01 №16. Тип 10 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#108435Максимум баллов за задание: 1

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$ . Радиус окружности с центром в точке $O$ , проходящей через вершину $A$ , равен $√-- 10$ . Найдите площадь квадрата $ABCD$ .

$ABDCO$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведем радиус окружности $AO.$

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a.$

$ABCDOaaa- 22$

По условию $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD.$ Из этого следует, что отрезок $DO$ равен половине стороны квадрат:

1 a DO = 2CD = 2 .

Рассмотрим треугольник $ADO.$ В нём угол $ADO$ — прямой как угол квадрата. Значит, треугольник $ADO$ прямоугольный.

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $OAD$ по теореме Пифагора:

OA2 = DO2 + AD2.

Подставим известные значения и выразим $a2 :$

(√--)2 ( a)2 2 10 = 2 + a 2 10= a- + a2 4 10 = 5a2 4 a2 = 10 : 5 =10 ⋅ 4 4 5 a2 = 8.

Площадь квадрата равна квадрату стороны. Значит, площадь квадрата $ABCD$ равна:

SABCD =a2 =8.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#116402Максимум баллов за задание: 1

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$ . Радиус окружности с центром в точке $O$ , проходящей через вершину $A$ , равен $√- 5$ . Найдите площадь квадрата $ABCD$ .

$ABDCO$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведем радиус окружности $AO.$

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a.$

$ABCDOaaa- 22$

По условию $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD.$ Из этого следует, что отрезок $DO$ равен половине стороны квадрат:

1 a DO = 2CD = 2 .

Рассмотрим треугольник $ADO.$ В нём угол $ADO$ — прямой как угол квадрата. Значит, треугольник $ADO$ прямоугольный.

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $OAD$ по теореме Пифагора:

OA2 = DO2 + AD2.

Подставим известные значения и выразим $a2 :$

(√ -)2 (a)2 2 5 = 2 +a 2 5= a-+ a2 4 5= 5 a2 4 a2 =5 : 5 =5 ⋅ 4 4 5 a2 = 4.

Площадь квадрата равна квадрату стороны. Значит, площадь квадрата $ABCD$ равна:

SABCD =a2 =4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#123734Максимум баллов за задание: 1

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$ . Радиус окружности с центром в точке $O$ , проходящей через вершину $A$ , равен $√- -5- 2$ . Найдите площадь квадрата $ABCD$ .

$ABDCO$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведем радиус окружности $AO.$

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a.$

$ABCDOaaa- 22$

По условию $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD.$ Из этого следует, что отрезок $DO$ равен половине стороны квадрат:

1 a DO = 2CD = 2 .

Рассмотрим треугольник $ADO.$ В нём угол $ADO$ — прямой как угол квадрата. Значит, треугольник $ADO$ прямоугольный.

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $OAD$ по теореме Пифагора:

OA2 = DO2 + AD2.

Подставим известные значения и выразим $a2 :$

(√ -)2 ( )2 --5 = a + a2 2 2 5 a2 2 4 = 4 +a 5 5 2 4 = 4a 2 a = 1.

Площадь квадрата равна квадрату стороны. Значит, площадь квадрата $ABCD$ равна:

2 SABCD =a =1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#133390Максимум баллов за задание: 1

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$ . Радиус окружности с центром в точке $O$ , проходящей через вершину $A$ , равен 3. Найдите площадь квадрата $ABCD$ .

$ABDCO$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведем радиус окружности $AO.$

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a.$

$ABCDOaaa- 22$

По условию $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD.$ Из этого следует, что отрезок $DO$ равен половине стороны квадрат:

1 a DO = 2CD = 2 .

Рассмотрим треугольник $ADO.$ В нём угол $ADO$ — прямой как угол квадрата. Значит, треугольник $ADO$ прямоугольный.

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $OAD$ по теореме Пифагора:

OA2 = DO2 + AD2.

Подставим известные значения и выразим $a2 :$

2 (a )2 2 3 = 2 + a 2 9= a-+ a2 4 9= 5 a2 4 a2 =9 : 5 =9 ⋅ 4 4 5 a2 = 7,2.

