Тема №16. Окружности

01 Задачи №16 из банка ФИПИ → 01.16 №16. Тип 16

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №16. окружности

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#57329Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $√ - 6 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, находится по формуле

a√3 R = -3--,

где $R$ — радиус окружности, $a$ — сторона треугольника.

По условию радиус описанной окружности равен $√ - 6 3.$ В данную формулу подставим значение радиуса и выразим сторону треугольника:

√ - 6√3 = a--3 - 3 - 6√3⋅3 =a√ 3 6⋅3 =a a= 18

Таким образом, сторона треугольника равна 18.

Способ 2

Обозначим треугольник как $ABC.$

$ABC?60∘$

Углы равностороннего треугольника равны $60∘.$ Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60∘.$

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов

--a---= 2R. sin 60∘

Синус $60∘$ — табличная величина:

√- sin 60∘ = -3- 2

Из полученной формулы выразим $a :$

a -√3 = 2R 2-- √- a = -3-⋅2R 2 a = √3R.

По условию радиус окружности равен $√- 6 3.$ Получаем

a= √3-⋅6√3= 18.

Ответ: 18

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#116404Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $√ - 8 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, находится по формуле

a√3 R = -3--,

где $R$ — радиус окружности, $a$ — сторона треугольника.

По условию радиус описанной окружности равен $√ - 8 3.$ В данную формулу подставим значение радиуса и выразим сторону треугольника:

√ - 8√3 = a--3 - 3 - 8√3⋅3 =a√ 3 8⋅3 =a a= 24

Таким образом, сторона треугольника равна 24.

Способ 2

Обозначим треугольник как $ABC.$

$ABC?60∘$

Углы равностороннего треугольника равны $60∘.$ Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60∘.$

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов

--a---= 2R. sin 60∘

Синус $60∘$ — табличная величина:

√- sin 60∘ = -3- 2

Из полученной формулы выразим $a :$

a -√3 = 2R 2-- √- a = -3-⋅2R 2 a = √3R.

По условию радиус окружности равен $√- 8 3.$ Получаем

a= √3-⋅8√3= 24.

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#123741Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $√ - 3 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, находится по формуле

a√3 R = -3--,

где $R$ — радиус окружности, $a$ — сторона треугольника.

По условию радиус описанной окружности равен $√ - 3 3.$ В данную формулу подставим значение радиуса и выразим сторону треугольника:

√ - 3√3 = a--3 - 3 - 3√3⋅3 =a√ 3 3⋅3 =a a =9

Таким образом, сторона треугольника равна 9.

Способ 2

Обозначим треугольник как $ABC.$

$ABC?60∘$

Углы равностороннего треугольника равны $60∘.$ Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60∘.$

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов

--a---= 2R. sin 60∘

Синус $60∘$ — табличная величина:

√- sin 60∘ = -3- 2

Из полученной формулы выразим $a :$

a -√3 = 2R 2-- √- a = -3-⋅2R 2 a = √3R.

По условию радиус окружности равен $√- 3 3.$ Получаем

a = √3⋅3√3 = 9.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#133461Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $√- 10 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, находится по формуле

a√3 R = -3--,

где $R$ — радиус окружности, $a$ — сторона треугольника.

По условию радиус описанной окружности равен $√ - 10 3.$ В данную формулу подставим значение радиуса и выразим сторону треугольника:

√- 10√3 = a-3- - 3 - 10√3 ⋅3= a√3 10 ⋅3= a a= 30

Таким образом, сторона треугольника равна 30.

Способ 2

Обозначим треугольник как $ABC.$

$ABC?60∘$

Углы равностороннего треугольника равны $60∘.$ Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60∘.$

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов

--a---= 2R. sin 60∘

Синус $60∘$ — табличная величина:

√- sin 60∘ = -3- 2

Из полученной формулы выразим $a :$

a -√3 = 2R 2-- √- a = -3-⋅2R 2 a = √3R.

По условию радиус окружности равен $√ - 10 3.$ Получаем

a = √3⋅10√3 = 30.

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#133462Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $√ - 5 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, находится по формуле

a√3 R = -3--,

где $R$ — радиус окружности, $a$ — сторона треугольника.

По условию радиус описанной окружности равен $√ - 5 3.$ В данную формулу подставим значение радиуса и выразим сторону треугольника:

√ - 5√3 = a--3 - 3 - 5√3⋅3 =a√ 3 5⋅3 =a a= 15

Таким образом, сторона треугольника равна 15.

Способ 2

Обозначим треугольник как $ABC.$

$ABC?60∘$

Углы равностороннего треугольника равны $60∘.$ Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60∘.$

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов

--a---= 2R. sin 60∘

Синус $60∘$ — табличная величина:

√- sin 60∘ = -3- 2

Из полученной формулы выразим $a :$

a -√3 = 2R 2-- √- a = -3-⋅2R 2 a = √3R.

По условию радиус окружности равен $√- 5 3.$ Получаем

a= √3-⋅5√3= 15.

