Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Другое - Высшая математика
Обратные матрицы. Определитель. Метод Жордана для СЛУ и обратной матрицы. Метод Крамера.

Тема Линал и алгебра.

09 Обратные матрицы. Определитель. Метод Жордана для СЛУ и обратной матрицы. Метод Крамера.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела линал и алгебра.

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#38309

Вычислить определитель матрицы $A,$ то есть найти $detA,$ если $( ) sin2α cos2α cos2α A = || sin2β cos2β cos2β|| ( 2 2 ) sin γ cos γ cos2γ$

Показать ответ и решение

Как мы помним, элементарные преобразования над столбцами третьего типа (Э.П. 3) (т.е. прибавление к какому-то столбцу какого-то другого столбца с любым коэффициентом $λ ∈ ℝ$ ) не изменяют определителя. Сделаем несколько таких преобразований над нашей матрицей, и тогда всё станет очевидно:
$( ) ( ) sin2 α cos2 α cos 2α sin2α + cos2α cos2α cos2α det ||sin2β cos2 β cos2β|| К 1 столбцу= прибавили 2det|| sin2β + cos2β cos2β cos2β|| = ( 2 2 ) ( 2 2 2 ) sin γ cos γ cos2γ sin γ + cos γ cos γ cos2γ$
$( ) ( ) 1 cos2α cos2α 1 cos2 α 2cos2α− 1 = det||1 cos2β cos2β|| = det|| 1 cos2 β 2cos2β − 1|| = ( 2 ) ( 2 2 ) 1 cos γ cos2γ 1 cos γ 2cos γ − 1$
$( ) 1 2cos2α 2 cos2α − 1 Аксиома 2 для det (делим на 12 чтобы ничего не изменилось)1 || 2 2 || = 2 det(1 2cos β 2 cos β − 1) = 1 2 cos2γ 2 cos2γ − 1$
$( ) 1 2cos2α − 1 2 cos2α − 1 Вычтем из второго столбца первый1 || 2 2 || = 2 det(1 2cos β − 1 2cos β − 1) . 1 2cos2γ − 1 2cos2 γ − 1$
У нас получился определитель с двумя одинаковыми столбцами.
По Свойству 2 он равен нулю. То есть: $( ) ( ) sin2 α cos2α cos2α 1 2cos2α − 1 2 cos2α − 1 || 2 2 || 1 || 2 2 || det( sin β cos β cos 2β ) = 2 det( 1 2cos β − 1 2 cos β − 1) = 0. sin2 γ cos2 γ cos 2γ 1 2cos2γ − 1 2 cos2γ − 1$

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#38310

Вычислить $detA,$ если $( 2 2 ) | (a+ 1) a + 1 a| A = |( (b+ 1)2 b2 +1 b|) (c+ 1)2 c2 +1 c$

Показать ответ и решение

Как мы помним, элементарные преобразования над столбцами третьего типа (Э.П. 3) (т.е. прибавление к какому-то столбцу какого-то другого столбца с любым коэффициентом $λ ∈ ℝ$ ) не изменяют определителя. :
$( 2 2 ) ( 2 2 ) |(a+ 1) a + 1 a| | a + 2a+ 1 a + 1 a| det |((b+ 1)2 b2 + 1 b|) = det|( b2 + 2b+ 1 b2 + 1 b|) = (c+ 1)2 c2 + 1 c c2 + 2c+ 1 c2 + 1 c$
$( 2 2 ) |a + 2a + 1 a + 2a+ 1 a| Прибавим ко второму столбцу тре=тий столбец, умнож енный на λ =2 det|( b2 + 2b + 1 b2 c2 + 2c + 1 c2 + 2c+ 1 c$
$так как у матрицы 2 одинаковых столбца = 0$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#38311

Вычислить $detA,$ если $( ) | 1 2 3 | A = |( 4 5 6 |) 7 8 9000$

Показать ответ и решение

$( ) ( ) ( ) |1 2 3 | дваж ды Э.П.2 | 5 8 3 | Э.П.3 | − 3 8 3 | det |(4 5 6 |) = 14⋅5 det|( 20 20 6 |) = 41⋅5 det|( 0 20 6 |) = 7 8 9000 35 32 9000 3 32 9000$
$( ) ( ) ( ) Э.П.2 | 1 8 3 | Э.П.3 | 1 40 3 | дважды Э.П.3 | 1 0 0 | = −4⋅35 det|( 0 20 6 |) = −4⋅35 det|( 0 20 6 |) = −4⋅35 det|( 0 20 6 |) = − 1 32 9000 − 1 0 9000 − 1 40 9003$
$( ) ( ) | 1 0 0 | | 1 0 0 | дважды= Э.П.2−-3⋅42⋅50⋅3det|( 0 1 2 |) Э.=П.3−3⋅4⋅205⋅3-det|( 0 1 0 |) − 1 2 3001 − 1 2 2997$
$( ) | 1 0 0 | дважды= Э.П.3−-3⋅42⋅50⋅3det|( 0 1 0 |) = − 26973 0 0 2997$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#38312

a) Найти обратную матрицу к матрице $A$ методом Жордана, если $( ) |1 2 3 | A = |(2 5 4 |) 0 1 0.5$ ;

b) Найдя обратную матрицу в пункте a), методом Жордана решить СЛAУ

( ) ( ) ( ) | 1 2 3 | | x1| | 0 | |( 2 5 4 |) |( x2|) = |( 2 |) 0 1 0.5 x − 4 3

Показать ответ и решение

a) В методе Жордана поиска обратной матрицы нам нужно приписать справа к $A$ единичную матрицу:
$( ) 1 2 3 1 0 0 ˆ || || A = ( 2 5 4 0 1 0) 0 1 0.5 0 0 1$ и далее преобразовываем эту матрицу так, чтобы матрица, которая изначально была матрицей $A$ (слева), стала единичной. Тогда та матрица, которая изначально была единичной, и станет $A −1.$ Имеем:

$( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 1 0 7 5 − 2 0 || 2 5 4 0 1 0|| Э.∼П. 3|| 0 1 − 2 − 2 1 0|| дваж ды∼ Э.П. 3|| 0 1 − 2 − 2 1 0|| ∼ ( ) ( ) ( ) 0 1 0.5 0 0 1 0 1 0.5 0 0 1 0 0 2.5 2 − 1 1$
$( ) ( ) 1 0 7 5 − 2 0 1 0 0 − 0.6 0.8 − 2.8 Э.П∼.2|| 0 1 − 2 − 2 1 0|| дважды∼ Э.П. 3 ||0 1 0 − 0.4 0.2 0.8|| . ( ) ( ) 0 0 1 0.8 − 0.4 0.4 0 0 1 0.8 − 0.4 0.4$

