(c+ 8)2$

$(c+ 8)2 =c2+ 2⋅8c +82 = c2+16c+ 64$

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#117168

Преобразуйте квадрат двучлена в многочлен стандартного вида:

a) $2 (7− a)$

б) $2 (9+ b)$

в) $2 (4+ m)$

г) $2 (12− p)$

Источники: Алгебра. 7 класс. Задачник - Мордкович А.Г. (см. ege-ok.ru)

Показать ответ и решение

a) $(7− a)2$

$2 2 2 2 (7− a) =7 − 2⋅7⋅a+ a = 49 − 14a+ a$

б) $2 (9+ b)$

$2 2 2 2 (9+ b) =9 + 2⋅9⋅b+b = 81+ 18b+ b$

в) $2 (4+ m)$

$2 2 2 2 (4+ m) = 4 + 2⋅4⋅m+ m =16+ 8m +m$

г) $2 (12− p)$

$2 2 2 2 (12− p)= 12 − 2⋅12 ⋅p+ p = 144 − 24p+ p$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#117169

Используя формулы для $(a± b),$ вычислите:

a) $2 79$

б) $2 39$

в) $2 59$

г) $2 69$

д) $2 21$

е) $2 31$

ж) $2 61$

з) $2 91$

Источники: Алгебра. 7 класс. Задачник - Мордкович А.Г. (см. ege-ok.ru)

Показать ответ и решение

a) $792$

Выберем $a= 80$ и $b= 1:$

$2 2 2 2 79 = (80− 1) = 80− 2⋅80⋅1+ 1 =6400− 160+ 1= 6241$

б) $2 39$

Выберем $a= 40$ и $b= 1:$

$2 2 2 2 39 = (40− 1) = 40− 2⋅40⋅1+ 1 =1600− 80 +1 =1561$

в) $2 59$

Выберем $a= 60$ и $b= 1:$

$2 2 2 2 59 = (60− 1) = 60− 2⋅60⋅1+ 1 =3600− 120+ 1= 3481$

г) $692$

Выберем $a= 70$ и $b= 1:$

$692 = (70− 1)2 = 702− 2⋅70⋅1+ 12 =4900− 140+ 1= 4861$

д) $212$

Выберем $a= 20$ и $b= 1:$

$212 = (20+1)2 = 202+ 2⋅20⋅1+ 12 =400+ 40+1 =441$

е) $312$

Выберем $a= 30$ и $b= 1:$

$312 = (30+1)2 = 302+ 2⋅30⋅1+ 12 =900+ 60+1 =961$

ж) $612$

Выберем $a= 60$ и $b= 1:$

$612 = (60+1)2 = 602+ 2⋅60⋅1+ 12 =3600+ 120+ 1= 3721$

з) $912$

Выберем $a= 90$ и $b= 1:$

$912 = (90+1)2 = 902+ 2⋅90⋅1+ 12 =8100+ 180+ 1= 8281$

Ответ:

а) $792 = 6241$

б) $2 39 = 1561$

в) $2 59 = 3481$

г) $2 69 = 4861$

д) $2 21 = 441$

е) $2 31 = 961$

ж) $2 61 = 3721$

з) $2 91 = 8281$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#117170

Запишите трехчлен как квадрат двучлена:

a) $2 a +2a+ 1$

б) $2 2 25p + 20pg+ 4g$

в) $2 2 − 8ab+ 4a +46$

г) $2 b − 2b+1$

д) $2 2 9s − 12st+ 4t$

е) $2 2 6mn + n +9m$

ж) $2 x + 4x+4$

з) $2 2 16a − 40ab+ 25b$

и) $16x4− 8x3+x2$

к) $y2 − 6y+ 9$

л) $81x2− 72xy +16y2$

м) $4a2b2+ 12a3b+ 9a4$

Источники: Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. Учебник для 7 класса. Часть 2 / Л. Г. Петерсон, Д. Л. Абраров, Е. В. Чуткова. (см. djvu.online)