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#133463Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $√ - 7 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, находится по формуле

a√3 R = -3--,

где $R$ — радиус окружности, $a$ — сторона треугольника.

По условию радиус описанной окружности равен $√ - 7 3.$ В данную формулу подставим значение радиуса и выразим сторону треугольника:

√ - 7√3 = a--3 - 3 - 7√3⋅3 =a√ 3 7⋅3 =a a= 21

Таким образом, сторона треугольника равна 21.

Способ 2

Обозначим треугольник как $ABC.$

$ABC?60∘$

Углы равностороннего треугольника равны $60∘.$ Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60∘.$

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов

--a---= 2R. sin 60∘

Синус $60∘$ — табличная величина:

√- sin 60∘ = -3- 2

Из полученной формулы выразим $a :$

a -√3 = 2R 2-- √- a = -3-⋅2R 2 a = √3R.

По условию радиус окружности равен $√- 7 3.$ Получаем

a= √3-⋅7√3= 21.

Ответ: 21

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#133464Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $√- 11 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, находится по формуле

a√3 R = -3--,

где $R$ — радиус окружности, $a$ — сторона треугольника.

По условию радиус описанной окружности равен $√ - 11 3.$ В данную формулу подставим значение радиуса и выразим сторону треугольника:

√- 11√3 = a-3- - 3 - 11√3 ⋅3= a√3 11 ⋅3= a a= 33

Таким образом, сторона треугольника равна 33.

Способ 2

Обозначим треугольник как $ABC.$

$ABC?60∘$

Углы равностороннего треугольника равны $60∘.$ Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60∘.$

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов

--a---= 2R. sin 60∘

Синус $60∘$ — табличная величина:

√- sin 60∘ = -3- 2

Из полученной формулы выразим $a :$

a -√3 = 2R 2-- √- a = -3-⋅2R 2 a = √3R.

По условию радиус окружности равен $√ - 11 3.$ Получаем

a = √3⋅11√3 = 33.

Ответ: 33

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#133465Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $√ - 9 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, находится по формуле

a√3 R = -3--,

где $R$ — радиус окружности, $a$ — сторона треугольника.

По условию радиус описанной окружности равен $√ - 9 3.$ В данную формулу подставим значение радиуса и выразим сторону треугольника:

√ - 9√3 = a--3 - 3 - 9√3⋅3 =a√ 3 9⋅3 =a a= 27

Таким образом, сторона треугольника равна 27.

Способ 2

Обозначим треугольник как $ABC.$

$ABC?60∘$

Углы равностороннего треугольника равны $60∘.$ Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60∘.$

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов

--a---= 2R. sin 60∘

Синус $60∘$ — табличная величина:

√- sin 60∘ = -3- 2

Из полученной формулы выразим $a :$

a -√3 = 2R 2-- √- a = -3-⋅2R 2 a = √3R.

По условию радиус окружности равен $√- 9 3.$ Получаем

a= √3-⋅9√3= 27.

Ответ: 27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#133467Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $√ - 2 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, находится по формуле

a√3 R = -3--,

где $R$ — радиус окружности, $a$ — сторона треугольника.

По условию радиус описанной окружности равен $√ - 2 3.$ В данную формулу подставим значение радиуса и выразим сторону треугольника:

√ - 2√3 = a--3 - 3 - 2√3⋅3 =a√ 3 2⋅3 =a a =6

Таким образом, сторона треугольника равна 6.

Способ 2

Обозначим треугольник как $ABC.$

$ABC?60∘$

Углы равностороннего треугольника равны $60∘.$ Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60∘.$

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов

--a---= 2R. sin 60∘

Синус $60∘$ — табличная величина:

√- sin 60∘ = -3- 2

Из полученной формулы выразим $a :$

a -√3 = 2R 2-- √- a = -3-⋅2R 2 a = √3R.

По условию радиус окружности равен $√- 2 3.$ Получаем

a = √3⋅2√3 = 6.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#133468Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $√ - 4 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, находится по формуле

a√3 R = -3--,

где $R$ — радиус окружности, $a$ — сторона треугольника.

По условию радиус описанной окружности равен $√ - 4 3.$ В данную формулу подставим значение радиуса и выразим сторону треугольника:

√ - 4√3 = a--3 - 3 - 4√3⋅3 =a√ 3 4⋅3 =a a= 12

Таким образом, сторона треугольника равна 12.

Способ 2

Обозначим треугольник как $ABC.$

$ABC?60∘$

Углы равностороннего треугольника равны $60∘.$ Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60∘.$

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов

--a---= 2R. sin 60∘

Синус $60∘$ — табличная величина:

√- sin 60∘ = -3- 2

Из полученной формулы выразим $a :$

a -√3 = 2R 2-- √- a = -3-⋅2R 2 a = √3R.

По условию радиус окружности равен $√- 4 3.$ Получаем

a= √3-⋅4√3= 12.

Ответ: 12

Предыдущая подтема

Следующая подтема