Следовательно, мы с вами получили, что $( ) | − 0.6 0.8 − 2.8| A −1 = |( − 0.4 0.2 0.8|) 0.8 − 0.4 0.4$ ;

b) Поскольку нам надо было решить систему $Ax = b$ , то, домножая всё на матрицу $−1 A$ , получаем $( ) ( ) ( ) − 0.6 0.8 − 2.8 0 12.8 −1 || || || || || || x = A b = ( − 0.4 0.2 0.8 ) ( 2 ) = ( − 2.8) 0.8 − 0.4 0.4 − 4 − 2.4$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#38313

Решить систему $(| ||{ 4x1 − 7x2 +8x3 = − 23 2x1 − 4x2 +5x3 = − 13 |||( − 3x1 + 11x2 + x3 = 16$
методом Гаусса

Показать ответ и решение

Давайте для начала запишем расширенную матрицу системы. Здесь получится такая вот матрица: $( ) 4 − 7 8 − 23 A = || 2 − 4 5 − 13|| ( ) − 3 11 1 16$

Далее, нам нужно привести нашу расширенную матрицу к ступенчатому виду:

$( ) ( ) 4 − 7 8 − 23 4 − 7 8 − 23 A = || 2 − 4 5 − 13|| умнож аем втор∼ую строчку на 12 || 1 − 2 5 −13|| ( ) ( 2 2 ) − 3 11 1 16 − 3 11 1 16$
$( ) 0 1 − 2 3 Дваж ды Э.П. 3 (вычитаем 2ю строчку из 1й и прибавляем ко 2й с нуж ным коэф.- ( 1 − 2 217 −27 ) 0 5 2- -2$
$( ) 0 1 − 2 3 Дваж ды Э.П. 3 (вычитаем 1ую строчку из 2й и 3й с нужным коэф.-ом)|| −3 −1|| ∼ ( 1 0 2 2 ) 0 0 372 −237$
$( ) 0 1 − 2 3 Э.П.2 (умножили последнюю строчку на 237)|| −3 −1|| ∼ (1 0 2 2 ) 0 0 1 − 1$
$( 0 1 0 1 ) Дваж ды Э.П. 3 (прибавляем 3ю строчку к 1й и 2й с нужными коэфф ициентами&#x00 ∼ ( 1 0 0 − 2) 0 0 1 − 1$
$( ) Э.П. 1 (меняем строки местами в нужном порядке)| 1 0 0 − 2| ∼ |( 0 1 0 1 |) . 0 0 1 − 1$
И мы готовы выписывать ответ: $x1 = − 2,x2 = 1,x3 = − 1.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#63939

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

(| ||||2x1 − x2 + x3 − x4 = 1 ||| ||{2x1 − x2 − 3x4 = 2 3x1 − x3 + x4 = − 3 ||| ||||2x1 + 2x2 − 2x3 + 5x4 = − 6 |||( 11x1 − x2 − x3 + x4 = − 5

(1)

Показать ответ и решение

( | ) --| | ( | ) --| -| | 2 − 1 1 − 1| 1 | |−1 |−1 | 2 − 1 1 − 1 | 1 | − 3 − 11 || 2 − 1 0 − 3| 2 || ←− + | || 0 0 − 1 − 2 | 1 || | | | | | | −→ | | | + | −→ || 3 0 − 1 1 |− 3|| | ⋅2 | || 6 0 − 2 2 |− 6 || ←− | |( 2 2 − 2 5 |− 6|) ← −−−− + |( 0 3 − 3 6 |− 7 |) | 11 − 1 − 1 1 |− 5 | ⋅2 22 − 2 − 2 2 |− 10 ←−−− −+

( | ) ( | ) 2 − 1 1 − 1| 1 2 − 1 1 − 1 | 1 ||0 0 − 1 − 2| 1 || ←− −−−−−− −−| || 0 3 − 5 5 |− 9|| || | || | || | || ||0 3 − 5 5 | − 9 || --|−1 |−3 ←− −→ || 0 0 − 1 − 2 | 1|| --2 -− 4 −→ |0 3 − 3 6 | − 7 | ←−|+ | | 0 0 2 1 | 2| ←− + | ( | ) | ( | ) | 0 9 − 13 13 |− 21 ← −−−− + 0 0 − 4 − 5 | 0 ← −−−− +

( | ) ( | ) 2 − 1 1 − 1| 1 | ⋅3 6 − 3 3 − 3 | 3 ← −−−−− −− + ||0 3 − 5 5 |− 9|| | ⋅3 || 0 9 − 15 15 |− 27|| ← −−−− + | || | || || | || | | | ||0 0 − 1 − 2| 1 || | ⋅3 −→ || 0 0 − 3 − 6 | 3 || ←− + | | −→ |(0 0 0 − 3| 4 |) --|1 |( 0 0 0 − 3 | 4 |) ---−2 -5 -− 1 | | | 0 0 0 3 |− 4 ←− + 0 0 0 0 | 0

( | ) ( | ) 6 − 3 3 0 |− 1 ←−− −−+ 6 − 3 0 0 |− 6 ← −−−−|+ || 0 9 − 15 0 |− 7|| ←− + | || 0 9 0 0 | 18|| | ÷ 3 |1 || | || | | || | || || 0 0 − 3 0 |− 5|| --− 5-1 −→ || 0 0 − 3 0 |− 5|| −→ |( 0 0 0 − 3 | 4 |) |( 0 0 0 − 3| 4 |) | | 0 0 0 0 | 0 0 0 0 0 | 0

( | ) ( | ) 6 0 0 0 | 0 | ÷ 6 1 0 0 0 | 0 ||0 3 0 0 | 6 || | ÷ 3 || 0 1 0 0 | 2 || || | || || | || ||0 0 − 3 0 |− 5|| | ÷ − 3 −→ || 0 0 1 0 | 53 || |0 0 0 − 3| 4 | | ÷ − 3 | 0 0 0 1 |− 4| ( | ) ( | 3) 0 0 0 0 | 0 0 0 0 0 | 0

