Тема №17. Четырёхугольники

01 Задачи №17 из банка ФИПИ → 01.16 №17. Тип 16

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №17. четырёхугольники

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#44277Максимум баллов за задание: 1

Диагональ прямоугольника образует угол $47∘$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $∠OCD = 47∘.$

Так как $ABCD$ — прямоугольник, то его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть:

AO = BO = CO =DO

Значит, треугольник $DOC$ — равнобедренный, отсюда получаем:

∠OCD = ∠ODC = 47∘

$∘∘ ABCDO44?77$

Тогда один из углов между диагоналями равен:

∘ ∠DOC = 180 − ∠OCD − ∠ODC = = 180∘− 47∘− 47∘ =86∘

Таким образом, острый угол между диагоналями равен $86∘.$

Ответ: 86

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#52697Максимум баллов за задание: 1

Диагональ прямоугольника образует угол $63∘$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $∠OCD = 63∘.$

Так как $ABCD$ — прямоугольник, то его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть:

AO = BO = CO =DO

Значит, треугольник $DOC$ — равнобедренный, отсюда получаем:

∠OCD = ∠ODC = 63∘

$∘∘ ABCDO66?33$

Тогда один из углов между диагоналями равен:

∘ ∠DOC = 180 − ∠OCD − ∠ODC = = 180∘− 63∘− 63∘ =54∘

Таким образом, острый угол между диагоналями равен $54∘.$

Ответ: 54

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#104711Максимум баллов за задание: 1

Диагональ прямоугольника образует угол $44∘$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $∠OCD = 44∘.$

Так как $ABCD$ — прямоугольник, то его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть:

AO = BO = CO =DO

Значит, треугольник $DOC$ — равнобедренный, отсюда получаем:

∠OCD = ∠ODC = 44∘

$ABCDO44?44∘∘$

Тогда один из углов между диагоналями равен:

∠DOC = 180∘ − ∠OCD − ∠ODC = ∘ ∘ ∘ ∘ = 180 − 44 − 44 =92

Получили, что $∠DOC$ тупой, а нам нужно найти острый угол между диагоналями. Тогда искомый угол — $∠AOD.$ Он смежный с $∠DOC$ , следовательно, их сумма равна $180∘.$

∠AOD = 180∘ − ∠DOC = 180∘− 92∘ = 88∘

Таким образом, острый угол между диагоналями равен $88∘.$

Ответ: 88

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#122915Максимум баллов за задание: 1

Диагональ прямоугольника образует угол $51∘$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $∠OCD = 51∘.$

Так как $ABCD$ — прямоугольник, то его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть:

AO = BO = CO =DO

Значит, треугольник $DOC$ — равнобедренный, отсюда получаем:

∠OCD = ∠ODC = 51∘

$∘∘ ABCDO55?11$

Тогда один из углов между диагоналями равен:

∘ ∠DOC = 180 − ∠OCD − ∠ODC = = 180∘− 51∘− 51∘ =78∘

Таким образом, острый угол между диагоналями равен $78∘.$

Ответ: 78

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#131505Максимум баллов за задание: 1

Диагональ прямоугольника образует угол $65∘$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $∠OCD = 65∘.$

Так как $ABCD$ — прямоугольник, то его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть:

AO = BO = CO =DO

Значит, треугольник $DOC$ — равнобедренный, отсюда получаем:

∠OCD = ∠ODC = 65∘

$∘∘ ABCDO66?55$

Тогда один из углов между диагоналями равен:

∘ ∠DOC = 180 − ∠OCD − ∠ODC = = 180∘− 65∘− 65∘ =50∘

Таким образом, острый угол между диагоналями равен $50∘.$

Ответ: 50

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#131507Максимум баллов за задание: 1

Диагональ прямоугольника образует угол $70∘$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $∠OCD = 70∘.$

Так как $ABCD$ — прямоугольник, то его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть:

AO = BO = CO =DO

Значит, треугольник $DOC$ — равнобедренный, отсюда получаем:

∠OCD = ∠ODC = 70∘

$∘∘ ABCDO77?00$

Тогда один из углов между диагоналями равен:

∘ ∠DOC = 180 − ∠OCD − ∠ODC = = 180∘− 70∘− 70∘ =40∘

Таким образом, острый угол между диагоналями равен $40∘.$

Ответ: 40

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#131510Максимум баллов за задание: 1

Диагональ прямоугольника образует угол $74∘$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $∠OCD = 74∘.$

Так как $ABCD$ — прямоугольник, то его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть:

AO = BO = CO =DO

Значит, треугольник $DOC$ — равнобедренный, отсюда получаем:

∠OCD = ∠ODC = 74∘

$∘∘ ABCDO77?44$

Тогда один из углов между диагоналями равен:

∘ ∠DOC = 180 − ∠OCD − ∠ODC = = 180∘− 74∘− 74∘ =32∘

Таким образом, острый угол между диагоналями равен $32∘.$

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#131513Максимум баллов за задание: 1

Диагональ прямоугольника образует угол $61∘$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $∠OCD = 61∘.$

Так как $ABCD$ — прямоугольник, то его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть:

AO = BO = CO =DO

Значит, треугольник $DOC$ — равнобедренный, отсюда получаем:

∠OCD = ∠ODC = 61∘

$∘∘ ABCDO66?11$

Тогда один из углов между диагоналями равен:

∘ ∠DOC = 180 − ∠OCD − ∠ODC = = 180∘− 61∘− 61∘ =58∘

Таким образом, острый угол между диагоналями равен $58∘.$

Ответ: 58

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#131519Максимум баллов за задание: 1

Диагональ прямоугольника образует угол $50∘$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $∠OCD = 50∘.$

Так как $ABCD$ — прямоугольник, то его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть:

AO = BO = CO =DO

Значит, треугольник $DOC$ — равнобедренный, отсюда получаем:

∠OCD = ∠ODC = 50∘

$∘∘ ABCDO55?00$

Тогда один из углов между диагоналями равен:

∘ ∠DOC = 180 − ∠OCD − ∠ODC = = 180∘− 50∘− 50∘ =80∘

Таким образом, острый угол между диагоналями равен $80∘.$

Ответ: 80

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#131522Максимум баллов за задание: 1

Диагональ прямоугольника образует угол $86∘$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.