Показать ответ и решение

a) $a2+ 2a+ 1$

$2 2 a +2a+ 1= (a +1)$

б) $2 2 25p + 20pg+ 4g$

$2 2 2 25p + 20pg+ 4g = (5p+ 2g)$

в) $2 2 − 8ab+ 4a +46$

Сначала упорядочим выражение:

$2 2 2 2 2 4a − 8ab+46 = 4(a − 2ab+46 )= 4(a− 46)$

г) $2 b − 2b+1$

$2 2 b− 2b+1 =(b− 1)$

д) $9s2− 12st+ 4t2$

$9s2− 12st+ 4t2 = (3s− 2t)2$

е) $6mn + n2+9m2$

Сначала упорядочим выражение:

$9m2 + 6mn + n2 = (3m + n)2$

ж) $x2+ 4x+4$

$x2 +4x+ 4= (x+2)2$

з) $16a2− 40ab+ 25b2$

$16a2− 40ab+ 25b2 = (4a− 5b)2$

и) $16x4− 8x3+x2$

$16x4− 8x3+x2 = (4x2− x)2$

к) $y2 − 6y+ 9$

$y2 − 6y+ 9= (y − 3)2$

л) $81x2− 72xy +16y2$

$81x2− 72xy +16y2 = (9x− 4y)2$

м) $4a2b2+ 12a3b+ 9a4$

Сначала упорядочим выражение:

$4a2b2+12a3b+9a4 = (2ab+ 3a2)2$

Ответ:

a) $(a+ 1)2$

б) $2 (5p+ 2g)$

в) $2 4(a− 46)$

г) $2 (b− 1)$

д) $2 (3s− 2t)$

е) $2 (3m +n)$

ж) $2 (x+ 2)$

з) $2 (4a− 5b)$

и) $2 2 (4x − x)$

к) $(y− 3)2$

л) $(9x− 4y)2$

м) $(2ab+ 3a2)2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#117171

Какое выражение надо прибавить к $(a − b)2,$ чтобы получить $(a +b)2?$

Показать ответ и решение

Чтобы найти, какое выражение нужно прибавить к $(a− b)2$ , чтобы получить $(a+ b)2$ , начнем с разложения обоих квадратов.

Разложим $2 (a − b) :$

$2 2 2 (a− b) =a − 2ab+b$

Разложим $2 (a +b) :$

$2 2 2 (a+ b) =a + 2ab+b$

Теперь мы можем записать уравнение:

$2 2 (a− b)+ x= (a+ b)$

Подставим разложения:

$2 2 2 2 a − 2ab+ b+ x= a + 2ab+ b$

Теперь вычтем $a2+ b2$ из обеих сторон:

$− 2ab+ x= 2ab$

Теперь решим это уравнение для $x:$

$x= 2ab+ 2ab=4ab$

Таким образом, выражение, которое нужно прибавить к $(a− b)2,$ чтобы получить $(a+ b)2,$ равно $4ab.$

Ответ: 4ab

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#117172

Решите уравнение:

a) $2 2 a − (a− 2) = 16$

б) $2 (3m +5)(3m − 5)− (3m− 1) − 10$

в) $2 (+4) − (+ 8)(− 8)= 96$

г) $2 2 3(z+ 2) + (2z− 1) − 7(z+ 3)(z− 3)= 28.$

Показать ответ и решение

a) $a2− (a − 2)2 = 16$

Сначала разложим квадрат:

$2 2 (a− 2) =a − 4a+ 4$

Теперь подставим это в уравнение:

$2 2 a − (a − 4a+ 4)= 16$

Упростим:

$2 2 a − a + 4a− 4 =16$

$4a − 4= 16$

Теперь добавим $4$ к обеим сторонам:

$4a =20$

Разделим на $4 :$

$a= 5$

б) $(3m +5)(3m − 5)− (3m− 1)2 − 10= 0$

Сначала разложим каждое выражение:

$(3m +5)(3m − 5) =9m2 − 25$

$(3m − 1)2 = 9m2− 6m+ 1$

Теперь подставим это в уравнение:

$9m2 − 25 − (9m2− 6m+ 1)− 10= 0$

Упростим:

$9m2 − 25 − 9m2 +6m − 1 − 10= 0$

$6m − 36= 0$

Теперь добавим $36$ к обеим сторонам:

$6m = 36$

Разделим на $6 :$

$m= 6$

в) $(y+ 4)2 − (y+ 8)(y− 8)= 96$

Сначала разложим каждое выражение:

$(y+ 4)2 =y2+ 8y+ 16$

$(y+ 8)(y− 8)=y2 − 64$

Теперь подставим это в уравнение:

$y2 +8y+ 16− (y2− 64)= 96$

Упростим:

$y2 +8y+ 16− y2+ 64= 96$

$8y +80= 96$

Теперь вычтем $80$ из обеих сторон:

$8y =16$

Разделим на $8 :$

$y = 2$

г) $2 2 3(z+ 2) + (2z− 1) − 7(z+ 3)(z− 3)= 28$

Сначала разложим каждое выражение:

$2 2 2 3(z+ 2)= 3(z +4z+ 4)=3z + 12z +12$

$2 2 (2z− 1)= 4z − 4z +1$

$2 2 7(z+ 3)(z− 3) =7(z − 9)= 7z − 63$

Теперь подставим это в уравнение:

$3z2+ 12z+12+ 4z2− 4z+ 1− 7z2 +63= 28$

Упростим:

$(3z2+ 4z2− 7z2)+ (12z− 4z)+(12+ 1+63)= 28$

$8z +76= 28$

Теперь вычтем $28$ из обеих сторон:

$8z +76− 28= 0$

$8z +48= 0$

Теперь вычтем $48$ из обеих сторон:

$8z =− 48$

Разделим на $8 :$

$z = −6$

Ответ:

a) $a =5$

б) $m= 6$

в) $y = 2$

г) $z =− 6$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#117173

Найдите значение выражения $a2+ b2,$ если известно, что:

a) $a+b= 12$ и $ab= 6,9$

б) $− b =25$ и $ab= 4,8$

Показать ответ и решение

Чтобы найти значение выражения $a2 +b2,$ мы можем использовать следующую формулу:

$2 2 2 a +b = (a ±b) ∓2ab$

Теперь применим эту формулу к каждому из заданных случаев.

a) $a+b= 12$ и $ab= 6.9$

Подставим значения в формулу:

$2 2 2 a +b = (12) − 2 ⋅6.9$

Вычислим:

$2 2 a +b = 144 − 13.8 =130.2$

б) $a− b= 25$ и $ab= 4.8$

Подставим в формулу:

$a2 +b2 = (a − b)2+2ab$

$a2 +b2 = 252 +9,6$

$a2 +b2 = 625 +9,6$

$a2 +b2 = 634,6$

Ответ:

а) $130.2;$ б) $634,6.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#117197

Выполните возведение в квадрат, используя формулы сокращенного умножения:

а) $1 2 (3a+ 3b)$

б) $1 2 (2b− 2c)$

в) $1 2 (6m + 6n)$

г) $5 2 (1,4m − 7n)$

Источники: И. Г. Арефьева О. Н. Пирютко СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ 7-9 класс (см. www.aversev.by)

Показать ответ и решение

а) $(3a+ 1b)2 3$

Используем формулу:

2 2 2 (a+b) = a +2ab+ b

Подставим $a= 3a$ и $b= 1b: 3$

$(3a+ 1b)2 =(3a)2+ 2(3a)(1b)+ (1b)2 3 3 3$

Теперь вычислим каждое слагаемое:

$9a2+ 2⋅3a⋅ 1b+ 1b2 3 9$

$2 12 9a + 2ab+ 9b$

б) $1 2 (2b− 2c)$

Используем формулу:

$2 2 2 (a− b) =a − 2ab+b$

Подставим $a= 2b$ и $1 b= 2c:$

$1 2 2 1 (1 )2 (2b− 2c)= (2b) − 2(2b)(2c)+ 2c$

Теперь вычислим каждое слагаемое:

$2 1 12 4b − 2⋅2b⋅2c+ 4c$

$1 4b2− 2bc+ 4c2$

в) $(6m + 16n)2$

Используем формулу:

$(a+ b)2 =a2+ 2ab+b2$

Подставим $a= 6m$ и $b = 16n :$

$( ) (6m + 16n)2 = (6m)2+2(6m)(16n)+ 16n 2$

Теперь вычислим каждое слагаемое:

$36m2 +2 ⋅6m ⋅ 16n+ 136n2$

$36m2 +2mn + 136n2$

г) $(1.4m − 57n)2$

Используем формулу:

$(a− b)2 =a2− 2ab+b2$

Подставим $a= 1.4m$ и $b= 57n:$

$(1.4m − 57n)2 =(1.4m)2− 2(1.4m )(57n)+ (57n)2$

Теперь вычислим каждое слагаемое:

$1.96m2 − 2⋅1.4m⋅ 57n + 2549n2$

$1.96m2 − 174 mn + 2459n2$

$1.96m2 − 2mn + 25n2 49$

Ответ:

а) $9a2+ 2ab+ 1b2 9$

б) $2 1 2 4b − 2bc+ 4c$

в) $2 1-2 36m +2mn + 36n$

г) $2 25 2 1.96m − 2mn + 49n$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#117203

Разложите многочлен на множители, используя формулу квадрата суммы или квадрата разности:

а) $2 a − 6a+ 9$

б) $2 4x − 4x+ 1$

в) $2 9b + 6b+1$

г) $2 64a − 16a +1$

д) $2 2 b+ 10bc+ 25c$

е) $2 2 m − 14mn + 49n$

Источники: И. Г. Арефьева О. Н. Пирютко СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ 7-9 класс (см. www.aversev.by)

Показать ответ и решение

а) $a2− 6a+ 9$

Это выражение можно представить в виде квадрата разности:

$2 2 a − 6a+ 9= (a − 3)$

б) $2 4x − 4x+ 1$

Это выражение можно представить в виде квадрата разности:

$2 2 4x − 4x+ 1= (2x− 1)$

в) $2 9b + 6b+1$

Это выражение можно представить в виде квадрата суммы:

$2 2 9b + 6b+1 =(3b+1)$

г) $64a2− 16a +1$

Это выражение можно представить в виде квадрата разности:

$64a2− 16a +1 =(8a− 1)2$

д) $b2+ 10bc+ 25c2$

Это выражение можно представить в виде квадрата суммы:

$b2+ 10bc+ 25c2 =(b+ 5c)2$

е) $m2 − 14mn + 49n2$

Это выражение можно представить в виде квадрата разности:

$m2− 14mn + 49n2 =(m − 7n)2$

Ответ:

а) $(a− 3)2$

б) $2 (2x− 1)$

в) $2 (3b+ 1)$

г) $2 (8a− 1)$

д) $2 (b+ 5c)$

е) $2 (m − 7n)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#117205

Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

а) $2 a +25+ 10a$

б) $2 b+ 9− 6b$

в) $2 49+ c + 14c$

г) $2 64+ d − 16d$

Источники: И. Г. Арефьева О. Н. Пирютко СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ 7-9 класс (см. www.aversev.by)

Показать ответ и решение

а) $a2+ 25+10a$

Сначала упорядочим выражение:

$2 a +10a+ 25$

Теперь заметим, что это можно представить как квадрат двучлена:

$2 2 a +10a+ 25 =(a+ 5)$

б) $2 b+ 9− 6b$

Сначала упорядочим выражение:

$2 b− 6b+9$

Теперь заметим, что это можно представить как квадрат двучлена:

$b2− 6b+9 =(b− 3)2$

в) $49+ c2+ 14c$

Сначала упорядочим выражение:

$c2+ 14c+49$

Теперь заметим, что это можно представить как квадрат двучлена:

$c2+ 14c+49= (c+7)2$

г) $64+ d2− 16d$ Сначала упорядочим выражение:

$d2 − 16d+ 64$

Теперь заметим, что это можно представить как квадрат двучлена:

$d2 − 16d+ 64 =(d− 8)2$

Ответ:

а) $(a+ 5)2$

б) $2 (b− 3)$

в) $2 (c+ 7)$

г) $2 (d− 8)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#117238

Разложите многочлен на множители:

а) $4 2 25a + 10a + 1$

б) $6 3 b− 12b+ 36$

в) $8 4 4m + 4m + 1$

г) $10 5 n − 4n +4$

Источники: И. Г. Арефьева О. Н. Пирютко СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ 7-9 класс (см. www.aversev.by)

Показать ответ и решение

а) $25a4+10a2+ 1$

Это выражение можно представить в виде квадрата суммы:

$4 2 2 2 25a + 10a + 1= (5a + 1)$

б) $6 3 b− 12b+ 36$

Сначала сделаем замену переменной: пусть $3 x= b.$ Тогда многочлен принимает вид:

$2 x − 12x+ 36$

Это выражение можно представить в виде квадрата разности:

$2 2 x − 12x+ 36= (x− 6)$

Теперь вернемся к переменной $b:$

$(b3− 6)2$

в) $4m8 + 4m4 + 1$

Сначала сделаем замену переменной: пусть $x= m4.$ Тогда многочлен принимает вид:

$4x2+ 4x+ 1$

Это выражение можно представить в виде квадрата суммы:

$4x2+ 4x+ 1= (2x+ 1)2$

Теперь вернемся к переменной $m :$

$(2m4 +1)2$

г) $n10− 4n5+4$

Сначала сделаем замену переменной: пусть $x= n5.$ Тогда многочлен принимает вид:

$x2 − 4x+ 4$

Это выражение можно представить в виде квадрата разности:

$x2 − 4x+ 4= (x− 2)2$

Теперь вернемся к переменной $n :$

$(n5− 2)2$

Ответ:

а) $(5a2+1)2$

б) $3 2 (b − 6)$

в) $4 2 (2m +1)$

г) $5 2 (n − 2)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#117243

Представьте трехчлен $a4+ 4b6 − 4a2b3$ в виде квадрата двучлена.

Источники: И. Г. Арефьева О. Н. Пирютко СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ 7-9 класс (см. www.aversev.by)

Показать ответ и решение

Трехчлен можно переписать следующим образом:

$4 23 6 a − 4a b+ 4b$

Теперь заметим, что это выражение имеет вид квадрата суммы или разности. Мы можем сделать замену переменной:

Пусть $2 x= a$ и $3 y =2b .$ Тогда:

$2 2 x − 4xy+ y$

Теперь мы можем представить это как квадрат разности:

$2 2 2 x − 4xy+ y = (x− 2y)$

Теперь вернемся к исходным переменным:

$2 2 3 2 2 3 2 (x− 2y) =(a − 2(2b)) = (a − 4b)$

Таким образом, трехчлен $a4+ 4b6− 4a2b3$ можно представить в виде квадрата двучлена $(a2− 4b3)2.$

Ответ:

$(a2− 4b3)2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#117259

Упростите выражение:

a) $2 2 (a− 3b) + (3a +b)$

б) $2 2 (x+ 2y)− (x− 2y)$

в) $2 2 2 22 44 2 8 8 ((((a+ b)− 2ab) − 2ab )− 2a b) − 2a b$

Источники: Алгебра. Дидактические материалы 7 класс. Л. И. Звавич (см. ege-ok.ru)

Показать ответ и решение

а) $(a− 3b)2+ (3a+ b)2$

Сначала разложим каждое из выражений:

$2 2 2 (a− 3b)= a − 6ab+ 9b$

$2 2 2 (3a+ b)= 9a + 6ab+ b$

Теперь сложим эти два выражения:

$2 2 2 2 2 2 (a− 3b)+ (3a +b) =(a − 6ab+ 9b)+ (9a + 6ab+b )$

Сложим подобные члены:

$2 2 2 2 a +9a − 6ab+ 6ab+9b + b$

$2 2 10a + 10b$

б) $(x+ 2y)2− (x− 2y)2$

Разложим каждое из выражений:

$(x+ 2y)2 =x2+ 4xy+ 4y2$

$(x− 2y)2 =x2− 4xy+ 4y2$

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(x+ 2y)2 − (x− 2y)2 = (x2 +4xy+ 4y2)− (x2 − 4xy+ 4y2)$

Упрощаем:

$x2 +4xy+ 4y2 − x2+ 4xy− 4y2$

Сложим подобные члены:

$4xy+ 4xy = 8xy$

в) $(((a +b)2− 2ab)2− 2a2b2)2− 2a8b8$

Сначала упростим внутреннее выражение:

$(a+ b)2− 2ab= a2 +2ab+ b2− 2ab= a2 +b2$

Теперь подставим это в выражение:

$((a2+b2)2− 2a2b2)2− 2a8b8$

Теперь упростим $(a2+ b2)2− 2a2b2 :$

$(a2+ b2)2− 2a2b2 = a4+2a2b2+b4− 2a2b2 = a4+ b4$

Теперь подставим это обратно:

$((a4+b4)2− 2a8b8)$

Теперь упростим $(a4+ b4)2− 2a8b8 :$

$(a4+ b4)2− (a4b4+a4b4)=(a4+ b4)2− (a4b4 +a4b4)$

Это выражение можно упростить, но в общем виде оно остается $((a4 +b4)2− 2a8b8)$

Ответ:

а) $10a2+10b2$

б) $8xy$

в) $4 4 2 88 ((a +b ) − 2a b)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#117262

Разложите на множители:

1) $2 (3a+ 4b) + (3a− 2b)⋅8b$

2) $2 2 (6a− 2)− (5a +2)$

Источники: Алгебра. Дидактические материалы 7 класс. Л. И. Звавич (см. ege-ok.ru)

Показать ответ и решение

1) $(3a+ 4b)2+(3a− 2b)⋅8b$

Сначала упростим выражение. Разложим первое слагаемое:

$2 2 2 (3a+ 4b) = 9a +24ab+16b$

Теперь разложим второе слагаемое:

$2 (3a− 2b)⋅8b= 24ab− 16b$

Теперь сложим оба выражения:

$2 2 2 9a + 24ab +16b +24ab− 16b$

Сложим подобные члены:

$2 9a + 48ab$

Теперь вынесем общий множитель:

$9a2+ 48ab =3a(3a +16b)$

2) $(6a− 2)2− (5a +2)2$

Сначала разложим каждое из выражений:

$(6a− 2)2 = 36a2− 24a+ 4$

$(5a+ 2)2 = 25a2+20a+ 4$

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(36a2− 24a+ 4)− (25a2 +20a+ 4)$

Упрощаем:

$36a2− 24a +4− 25a2− 20a− 4$

Сложим подобные члены:

$(36a2− 25a2)+(−24a− 20a)+ (4 − 4)$

$11a2− 44a$

Теперь вынесем общий множитель:

$11a(a− 4)$

Ответ:

1) $3a(3a +16b)$

2) $11a(a− 4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#117336

Найдите число, квадрат которого при увеличении этого числа на $3$ увеличивается на $39.$

Источники: Алгебра. Дидактические материалы 7 класс. Л. И. Звавич (см. ege-ok.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим искомое число как $x.$ По условию задачи, квадрат этого числа при увеличении его на $3$ увеличивается на $39.$ Это можно записать в виде уравнения:

$2 2 x +39= (x+ 3)$

Теперь раскроем скобки на правой стороне уравнения:

$2 2 x +39= x + 6x +9$

Теперь упростим уравнение, вычитая $2 x$ из обеих сторон:

$39 =6x+ 9$

Теперь вычтем $9$ из обеих сторон:

$39 − 9= 6x$

$30 =6x$

Теперь разделим обе стороны на $6:$

$x= 5$

Таким образом, искомое число равно $5.$

Проверка:

Квадрат числа $5$ равен $25.$ Увеличим число на $3:$

$5+3 =8$

Теперь найдем квадрат $8:$

$82 =64$

Теперь проверим, увеличивается ли квадрат $25$ на $39:$

$25 +39= 64$

Условие задачи выполняется.