5- 4- x1 = 0, x2 = 2, x3 = 3, x4 = − 3

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#63940

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

( |||{ 9x1 + 12x2 + 3x3 + 10x4 = 13 || 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3 |( 6x1 + 8x2 + 2x3 + 5x4 = 7

(1)

Показать ответ и решение

( | ) ( | ) --| | 9 12 3 10 |13| | 9 12 3 10 |13| |−1 |( 3 4 1 2 |3 |) --|−2 | ⋅3 −→ |( 9 12 3 6 | 9|) ←− + −→ | | | 6 8 2 5 |7 ←− + 0 0 0 1 | 1

( | ) ( 4 1 |1) | 9 12 3 10 |13 | ←−+ | ÷ 9 | 1 3 3 0 |3| | 0 0 0 − 4 |− 4| | ---14 | ÷ − 4 −→ | 0 0 0 1 |1| ( | ) | | ( | ) 0 0 0 1 | 1 --− 10←− + 0 0 0 0 |0

( { x1 + 4x32+ x33-= 13 ( x4 = 1

1- 4x2- x3- x1 = 3 − 3 − 3 , x2 ∈ ℝ − лю бое число , x3 ∈ ℝ − лю бое число , x4 = 1

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#63941

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

(| |||| 2x1 − x2 + x3 − 3x4 = 4 ||{ 3x1 − 2x2 + 2x3 − 3x4 = 3 ||| 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1 ||| |( 5x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1

(1)

Показать ответ и решение

( | ) ----| ( | ) --| -| | 2 − 1 1 − 3| 4| − 1 | 2 − 1 1 − 3| 4 | |−3 −5 || 3 − 2 2 − 3| 3|| | ⋅2| || 6 − 4 4 − 6| 6 || ←− + | || | || −→ || | || | −→ ( 2 1 − 1 1 | 1) ←−−−+ ( 0 2 − 2 4 |− 3) | 5 1 − 1 2 | 1 | ⋅2 10 2 − 2 4 | 2 ← −−−− +

( | ) ( | ) 2 − 1 1 − 3| 4 2 − 1 1 − 3| 4 | ⋅ 2 || | || || | || || 0 − 1 1 3 | − 6|| --|2 -7 −→ || 0 − 1 1 3 | − 6|| | ⋅ 2 −→ | 0 2 − 2 4 | − 3| ←−|+ | | 0 0 0 10 |− 15| --|−4 | ÷ 5 ( | ) | ( | ) | 0 7 − 7 19 |− 18 ←−− −− + 0 0 0 40 |− 60 ←− +

( | ) ( | ) | 4 − 2 2 − 6| 8 | ←−|+ | 4 − 2 2 0 |− 1| ←−|+ || 0 − 2 2 6 |− 12|| | ←−+ || 0 − 2 2 0 |− 3|| --|−1 | | | | | −→ | | | −→ |( 0 0 0 2 | − 3 |) ---3 --− 3 |( 0 0 0 2 |− 3|) 0 0 0 0 | 0 0 0 0 0 | 0

( | ) ( | ) 4 0 0 0 | 2 | ÷ 4 1 0 0 0 | 0,5 | | | | | | || 0 − 2 2 0 |− 3|| | ÷ 2 || 0 − 1 1 0 |− 1,5|| || 0 0 0 2 |− 3|| | ÷ 2 −→ || 0 0 0 1 |− 1,5|| ( | ) ( | ) 0 0 0 0 | 0 0 0 0 0 | 0

( |||x1 = 0,5 { |− x2 + x3 = − 1,5 ||( x4 = − 1,5

x1 = 0,5, x2 = x3 + 1,5, x3 = x3, x4 = − 1,5

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#65752

Вычислить, не развертывая его, определитель

|| x y z 1|| || || || y z x 1|| || z x y 1|| |x+z x+y y+z | |-2- -2-- -2- 1|

Показать ответ и решение

Заметим, что четвертая строка матрицы линейно выражается через первую и третью (а именно, это их полусумма). Значит, определитель матрицы равен нулю.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#65753

Вычислить приведением к ступенчатому виду:

| | | | | | |1 2 3 ... n| |1 n n ... n| |1 2 3 ... n − 2 n − 1 n| || || || || || || ||− 1 0 3 ... n|| ||n 2 n ... n|| ||2 3 4 ... n − 1 n n|| a)||− 1 − 2 0 ... n|| b)||n n 3 ... n|| c)||3 4 5 ... n n n|| || .. .. .. .. ..|| || .. .. .. .. ..|| ||.. .. .. .. .. .. ..|| || . . . . .|| || . . . . .|| ||. . . . . . .|| |− 1 − 2 − 3 ... 0| |n n n ... n| |n n n ... n n n|

|| 1 x x2 x3 ... xn || ||1 1 ... 1 − n|| || || || || ||a11 1 x x2 ... xn−1|| ||1 1 ... − n 1 || d)||a21 a22 1 x ... xn−2|| e)|| ... ... ... ... ... || || . . . . . . || || || | .. .. .. .. .. .. | |1 − n ... 1 1 | ||an1 an2 an3 an4 ... 1 || ||− n 1 ... 1 1 ||

Показать ответ и решение

a) Прибавим первую строку к каждой другой:

|| 1 2 3 ... n|| ||1 2 3 ... n || || || || || ||− 1 0 3 ... n|| ||0 2 6 ... 2n|| ||− 1 − 2 0 ... n|| = ||0 0 3 ... 2n|| = n! || . . . . .|| ||. . . . .|| | .. .. .. .. ..| |.. .. .. .. ..| ||− 1 − 2 − 3 ... 0|| ||0 0 0 ... n ||

b) Вычтем из каждой строки последнюю:

| | | | ||1 n n ... n n|| ||1− n 0 0 ... 0 0|| |n 2 n ... n n| | 0 2− n 0 ... 0 0| || || || || ||n n 3 ... n n|| || 0 0 3 − n ... 0 0|| n− 1 ||.. .. .. ... .. ..|| = || .. .. .. ... .. ..|| = (− 1) ⋅n! ||. . . . .|| || . . . . .|| |n n n ... n − 1 n| | 0 0 0 ... − 1 0| ||n n n ... n n|| || n n n ... n n||

c) Вычтем из каждой строки предыдущую:

|| || || || ||1 2 3 ... n − 2 n− 1 n || ||1 2 3 ... n − 2 n − 1 n|| ||2 3 4 ... n − 1 n n || ||1 1 1 ... 1 1 0|| |3 4 5 ... n n n | |1 1 1 ... 1 0 0| || . . . . . . .|| = ||. . . . . . .|| || .. .. .. .. .. .. ..|| ||.. .. .. .. .. .. ..|| || || || || n n n ... n n n 1 0 0 ... 0 0 0