Площадь квадрата равна квадрату стороны. Значит, площадь квадрата $ABCD$ равна:

SABCD = a2 = 7,2.

Ответ: 7,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#133391Максимум баллов за задание: 1

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD.$ Радиус окружности с центром в точке $O,$ проходящей через вершину $A,$ равен 1. Найдите площадь квадрата $ABCD.$

$ABDCO$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведем радиус окружности $AO.$

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a.$

$ABCDOaaa- 22$

По условию $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD.$ Из этого следует, что отрезок $DO$ равен половине стороны квадрат:

1 a DO = 2CD = 2 .

Рассмотрим треугольник $ADO.$ В нём угол $ADO$ — прямой как угол квадрата. Значит, треугольник $ADO$ прямоугольный.

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $OAD$ по теореме Пифагора:

OA2 = DO2 + AD2.

Подставим известные значения и выразим $a2 :$

2 (a )2 2 1 = 2 + a 2 1= a-+ a2 4 1= 5 a2 4 a2 =1 : 5 =1 ⋅ 4 4 5 a2 = 0,8.

Площадь квадрата равна квадрату стороны. Значит, площадь квадрата $ABCD$ равна:

SABCD = a2 = 0,8.

Ответ: 0,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#133392Максимум баллов за задание: 1

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$ . Радиус окружности с центром в точке $O$ , проходящей через вершину $A$ , равен 5. Найдите площадь квадрата $ABCD$ .

$ABDCO$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведем радиус окружности $AO.$

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a.$

$ABCDOaaa- 22$

По условию $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD.$ Из этого следует, что отрезок $DO$ равен половине стороны квадрат:

1 a DO = 2CD = 2 .

Рассмотрим треугольник $ADO.$ В нём угол $ADO$ — прямой как угол квадрата. Значит, треугольник $ADO$ прямоугольный.

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $OAD$ по теореме Пифагора:

OA2 = DO2 + AD2.

Подставим известные значения и выразим $a2 :$

2 (a )2 2 5 = 2 + a 2 25= a- + a2 4 25 = 5a2 4 a2 = 25 : 5 =25 ⋅ 4 4 5 a2 = 20.

Площадь квадрата равна квадрату стороны. Значит, площадь квадрата $ABCD$ равна:

SABCD = a2 = 20.

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#133394Максимум баллов за задание: 1

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$ . Радиус окружности с центром в точке $O$ , проходящей через вершину $A$ , равен 2. Найдите площадь квадрата $ABCD$ .

$ABDCO$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведем радиус окружности $AO.$

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a.$

$ABCDOaaa- 22$

По условию $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD.$ Из этого следует, что отрезок $DO$ равен половине стороны квадрат:

1 a DO = 2CD = 2 .

Рассмотрим треугольник $ADO.$ В нём угол $ADO$ — прямой как угол квадрата. Значит, треугольник $ADO$ прямоугольный.

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $OAD$ по теореме Пифагора:

OA2 = DO2 + AD2.

Подставим известные значения и выразим $a2 :$

2 (a )2 2 2 = 2 + a 2 4= a-+ a2 4 4= 5 a2 4 a2 =4 : 5 =4 ⋅ 4 4 5 a2 = 3,2.

Площадь квадрата равна квадрату стороны. Значит, площадь квадрата $ABCD$ равна:

SABCD = a2 = 3,2.

Ответ: 3,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#133395Максимум баллов за задание: 1

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$ . Радиус окружности с центром в точке $O$ , проходящей через вершину $A$ , равен 1,5. Найдите площадь квадрата $ABCD$ .

$ABDCO$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведем радиус окружности $AO.$

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a.$

$ABCDOaaa- 22$

По условию $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD.$ Из этого следует, что отрезок $DO$ равен половине стороны квадрат:

1 a DO = 2CD = 2 .

Рассмотрим треугольник $ADO.$ В нём угол $ADO$ — прямой как угол квадрата. Значит, треугольник $ADO$ прямоугольный.