Варианты правильных ответов:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#117337

Разложите на множители:

а) $2 2 x +2xy+ y$

б) $2 a +2a+ 1$

в) $2 2 n +m +2nm$

г) $2 2 − 2xy+ x + y$

д) $2 81 − 18a+ a$

е) $2 a − 12a+ 36$

ж) $2 49+ 14 +x$

з) $2 4b − 4b+1$

и) $1+10x+ 25x2$

к) $9x2− 6x+ 1$

Источники: Авторская, Казека А.А.

Показать ответ и решение

а) $x2+ 2xy+y2$

Это выражение можно представить как квадрат суммы:

$2 2 2 x +2xy+ y = (x+ y)$

б) $2 a +2a+ 1$

Это выражение также можно представить как квадрат суммы:

$2 2 a +2a+ 1= (a +1)$

в) $2 2 n +m +2nm$

Это выражение можно представить как квадрат суммы:

$2 2 2 n +m +2nm = (n+m )$

г) $− 2xy+ x2+ y2$

Сначала упорядочим выражение:

$x2 − 2xy+ y2$

Это выражение можно представить как квадрат разности:

$x2 − 2xy+ y2 = (x− y)2$

д) $81 − 18a+ a2$

Сначала упорядочим выражение:

$a2 − 18a+ 81$

Это выражение можно представить как квадрат разности:

$a2 − 18a+ 81 =(a− 9)2$

е) $a2− 12a+ 36$

Это выражение можно представить как квадрат разности:

$a2 − 12a+ 36 =(a− 6)2$

ж) $49+ 14x +x2$

Сначала упорядочим выражение:

$x2 +14x+ 49= (x+ 9)2$

з) $4b2− 4b+1$

Это выражение можно представить как квадрат разности:

$4b2− 4b+1 =(2b− 1)2$

и) $1+10x+ 25x2$

Это выражение можно представить как квадрат суммы:

$1+10x+ 25x2 =(5x+ 1)2$

к) $9x2− 6x+ 1$

Это выражение можно представить как квадрат разности:

$9x2− 6x+ 1= (3x− 1)2$

Ответ:

а) $(x +y)2$

б) $2 (a+1)$

в) $2 (n+ m)$

г) $2 (x− y)$

д) $2 (a− 9)$

е) $2 (a− 6)$

ж) $2 (x+ 7)$

з) $2 (2b− 1)$

и) $2 (5x+1)$

к) $(3x− 1)2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#117338

Разложите на множители:

а) $2 100a + 20a+1$

б) $2 1+ 8y+16y$

в) $2 1− 18y +81y$

г) $2 9x +30x+ 25$

д) $2 2 9a − 30am +25m$

е) $2 2 16m + 24nm + 9m$

ж) $2 49+ 36x +84x$

з) $2 9− 12x +4x$

и) $4+ 49x2 − 28x$

к) $4x2+ 36xy+ 81y2$

Источники: Еуроки (см. www.euroki.org)

Показать ответ и решение

а) $100a2+20a+ 1$

Это выражение можно представить как квадрат суммы:

$2 2 100a + 20a+ 1= (10a+ 1)$

б) $2 1+8y+ 16y$

Это выражение можно представить как квадрат суммы:

$2 2 1+8y+ 16y =(4+ 2y)$

в) $2 1− 18y+ 81y$

Это выражение можно представить как квадрат разности:

$2 2 1− 18y+ 81y = (9y− 1)$

г) $9x2+ 30x+25$

Это выражение можно представить как квадрат суммы:

$9x2+ 30x+ 25 =(3x+ 5)2$

д) $9a2− 30am+ 25m2$

Это выражение можно представить как квадрат разности:

$9a2− 30am + 25m2 = (3a − 5m)2$

е) $16m2 +24nm +9m2$

Сначала упорядочим выражение:

$16m2 +9m2 +24nm = 25m2 +24nm$

Это выражение можно представить как квадрат суммы:

$25m2 +24nm = (5m +3n)2$

ж) $49+ 36x2+ 84x$

Сначала упорядочим выражение:

$36x2+ 84x +49$

Это выражение можно представить как квадрат суммы:

$36x2+ 84x +49= (6x+7)2$

з) $9 − 12x+ 4x2$

Сначала упорядочим выражение:

$4x2− 12x+ 9$

Это выражение можно представить как квадрат разности:

$4x2− 12x+ 9= (2x− 3)2$

и) $4+49x2− 28x$

Сначала упорядочим выражение:

$49x2− 28x +4$

Это выражение можно представить как квадрат разности:

$49x2− 28x +4 =(7x− 2)2$

к) $2 2 4x + 36xy+81y$

Это выражение можно представить как квадрат суммы:

Ответ:

а) $(10a +1)2$

б) $2 (4+ 2y)$

в) $2 (9y− 1)$

г) $2 (3x+ 5)$

д) $2 (3a− 5m)$

е) $2 (5m +3n)$

ж) $2 (6x +7)$

з) $2 (2x− 3)$

и) $2 (7x− 2)$

к) $(2x+ 9y)2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#117339

Преобразуйте квадрат двучлена в многочлен стандартного вида.

а) $2 (10x+ 0,1y)$

б) $√ -2 (a+ 8)$

в) $√ - 2 (12 − 2x)$

г) $√-2 (2y− 7)$

Источники: Авторская, Казека А.А.

Показать ответ и решение

а) $(10x +0.1y)2$

Раскроем скобки:

$2 2 2 (10x+ 0.1y)= (10x) + 2⋅(10x)⋅(0.1y)+ (0.1y)$

Теперь вычислим каждое слагаемое:

$2 2 100x + 2⋅10x ⋅0.1y +0.01y$

$2 2 100x + 2xy +0.01y$

б) $√- 2 (a+ 8)$

Раскроем скобки:

$√- 2 2 √ - √ -2 (a+ 8) = a +2 ⋅a ⋅ 8+ ( 8)$

Теперь вычислим каждое слагаемое:

$√- a2 +2a 8+ 8$

в) $√- (12− 2x)2$

Раскроем скобки:

$√- √- √- (12− 2x)2 =(12)2− 2⋅12⋅ 2x+ (− 2x)2$

Теперь вычислим каждое слагаемое:

$√- 144− 24 2x+ 2x2$

г) $√- (2y− 7)2$

Раскроем скобки:

$√- √ - √ - (2y− 7)2 = (2y)2 − 2⋅(2y)⋅ 7+(− 7)2$

Теперь вычислим каждое слагаемое:

$4y2− 4y√7+ 7$

Ответ:

а) $100x2+2xy+ 0.01y2$

б) $2 √- a +2a 8+ 8$

в) $2 √- 2x − 24 2x+ 144$

г) $2 √- 4y − 4y 7+ 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#117340

Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

а) $4x2- 16y2 16- 25 + 81 + 45xy$

б) $9-2 16 2 16a + 9 b − 2ab$

в) $1-2 3 9 2 25x − 5mx + 4m$

Источники: Инфоурок, Тест по алгебре: "Формула квадрата разности" (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

а) $4x2+ 16y2 + 16xy 25 81 45$

Для представления этого трехчлена в виде квадрата двучлена, мы можем заметить, что коэффициенты соответствуют квадратам: $4x2 2x2 16y2 4y2 16- 2x 4y 25 = (5 ), 81 = (9 ), 45xy = 2⋅ 5 ⋅ 9$