Теперь поменяем местами столбцы таким образом, чтобы матрица пришла к нужному нам виду (первый с последним, второй с предпоследним и т. д.). Таким образом, мы поменяем столбцы местами $[n2]$ раз (квадратные скобки означают целую часть), и определитель каждый раз будет менять знак. Таким образом, определитель будет равен $(− 1)[n2 ] ⋅n$

d) Вычтем из каждой, строки, кроме последней, следующую, умноженную на $x$ :

|| 2 3 n || ||1 − a ⋅x 0 0 0 ... 0|| || 1 x x x ... x || || 11 || ||a11 1 x x2 ... xn −1|| || ... 1 − a22 ⋅x 0 0 ... 0|| |a a 1 x ... xn −2| = | ... 1 − a ⋅x 0 ... 0| = || 2.1 22. . . . . || || . . 3.3 . . .|| || .. .. .. .. .. .. || || .. .. .. .. .. ..|| || || || a a a a ... 1|| an1 an2 an3 an4 ... 1 n1 n2 n3 n4

= (1 − a11 ⋅x )(1 − a22 ⋅x)(1− a33 ⋅x)⋅...⋅(1 − ann ⋅x )

e) В решении предполагается, что размер матрицы n. Вычтем первую строку из всех, кроме последней. Прибавим к последней строке первую, уможенную на n:

| | | | || 1 1 1 ... 1 1 − n || ||1 1 1 ... 1 1 − n || || 1 1 1 ... 1 − n 1 || ||0 0 0 ... 0 − n − 1 n + 1 || || || || || || 1 1 1 ... − n 1 1 || ||0 0 0 ... − n − 1 0 n + 1 || | ... ... ... ... ... ... ... | = |... ... ... ... ... ... ... | || || || || || 1 1 − n ... 1 1 1 || ||0 0 − n − 1 ... 0 0 n + 1 || || 1 − n 1 ... 1 1 1 || ||0 − n − 1 0 ... 0 0 n + 1 || || || || 2|| − n 1 1 ... 1 1 1 0 n + 1 n + 1 ... n + 1 n + 1 1 − n

Теперь поменяем местами вторую строку с $n − 1$ -й, третью с $n− 2$ -й и т. д. Затем по очереди прибавим их к последней. Поменяем строки местами мы $[n−22]$ раз.

||1 1 1 ... 1 1 − n || || || ||0 − n − 1 0 ... 0 0 n + 1|| ||0 0 − n− 1 ... 0 0 n + 1|| ||.. .. .. .. .. .. .. || |. . . . . . . | = ||0 0 0 ... − n − 1 0 n + 1|| || || ||0 0 0 ... 0 − n − 1 n + 1|| |0 n+ 1 n + 1 ... n+ 1 n + 1 1− n2|

||1 1 1 ... 1 1 − n || || || ||0 − n − 1 0 ... 0 0 n + 1 || |0 0 − n − 1 ... 0 0 n + 1 | ||. . . . . . . || = ||.. .. .. .. .. .. .. || ||0 0 0 ... − n − 1 0 n + 1 || || || |0 0 0 ... 0 − n − 1 n + 1 | ||0 0 0 ... 0 0 1 − n2 + (n − 2)(n+ 1)||

2 − n + (n− 2)(n + 1) = − n − 2

Определитель равен:

[n−2] n−2 [n−2]+n −1 n− 2 − 1 2 ⋅− (n + 2)(− n − 1) = − 1 2 ⋅(n + 2)(n+ 1)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#65754

Вычислить разложением по строке/столбцу:

|| n − 1 0 0 ... 0 0 || ||1 0 0 0 ... 0 1 || || || || || ||n − 1 x − 1 0 ... 0 0 || ||1 a1 0 0 ... 0 0 || ||n − 2 0 x − 1 ... 0 0 || ||1 1 a2 0 ... 0 0 || | . . . . . . . | | | a)|| .. .. .. .. .. .. .. || b)||1 0 1 a3 ... 0 0 || || 3 0 0 0 ... − 1 0 || ||... ... ... ... ... ... ... || || || || || || 2 0 0 0 ... x − 1|| ||1 0 0 0 ... an− 1 0 || | 1 0 0 0 ... 0 x | |1 0 0 0 ... 1 an|

Показать ответ и решение

a) Разложим определитель по первому столбцу. Первое слагаемое получится $n⋅xn −1$ . Теперь посмотрим на строку с множителем $k (− 1) ⋅(n − k)$ . После вычеркивания соответствующих строки и столбца получися матрица такого вида:

( − 1 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0 0 ) | | || x − 1 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0 0 || || 0 x − 1 ... 0 0 0 0 0 ... 0 0 || || .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. || | . . . . . . . . . . . . | || 0 0 0 ... − 1 0 0 0 0 ... 0 0 || || || || 0 0 0 ... x − 1 0 0 0 ... 0 0 || || 0 0 0 ... 0 0 x − 1 0 ... 0 0 || || || | 0 0 0 ... 0 0 0 x − 1 ... 0 0 | || ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... || || || || 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... − 1 0 || |( 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... x − 1|) 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0 x

Чтобы посчитать ее определитель, разложим его по первой строке. Получится $(− 1 )$ умножить на такой же определитель, только без первых матрицы и столбца. Продолжим рекурсивно раскладывать определители по первой строке, пока не дойдем до места, где была $n− k$ -я строка, которую мы вычеркнули. На данный момент коэффициент равен $(− 1)k(n − k) ⋅(− 1)k$ :

⌊ | ⌋ | − 1 0 0 ... 0 0 | 0 0 0 ... 0 0 | | x − 1 0 ... 0 0 | 0 0 0 ... 0 0 | || | || || 0 x − 1 ... 0 0 | 0 0 0 ... 0 0 || || ... ... ... ... ... ... | ... ... ... ... ... ... || || | || || 0 0 0 ... − 1 0 | 0 0 0 ... 0 0 || | 0 0 0 ... x − 1 | 0 0 0 ... 0 0 | ||---------------------------|-------------------------|| || 0 0 0 ... 0 0 | x − 1 0 ... 0 0 || || 0 0 0 ... 0 0 | 0 x − 1 ... 0 0 || || . . . . . . | . . . . . . || || .. .. .. .. .. .. | .. .. .. .. .. .. || | 0 0 0 ... 0 0 | 0 0 0 ... − 1 0 | || | || |⌈ 0 0 0 ... 0 0 | 0 0 0 ... x − 1|⌉ 0 0 0 ... 0 0 | 0 0 0 ... 0 x

Умножим этот коэффициент на определитель оставшейся матрицы (нижняя правая), получится $(− 1)k(n − k) ⋅(− 1)k ⋅xn −k−1 = (n − k) ⋅xn−k−1$ .