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $OAD$ по теореме Пифагора:

OA2 = DO2 + AD2.

Подставим известные значения и выразим $a2 :$

2 (a)2 2 1,5 = 2 + a 2 2,25= a-+ a2 4 2,25 = 5a2 4 a2 = 2,25 : 5 =2,25⋅ 4 4 5 a2 = 1,8.

Площадь квадрата равна квадрату стороны. Значит, площадь квадрата $ABCD$ равна:

SABCD = a2 = 1,8.

Ответ: 1,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#133396Максимум баллов за задание: 1

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$ . Радиус окружности с центром в точке $O$ , проходящей через вершину $A$ , равен 2,5. Найдите площадь квадрата $ABCD$ .

$ABDCO$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведем радиус окружности $AO.$

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a.$

$ABCDOaaa- 22$

По условию $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD.$ Из этого следует, что отрезок $DO$ равен половине стороны квадрат:

1 a DO = 2CD = 2 .

Рассмотрим треугольник $ADO.$ В нём угол $ADO$ — прямой как угол квадрата. Значит, треугольник $ADO$ прямоугольный.

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $OAD$ по теореме Пифагора:

OA2 = DO2 + AD2.

Подставим известные значения и выразим $a2 :$

2 (a)2 2 2,5 = 2 + a 2 6,25= a-+ a2 4 6,25 = 5a2 4 a2 = 6,25 : 5 =6,25⋅ 4 4 5 a2 = 5.

Площадь квадрата равна квадрату стороны. Значит, площадь квадрата $ABCD$ равна:

SABCD =a2 =5.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#133397Максимум баллов за задание: 1

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$ . Радиус окружности с центром в точке $O$ , проходящей через вершину $A$ , равен 0,5. Найдите площадь квадрата $ABCD$ .

$ABDCO$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведем радиус окружности $AO.$

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a.$

$ABCDOaaa- 22$

По условию $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD.$ Из этого следует, что отрезок $DO$ равен половине стороны квадрат:

1 a DO = 2CD = 2 .

Рассмотрим треугольник $ADO.$ В нём угол $ADO$ — прямой как угол квадрата. Значит, треугольник $ADO$ прямоугольный.

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $OAD$ по теореме Пифагора:

OA2 = DO2 + AD2.

Подставим известные значения и выразим $a2 :$

2 (a)2 2 0,5 = 2 + a 2 0,25= a-+ a2 4 0,25 = 5a2 4 a2 = 0,25 : 5 =0,25⋅ 4 4 5 a2 = 0,2.

Площадь квадрата равна квадрату стороны. Значит, площадь квадрата $ABCD$ равна:

SABCD = a2 = 0,2.

Ответ: 0,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#133398Максимум баллов за задание: 1

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$ . Радиус окружности с центром в точке $O$ , проходящей через вершину $A$ , равен $√- 2 5$ . Найдите площадь квадрата $ABCD$ .

$ABDCO$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведем радиус окружности $AO.$

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a.$

$ABCDOaaa- 22$

По условию $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD.$ Из этого следует, что отрезок $DO$ равен половине стороны квадрат:

1 a DO = 2CD = 2 .

Рассмотрим треугольник $ADO.$ В нём угол $ADO$ — прямой как угол квадрата. Значит, треугольник $ADO$ прямоугольный.

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $OAD$ по теореме Пифагора:

OA2 = DO2 + AD2.

Подставим известные значения и выразим $a2 :$

( √-)2 ( a)2 2 2 5 = 2 + a 2 20= a- + a2 4 20 = 5a2 4 a2 = 20 : 5 =20 ⋅ 4 4 5 a2 = 16.

Площадь квадрата равна квадрату стороны. Значит, площадь квадрата $ABCD$ равна:

SABCD = a2 = 16.

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#133403Максимум баллов за задание: 1

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$ . Радиус окружности с центром в точке $O$ , проходящей через вершину $A$ , равен $√- 3 5$ . Найдите площадь квадрата $ABCD$ .