Тема №16. Окружности

01 Задачи №16 из банка ФИПИ → 01.15 №16. Тип 15

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №16. окружности

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#48494Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√ - 16 3$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, находится по формуле

a√3 R = -3--,

где $R$ — радиус окружности, $a$ — сторона треугольника.

Значит, радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $16√3,$ равен:

√- √ - R = 16-3⋅--3= 16. 3

Способ 2

Обозначим треугольник как $ABC.$

$√ - ABC1660∘ 3$

Углы равностороннего треугольника равны $60∘.$ Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60∘.$

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов

--a---= 2R. sin 60∘

Синус $60∘$ — табличная величина:

√- sin 60∘ = -3- 2

Из полученной формулы выразим $R :$

-a√- = 2R -3- 2 √3 2--⋅2R = a √- 3R =√ a a--3 R = 3 .

По условию стороны треугольника равны $16√3.$ Получаем

√- √ - 16-3⋅--3 R = 3 = 16.

Ответ: 16

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#116403Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√ - 18 3$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, находится по формуле

a√3 R = -3--,

где $R$ — радиус окружности, $a$ — сторона треугольника.

Значит, радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $18√3,$ равен:

√- √ - R = 18-3⋅--3= 18. 3

Способ 2

Обозначим треугольник как $ABC.$

$√ - ABC1680∘ 3$

Углы равностороннего треугольника равны $60∘.$ Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60∘.$

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов

--a---= 2R. sin 60∘

Синус $60∘$ — табличная величина:

√- sin 60∘ = -3- 2

Из полученной формулы выразим $R :$

-a√- = 2R -3- 2 √3 2--⋅2R = a √- 3R =√ a a--3 R = 3 .

По условию стороны треугольника равны $18√3.$ Получаем

√- √ - 18-3⋅--3 R = 3 = 18.

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#123740Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√- 8 3$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, находится по формуле

a√3 R = -3--,

где $R$ — радиус окружности, $a$ — сторона треугольника.

Значит, радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $8√3,$ равен:

√- √ - R = 8-3⋅--3= 8. 3

Способ 2

Обозначим треугольник как $ABC.$

$√ - ABC860∘3$

Углы равностороннего треугольника равны $60∘.$ Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60∘.$

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов

--a---= 2R. sin 60∘

Синус $60∘$ — табличная величина:

√- sin 60∘ = -3- 2

Из полученной формулы выразим $R :$

-a√- = 2R -3- 2 √3 2--⋅2R = a √- 3R =√ a a--3 R = 3 .

По условию стороны треугольника равны $8√3.$ Получаем

√- √ - 8-3⋅--3 R = 3 = 8.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#133454Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√ - 20 3$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, находится по формуле

a√3 R = -3--,

где $R$ — радиус окружности, $a$ — сторона треугольника.

Значит, радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $20√3,$ равен:

√- √ - R = 20-3⋅--3= 20. 3

Способ 2

Обозначим треугольник как $ABC.$

$√ - ABC2600∘ 3$

Углы равностороннего треугольника равны $60∘.$ Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60∘.$

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов

--a---= 2R. sin 60∘

Синус $60∘$ — табличная величина:

√- sin 60∘ = -3- 2

Из полученной формулы выразим $R :$

-a√- = 2R -3- 2 √3 2--⋅2R = a √- 3R =√ a a--3 R = 3 .

По условию стороны треугольника равны $20√3.$ Получаем

√- √ - 20-3⋅--3 R = 3 = 20.

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#133455Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√- 4 3$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, находится по формуле

a√3 R = -3--,

где $R$ — радиус окружности, $a$ — сторона треугольника.

Значит, радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $4√3,$ равен:

√- √ - R = 4-3⋅--3= 4. 3

Способ 2

Обозначим треугольник как $ABC.$

$√ - ABC460∘3$

Углы равностороннего треугольника равны $60∘.$ Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60∘.$

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов

--a---= 2R. sin 60∘

Синус $60∘$ — табличная величина:

√- sin 60∘ = -3- 2

Из полученной формулы выразим $R :$

-a√- = 2R -3- 2 √3 2--⋅2R = a √- 3R =√ a a--3 R = 3 .