Итак, определитель исходной матрицы равен $n ⋅xn−1 + (n − 1) ⋅xn−2 + (n − 2)⋅ xn−3 + ...+ 3⋅x2 + 2⋅x + 1$

b) Разложим определитель по первому столбцу. Первое слагаемое получится $a1a2a3...an−1an$ . Рассмотрим строку, содержащую $ak$ . Вычеркнем ее (и первый столбец), а также запомним, что знак каждого слагаемого будет зависеть от четности k. Получим матрицу следующего вида:

( 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0 1) | | | a1 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0 0| || 1 a ... 0 0 0 0 0 ... 0 0|| || . 2. . . . . . . . . .|| || .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..|| || 0 0 ... a 0 0 0 0 ... 0 0|| || k− 2 || | 0 0 ... 1 ak− 1 0 0 0 ... 0 0| || 0 0 ... 0 0 1 a 0 ... 0 0|| || k+1 || || 0 0 ... 0 0 0 1 ak+2 ... 0 0|| || ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...|| || || ( 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... an−1 0) 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 1 a n

Разложим ее по первой строке. Единственным ненулевым слагаемым будет единица с каким-то знаком, зависящим от четности $n$ (это будет плюс при четном $n$ ), умножанная на такой определитель:

| | ||a1 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0 || |1 a ... 0 0 0 0 0 ... 0 | ||. 2. . . . . . . . . || ||.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. || || || ||0 0 ... ak− 2 0 0 0 0 ... 0 || ||0 0 ... 1 ak− 1 0 0 0 ... 0 || |0 0 ... 0 0 1 a 0 ... 0 | || k+1 || ||0 0 ... 0 0 0 1 ak+2 ... 0 || ||... ... ... ... ... ... ... ... ... ... || || || |0 0 ... 0 0 0 0 0 ... an−1| ||0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 1 ||

Получается слагаемое вида $a1 ⋅a2 ⋅...⋅ak−2 ⋅ak− 1$ . Вспомним, что это слагаемое для строки, содержащей $ak$ . Значит, определитель всей матрицы равен

(− 1)n ⋅(1 − a + a a − a a a + ...+ (− 1)n−1 ⋅a a ...a a + (− 1)n ⋅a a ...a a ) 1 1 2 1 2 3 1 2 n− 2 n−1 1 2 n−1 n

Ответ:

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#66017

Как изменится определитель порядка $n$ , если:
а) его первый столбец поставить на последнее место, а остальные столбцы сдвинуть влево, сохраняя их расположение?
б) его строки записать в обратном порядке?
в) к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить предыдущий столбец?
г) к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить все предыдущие столбцы?
д) из каждой строки, кроме последней, вычесть следующую строку, а из последней вычесть прежнюю первую строку?
е) к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить предыдущий столбец, а к первому прибавить прежний последний столбец?

Показать ответ и решение

а) Вспомним, что если два столбца матрицы поменять местами, то ее определитель сменит знак. Ясно, что чтобы произвести указанную операцию, нужно поменяем столбцы местами $n − 1$ раз (по сути, мы обменяем каждый столбец на соседний по циклу, поэтому нужно будет сделать $n − 1$ обменов), и столько же раз, соответственно, определитель сменит знак. Иными словами, если $n$ - четное, то определитель поменяет знак, а если нечетное - не изменится.

б) Записать строки в обратном порядке - то же самое, что поменять каждую $i$ -ую строку до середины матрицы (не включительно) местами с $(n − i+ 1)$ -ой строкой. Например, первую строку поменять местами с $n$ -ой, вторую с $(n − 1)$ -ой, и т. д. Таким образом, чтобы привести матрицу к нужному виду, нужно сделать $n [2]$ перестановок (квадратные скобки - целая часть). Сколько перестановок, столько раз поменяется знак у определителя. Таким образом, если $n [2]$ - чётно, то определитель не изменится, а если $n [2]$ - нечётно, то он сменит знак.

в) Определитель не меняется, если к элементам его столбца прибавить элементы другого столбца, умноженные на одно и то же число. Преобразование, которое мы делаем в этом пункте, можно представить так: прибавим к последнему столбцу предпоследний, к предпоследнему тот, что перед ним, и т. д. - к каждому столбцу прибавим предыдущий. Каждое из преобразований по отдельности не меняет определитель, значит и все вместе они его не изменят.

г) Аналогично пункту в)

д) После преобразования получится, что мы каждую строку вычли из какой-нибудь ровно по одному разу. Значит, если сложить теперь все строки, получится, что в сумме каждая строка встречается по одному разу с плюсом и по одному разу с минусом, а вся сумма равна нулю. Таким образом, если прибавить все строки, то их сумма будет равна нулю, значит, так можно образовать из нашего определителя определитель с нулевой строкой. Следовательно, он равен нулю.

е) Для начала разделим определитель на сумму двух, воспользовавшись тем, что после преобразования первый столбец представляет из себя сумму исходных первого и $n$ -го. Пусть изначально матрица выглядела так:

( ) a1,1 a1,2 ... a1,n−1 a1,n || || | a2,1 a2,2 ... a2,n−1 a2,n| || ... ... ... ... ... || ( ) an,1 an,2 ... an,n− 1 an,n

Тогда после преобразования она вглядит так:

( ) a1,1 + a1,n a1,2 + a1,1 ... a1,n−1 + a1,n−2 a1,n + a1,n−1 || a + a a + a ... a + a a + a || || 2,1 . 2,n 2,2. 2,1 . 2,n−1 . 2,n−2 2,n . 2,n−1|| |( .. .. .. .. .. |) an,1 + an,n an,2 + an,1 ... an,n−1 + an,n− 2 an,n + an,n−1

Разложим ее определитель на сумму двух через первый столбец:

( ) | a1,1 a1,2 + a1,1 ... a1,n−1 + a1,n−2 a1,n + a1,n−1| || a2,1 a2,2 + a2,1 ... a2,n−1 + a2,n−2 a2,n + a2,n−1|| det|| .. .. .. .. .. || + ( . . . . . ) an,1 an,2 + an,1 ... an,n−1 + an,n−2 an,n + an,n−1

( ) a1,n a1,2 + a1,1 ... a1,n−1 + a1,n−2 a1,n + a1,n−1 || || + det|| a2,n a2,2 + a2,1 ... a2,n−1 + a2,n−2 a2,n + a2,n−1|| | ... ... ... ... ... | ( ) an,n an,2 + an,1 ... an,n−1 + an,n−2 an,n + an,n−1

Теперь разберемся, чему равен каждый из двух получившихся определителей. В первом последовательно вычтем из каждого столбца предыдущий. Из второго вычтем первый - получится исходный второй. Теперь из третьего вычтем новый второй - получится исходный третий. Таким образом дойдем до последнего столбца и получим исходный определитель.

Посмотрим, что получается во втором определителе. Вычтем первый столбец из последнего, получим исходный предпоследний. Теперь из $(n− 1)$ -го столбца вычтем новый последний - получится исходный $(n − 2)$ -ой. Продолжим действовать таким образом, пока не дойдем до второго столбца (из него мы вычтем новый третий и получим исходный первый). Получился определитель, который похож на исходный, только у него все столбцы сдвинуты на один вправо, а на месте первого стоит исходный последний. Аналогично первому пункту задачи, такой определитель равен исходному, если n нечетное, и меняет знак, если $n$ четное.

Поймем, каков ответ на вопрос пункта е. Мы разложили определитель на сумму двух, и одно из слагаемых оказалось равно исходному определителю, а второе либо равно ему же, либо обратно (по знаку). Тогда сумма либо равна удвоенному исходному определителю, либо нулю.

Итак, ответ: если $n$ нечетное, определитель удвоится, а если четное, то обнулится.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#66023

Найти значение многочлена $f(x) = 3x2 − 2x + 5$ от матрицы

$( ) | 1 − 2 3| A = |( 2 − 4 1|) 3 − 5 2$

Показать ответ и решение

Многочлен $f (x )$ от матрицы $A$ – результат $f(A) = 3A2 − 2A + 5$ . Посчитаем $A2$ :

$( ) ( ) ( ) | 1 − 2 3| | 1 − 2 3| | 6 − 9 7| |( 2 − 4 1|) |( 2 − 4 1|) = |( − 3 7 4|) 3 − 5 2 3 − 5 2 − 1 4 8$

Следовательно,

$( ) ( ) ( ) 6 − 9 7 1 − 2 3 5 0 0 2 || || || || || || f (A ) = 3A − 2A + 5 = 3( − 3 7 4) − 2 ( 2 − 4 1) + (0 5 0) = − 1 4 8 3 − 5 2 0 0 5 ( ) ( ) 18 − 2+ 5 − 27 + 4 21 − 6 21 − 23 15 = || − 9 − 4 21 + 8 + 5 12 − 2 || = ||− 13 34 10|| ( ) ( ) − 3 − 6 12+ 10 24− 4 + 5 − 9 22 25$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#66024

Вычислить определитель

$|| || ||8 3 ... 3 3|| ||3 8 ... 3 3|| ||.. .. .. .. ..|| |. . . . .| ||3 3 ... 8 3|| || || |3 3 ... 3 8|$

Показать ответ и решение

Обозначим строки матрицы за $a1,a2,...,an$ . Так как определитель матрицы не меняется при элементарных преобразованиях, то

$| | ||8 3 ... 3 3|| || || ||− 5 5 ... 0 0|| det(a1,a2,...,an) = det(a1,a2 − a1,...,an − a1) = || ... ... ... ... ...|| | | ||− 5 0 ... 5 0|| ||− 5 0 ... 0 5||$

Расложим определитель по первому столбцу. Минор, полученный удалением первой строки первого столбца, очевидно равен $n−1 8 ⋅5$ . Посмотрим на разложение при первом столбце $i$ -ой строке, $i ⁄= 1$ :

( ) 3 3 ... 3 3 3 ... 3 | | | || 5 0 0 | || || ... .. | || || 0 5 . | 0 || || ... ... ... | || (i+1) mod 2 | | | (− 1) (− 5)||-0--...------5--0---|---------------|| = || | 5 0 0 || || | || || 0 | 0 5 || | | ... ... ... | ( | ) | 0 ... 5

( ) 3 3 ... 3 | 3 3 ... 3 || .. | || || 0 5 0 . | || || 0 0 5 | || || .. .. .. | 0 || || . . . | || = (− 1)(i+1) mod 2(− 1)(i−2) mod 2(− 5)| 0 0 ... 5 | | = ||--------------------|---------------|| || | 5 0 0 || || | 0 5 || || 0 | . . . || ( | .. .. .. ) | 0 ... 5 |

$n−2 n−1 = 5⋅3 ⋅5 = 3⋅5$

Для того, чтобы посчитать минор $1× i$ , мы перенесли столбец с номером $i$ на место столбца с номером $1$ , поэтому определитель матрицы, записанной во второй строке, домножили на знак перестановки, равный $(i− 2) mod 2 (− 1)$
Таким образом,

$det(a1,...,an) = 8⋅5n− 1 + (n − 1)3⋅5n−1 = 5n−1(5 + 3n) = 5n + 5n−1 ⋅3n$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#66025

Вычислить определитель

$|| || || 1 2 3 ... n − 2 n − 1 n|| || 2 3 4 ... n − 1 n n|| || || | 3 4 5 ... n n n| detAn ×n = || ... ... ... ... ... ... ...|| || || ||n − 2 n − 1 n ... n n n|| ||n − 1 n n ... n n n|| | | | n n n ... n n n|$

Показать ответ и решение

Поскольку определитель матрицы не меняется при сложении и вычитании строк, то

$det(a1,a2,...,an− 1,an) = det(a1,a2 − a1,a3 − a2,...,an−1 − an −2,an − an− 1) = || || ||1 2 3 ... n − 2 n − 1 n|| |1 1 1 ... 1 1 0| || || ||1 1 1 ... 1 0 0|| = ||... ... ... ... ... ... ...|| || || ||1 1 1 ... 0 0 0|| |1 1 0 ... 0 0 0| || || |1 0 0 ... 0 0 0|$