По условию стороны треугольника равны $4√3.$ Получаем

√- √ - 4-3⋅--3 R = 3 = 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#133456Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√- 6 3$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, находится по формуле

a√3 R = -3--,

где $R$ — радиус окружности, $a$ — сторона треугольника.

Значит, радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $6√3,$ равен:

√- √ - R = 6-3⋅--3= 6. 3

Способ 2

Обозначим треугольник как $ABC.$

$√ - ABC660∘3$

Углы равностороннего треугольника равны $60∘.$ Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60∘.$

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов

--a---= 2R. sin 60∘

Синус $60∘$ — табличная величина:

√- sin 60∘ = -3- 2

Из полученной формулы выразим $R :$

-a√- = 2R -3- 2 √3 2--⋅2R = a √- 3R =√ a a--3 R = 3 .

По условию стороны треугольника равны $6√3.$ Получаем

√- √ - 6-3⋅--3 R = 3 = 6.

Ответ: 6

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#133457Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√ - 12 3$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, находится по формуле

a√3 R = -3--,

где $R$ — радиус окружности, $a$ — сторона треугольника.

Значит, радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $12√3,$ равен:

√- √ - R = 12-3⋅--3= 12. 3

Способ 2

Обозначим треугольник как $ABC.$

$√ - ABC1620∘ 3$

Углы равностороннего треугольника равны $60∘.$ Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60∘.$

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов

--a---= 2R. sin 60∘

Синус $60∘$ — табличная величина:

√- sin 60∘ = -3- 2

Из полученной формулы выразим $R :$

-a√- = 2R -3- 2 √3 2--⋅2R = a √- 3R =√ a a--3 R = 3 .

По условию стороны треугольника равны $12√3.$ Получаем

√- √ - 12-3⋅--3 R = 3 = 12.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#133458Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√ - 14 3$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, находится по формуле

a√3 R = -3--,

где $R$ — радиус окружности, $a$ — сторона треугольника.

Значит, радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $14√3,$ равен:

√- √ - R = 14-3⋅--3= 14. 3

Способ 2

Обозначим треугольник как $ABC.$

$√ - ABC1640∘ 3$

Углы равностороннего треугольника равны $60∘.$ Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60∘.$

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов

--a---= 2R. sin 60∘

Синус $60∘$ — табличная величина:

√- sin 60∘ = -3- 2

Из полученной формулы выразим $R :$

-a√- = 2R -3- 2 √3 2--⋅2R = a √- 3R =√ a a--3 R = 3 .

По условию стороны треугольника равны $14√3.$ Получаем

√- √ - 14-3⋅--3 R = 3 = 14.

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#133459Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√- 2 3$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, находится по формуле

a√3 R = -3--,

где $R$ — радиус окружности, $a$ — сторона треугольника.

Значит, радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $2√3,$ равен:

√- √ - R = 2-3⋅--3= 2. 3

Способ 2

Обозначим треугольник как $ABC.$

$√ - ABC260∘3$

Углы равностороннего треугольника равны $60∘.$ Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60∘.$

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов

--a---= 2R. sin 60∘

Синус $60∘$ — табличная величина:

√- sin 60∘ = -3- 2

Из полученной формулы выразим $R :$

-a√- = 2R -3- 2 √3 2--⋅2R = a √- 3R =√ a a--3 R = 3 .

По условию стороны треугольника равны $2√3.$ Получаем

√- √ - 2-3⋅--3 R = 3 = 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#133460Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√ - 10 3$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, находится по формуле

a√3 R = -3--,

где $R$ — радиус окружности, $a$ — сторона треугольника.

Значит, радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $10√3,$ равен:

√- √ - R = 10-3⋅--3= 10. 3

Способ 2

Обозначим треугольник как $ABC.$

$√ - ABC1600∘ 3$

Углы равностороннего треугольника равны $60∘.$ Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60∘.$

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов

--a---= 2R. sin 60∘

Синус $60∘$ — табличная величина:

√- sin 60∘ = -3- 2

Из полученной формулы выразим $R :$

-a√- = 2R -3- 2 √3 2--⋅2R = a √- 3R =√ a a--3 R = 3 .

По условию стороны треугольника равны $10√3.$ Получаем

√- √ - 10-3⋅--3 R = 3 = 10.

Ответ: 10

Предыдущая подтема

Следующая подтема