Разложим матрицу по последнему столбцу. У нас получится произведение элемента $n$ на определитель верхнетреугольной матрицы. Поменяем столбцы верхнетреугольной матрицы местами, ведь определитель матрицы

$| | |1 1 1 ... 1 1| || || ||0 1 1 ... 1 1|| ||0 0 1 ... 1 1|| ||. . . . . .|| |.. .. .. .. .. ..| ||0 0 0 ... 1 1|| || || |0 0 0 ... 0 1|$

равен 1. С учётом знака перестановки получаем

$|| || ||1 1 1 ... 1 1|| ||1 1 1 ... 1 0|| ||.. .. .. .. .. ..|| det(a1,a2,...,an−1,an) = (− 1)1+(n mod 2)n |. . . . . .| = ||1 1 1 ... 0 0|| || || ||1 1 0 ... 0 0|| |1 0 0 ... 0 0| = (− 1)1+(n mod 2)ndet(b1,b2,...bn) = 1+(n mod 2) (n−1)(n−2) 1+ (n mod 2)+ (n−-1)(n−2) = (− 1) n ⋅(− 1) 2 det(bn,bn−1,...b1) = (− 1) 2 n$

Осталось посчитать степень у $(− 1)$ . Если $n = 4k$ , то

$1+4k mod 2+(4k−1)(4k−2) 1+ (4k−1)(2k−1) (− 1) 2 = (− 1) = 1$

Если $n = 4k + 1$ , то

$(4k)(4k−1) (− 1)1+ (4k+1) mod 2+ 2 = (− 1)2+2k(4k−1) = 1$

Если $n = 4k + 2$ , то

$(4k+1)(4k) (− 1)1+ (4k+2) mod 2+ 2 = (− 1)1+2k(4k+1) = − 1$

Если $n = 4k + 3$ , то

$(4k+2)(4k+1) (− 1)1+(4k+3) mod 2+ 2 = (− 1)2+(2k+1)(4k+1) = − 1$

Следовательно, получаем ответ:

$({ detA = n, n = 4k; n = 4k + 1 n×n (− n, n = 4k + 2; n = 4k + 3, k ∈ ℤ$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#66035

Считая определитель по определению через сумму по перестановкам найти члены, содержащие $x3$ и $4 x$ .

$( ) x 1 2 3 || || det|| x x 1 2|| |( 1 2 x 3|) x 1 2 2x$

Показать ответ и решение

Определитель матрицы - это большая сумма:

$∑ sgn σ ⋅a1,σ(1) ⋅a2,σ(2) ⋅...⋅an,σ(n) σ∈Sn$

Это определение в точности означает, что слагаемые, входящие в определитель, состоят из произведения множителей, где каждая пара множителей не имеет ни общую строку, ни общий столбец.
Следовательно, можем сразу же найти все члены, содержащие $x4$ : так как дана матрица $4× 4$ , то необходимо с каждой строки взять множитель, равный $x$ . В первой и третьей строке такие элементы единственные – из первого и третьего столбца соответственно.
Тогда из второй строки мы обязаны взять элемент из второго столбца (ведь элемент из первого столбца уже есть в нашем произведении). С четвёртой строкой аналогично – берём элемент из четвёртого столбца.

$| | ||x 1 2 3 || ||x x 1 2 || |1 2 x 3 | ||x 1 2 2x||$

Следовательно, член, содержащий $x4$ , единственный и равен $2x4$ .

Аналогично найдём члены, содержащие $3 x$ – нам нужно взять ровно из трёх строк по $c⋅x$ , $c$ – коэффициент. Но мы не сможем взять $x$ из первой строки, потому что это будет означать, что из оставшихся строк мы можем взять либо три $x$ , либо меньше двух $x$ (проверьте!). Поэтому возьмём $x$ со второй, третьей и четвёртой строки, а с первой возьмём число. Следовательно, возможны такие варианты:

$| | | | |x 1 2 3 | |x 1 2 3 | ||x x 1 2 || ||x x 1 2 || ||1 2 x 3 ||, ||1 2 x 3 || || || || || x 1 2 2x x 1 2 2x$

Осталось посчитать количество перестановок, чтобы найти члены, содержащие $x3$ – у первой матрицы число перестановок равно $1$ , у второй равно $5$ . Поэтому элементы равны $− 2x3$ и $− 3x3$ .

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#66046

Доказать, что если матрицы $A$ и $B$ перестановочны, то

$∑n ( ) (A + B )n = n AiBn −i i=0 i$

Привести пример двух матриц, для которых эта формула неверна.

Показать ответ и решение

Если матрицы перестановочны, то $AB = BA$ . Поэтому когда мы из произведения $n$ скобок выбираем $i$ раз матрицу $A$ (и, следовательно, выбираем $n − i$ раз матрицу $B$ ), то мы получаем $(n) i$ слагаемых, состоящих из произведения матриц $A$ и $B$ . Пользуясь перестановочностью матриц, меняем местами множители $A$ и $B$ , перенося таким образом $A$ в левую часть произведения, $B$ – в правую. И получаем требуемое равенство.

На неперестановочных матрицах, конечно же, такое свойство не работает: возьмём для примера $n = 2$ матрицы

$( ) ( ) A = 1 1 ,B = 1 0 ( 0 1) 1( 1 ) 2 1 1 1 AB = 1 1 ,BA = 1 2$

Следовательно,

$(3 2) (A+ B )2 = (A + B )(A + B) = A2 + AB + BA + B2 = A2 + +B2 ⁄= ( ) 2 3 2 4 2 2 2 2 ⁄= A + 2 2 + B = A + 2AB + B$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#66168

С помощью правила Крамера решить систему уравнений:

( ( |{ 2x − x = 1 |{2x + 5x = 1 а) 1 2 б) 1 2 |( x + 16x = 17 |(3x + 7x = 2 1 2 1 2

( (| |||| 2x1 + x2 + x3 = 3 { x1cosα + x2 sin α = cosβ { в) | г) | x1 + 2x2 + x3 = 0 ( − x1sin α + x2cosα = sinβ |||( x1 + x2 + 2x3 = 0

Показать ответ и решение

По правилу Крамера, $detA xj = ----j- detA$ , где $Aj$ получена из $A$ заменой $j$ -того столбца на столбец свободных членов. Проведем вычисления в соответствии с этим правилом.

а)

| | ||1 − 1|| ||17 16|| x1 = |------|-= 16-+-17 = 33-= 1 ||2 − 1|| 32+ 1 33 || || 1 16

| | |2 1 | || || |1--17|- 34-−-1 33- x2 = || || = 32 + 1 = 33 = 1 ||2 − 1|| |1 16|

б)

| | ||1 5|| || || x = 2|--7|-= -7−--10 = −-3 = 3 1 |2 5| 14 − 15 − 1 || || |3 7|

|| || ||2 1|| |3 2| 4− 3 1 x2 = ||----||= -------= ---= − 1 |2 5| 14− 15 − 1 ||3 7||

в)

||cos β sin α|| || || |sinβ cosα| cosβ cosα − sin βsinα cos(α + β ) x1 = ||------------|| = ----cos2α-+-sin2-α----= ----1-----= cos(α + β) ||cos α sin α|| |− sinα cosα|

|| || || cosα cosβ|| |− sin α sin β| cosα sinβ + cosβ sin α sin(α + β ) x2 = ||------------|| = ----cos2α-+-sin2-α---- = ----1-----= sin(α + β) || cosα sin α|| |− sin α cosα|

г)

| | ||3 1 1 || | | ||0 2 1 || ||0 1 2 || 12 − 3 9 x1 = |-------|= --------------------= -- ||2 1 1 || 8 + 1 + 1− 2 − 2− 2 4 ||1 2 1 || || || |1 1 2 |

|| || ||2 3 1|| ||1 0 1|| | | x = ||1--0--2||= -------3−-6--------= − 3- 2 |2 1 1| 8+ 1 + 1− 2 − 2 − 2 4 || || ||1 2 1|| ||1 1 2||

| | ||2 1 3|| || || ||1 2 0|| |1 1 0| 3− 6 3 x3 = ||-------||= -----= − -- ||2 1 1|| 4 4 |1 2 1| || || |1 1 2|

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#66171

Доказать, что след произведения двух матриц не зависит от порядка сомножителей.

Показать ответ и решение

Пусть у нас есть две матрицы - $A$ и $B$ . Мы хотим доказать, что $tr(AB ) = tr(BA )$ .
Для того, чтобы и $AB$ , и $BA$ были определены, нужно чтобы соответствующие размеры матриц были равны: если матрица $A$ размера $n × m$ , то матрица $B$ должна иметь размер $m × n$ . Тогда матрица $AB$ будет размера $n × n$ , а матрица $BA$ - размера $m × m$ .

$( ) ( ) | a11 a12 ... a1m| | b11 b12 ... b1n| A = |( ... |) , B = |( ... |) an1 an2 ... anm bm1 bm2 ... bmn$

У матриц $AB$ и $BA$ , по определению умножения матриц, будут следующие элементы:
$m∑ (AB )pq = aptbtq t=1$
$n (BA )pq = ∑ bprarq r=1$ .

$k tr(C ) = ∑ cii i=1$ , где $C$ - матрица размера $k × k$ .

Тогда:
$n∑ ∑n ∑m tr(AB ) = i=1(AB )ii = i=1j=1aijbji$
$∑m m∑ ∑n tr(BA ) = (BA )j′j′ = bj′i′ai′j′ j′=1 j′=1 i′=1$ .

Если заменить индексы в последней сумме: $j′ = j, i′ = i$ , то получится в точности $tr(AB )$ . Получаем, что $tr(AB ) = tr(BA )$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#66172

Вычислите определитель с помощью представления в виде суммы определителей

1.: $( ) x + 1 4 2 | | det|( x + 2 1 4|) x + 3 5 6$
2.: $( ) | x − 3 x − y 6| det| x − 4 x− 2y 8| ( ) x − 7 x+ 3y 14$
3.: $( ) a1 + b1 a1 + b2 det a2 + b1 a2 + b2$

Показать ответ и решение

1. $( ) ( ) ( ) | x + 1 4 2| |x 4 2| | 1 4 2| det| x + 2 1 4| = det |x 1 4| + det| 2 1 4| ( ) ( ) ( ) x + 3 5 6 x 5 6 3 5 6$ .

При этом второй определитель $( ) 1 4 2 | | det|( 2 1 4|) 3 5 6$ равен нулю. Действительно, если вычесть из третьего столбца первый с коэффициентом 2 (а это Э.П. III, которое не меняет определителя), то получим

( ) ( ) 1 4 2 1 4 0 | | | | det|( 2 1 4|) = det |(2 1 0|) = 0 3 5 6 3 5 0

(как определитель со столбцом нулей).

Таким образом,

( ) ( ) x+ 1 4 2 x 4 2 ( ) ( ) ( ) || || || || 1 4 x 4 x 1 det( x+ 2 1 4) = det( x 1 4) = xdet 5 6 − 4 det x 6 + 2det x 5 = x+ 3 5 6 x 5 6

= − 14x− 8x + 8x = − 14x

2. $( ) ( ) ( ) x − 3 x − y 6 x x − y 6 − 3 x − y 6 || || || || || || det( x − 4 x − 2y 8 ) = det (x x− 2y 8) + det( − 4 x − 2y 8) = x − 7 x + 3y 14 x x+ 3y 14 − 7 x + 3y 14$
$( ) ( ) ( ) | x x 6 | | x − y 6| | − 3 x − y 6| = det| x x 8 | + det| x − 2y 8| + det| − 4 x − 2y 8| ( ) ( ) ( ) -----x x--14- x 3y 14 ----− 7-x +-3y--14- =0, т.к◟. два од◝и◜наковых с◞толбца =0, т.к. если к пос◟л. столбцу п&#x04◝◜ ◞$ .

Таким образом,

( ) ( ) x − 3 x − y 6 x − y 6 ( ) ( ) ( ) det|| || = det|| || = xdet − 2y 8 +y det x 8 +6 det x − 2y = ( x − 4 x− 2y 8) ( x − 2y 8 ) 3y 14 x 14 x 3y x − 7 x+ 3y 14 x 3y 14

= − 52xy + 6xy + 30xy = − 16xy

3. $( ) ( ) ( ) det a1 + b1 a1 + b2 = det a1 a1 + det a1 b2 + a2 + b1 a2 + b2 a2 a2 a2 b2 ◟-----◝◜----◞ =0$
$( ) ( ) b1 a1 b1 b2 + det + det = b1 a2 ◟----b1◝◜-b2-◞ =0$
$= b2a1 − b2a2 + b1a2 − b1a1$ .

Ответ:

Предыдущий раздел

Следующий раздел