01 №16. Тип 19 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#48495Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√- 4 3$ . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию сторона треугольника равна $√ - 4 3.$ Значит, радиус вписанной окружности равен:

√ - √ - r = 4-3⋅--3= 4⋅3-= 2. 6 6

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$∘ 6ha0$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

∘ h- sin60 = a.

Подставим табличное значение $√3- sin60∘ =-2-$ и выразим высоту $h.$

√3 h -2-= a- √- h = a-3. 2

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

√- r = h-= a-3. 3 6

По условию сторона треугольника равна $4√3.$ Значит, радиус вписанной окружности равен:

√ - √ - 4-3⋅--3 4⋅3- r = 6 = 6 = 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#116407Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√ - 18 3$ . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию сторона треугольника равна $√ - 18 3.$ Значит, радиус вписанной окружности равен:

√ - √ - r = 18-3⋅--3= 18⋅3 = 9. 6 6

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$∘ 6ha0$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

∘ h- sin60 = a.

Подставим табличное значение $√3- sin60∘ =-2-$ и выразим высоту $h.$

√3 h -2-= a- √- h = a-3. 2

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

√- r = h-= a-3. 3 6

По условию сторона треугольника равна $18√3.$ Значит, радиус вписанной окружности равен:

√ - √ - 18-3⋅--3 18⋅3 r = 6 = 6 = 9.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#123760Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√ - 10 3$ . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию сторона треугольника равна $√ - 10 3.$ Значит, радиус вписанной окружности равен:

√ - √ - r = 10-3⋅--3= 10⋅3 = 5. 6 6

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$∘ 6ha0$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

∘ h- sin60 = a.

Подставим табличное значение $√3- sin60∘ =-2-$ и выразим высоту $h.$

√3 h -2-= a- √- h = a-3. 2

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

√- r = h-= a-3. 3 6

По условию сторона треугольника равна $10√3.$ Значит, радиус вписанной окружности равен:

√ - √ - 10-3⋅--3 10⋅3 r = 6 = 6 = 5.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#133473Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√ - 14 3$ . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию сторона треугольника равна $√ - 14 3.$ Значит, радиус вписанной окружности равен:

√ - √ - r = 14-3⋅--3= 14⋅3 = 7. 6 6

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$∘ 6ha0$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

∘ h- sin60 = a.

Подставим табличное значение $√3- sin60∘ =-2-$ и выразим высоту $h.$

√3 h -2-= a- √- h = a-3. 2

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

√- r = h-= a-3. 3 6

По условию сторона треугольника равна $14√3.$ Значит, радиус вписанной окружности равен:

√ - √ - 14-3⋅--3 14⋅3 r = 6 = 6 = 7.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#133474Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√ - 16 3$ . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию сторона треугольника равна $√ - 16 3.$ Значит, радиус вписанной окружности равен:

√ - √ - r = 16-3⋅--3= 16⋅3 = 8. 6 6

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$∘ 6ha0$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

∘ h- sin60 = a.

Подставим табличное значение $√3- sin60∘ =-2-$ и выразим высоту $h.$

√3 h -2-= a- √- h = a-3. 2

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

√- r = h-= a-3. 3 6

По условию сторона треугольника равна $16√3.$ Значит, радиус вписанной окружности равен:

√ - √ - 16-3⋅--3 16⋅3 r = 6 = 6 = 8.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#133475Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√- 6 3$ . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию сторона треугольника равна $√ - 6 3.$ Значит, радиус вписанной окружности равен:

√ - √ - r = 6-3⋅--3= 6⋅3-= 3. 6 6

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$∘ 6ha0$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

∘ h- sin60 = a.

Подставим табличное значение $√3- sin60∘ =-2-$ и выразим высоту $h.$

√3 h -2-= a- √- h = a-3. 2

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

√- r = h-= a-3. 3 6

По условию сторона треугольника равна $6√3.$ Значит, радиус вписанной окружности равен:

√ - √ - 6-3⋅--3 6⋅3- r = 6 = 6 = 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#133476Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√- 2 3$ . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию сторона треугольника равна $√ - 2 3.$ Значит, радиус вписанной окружности равен:

√ - √ - r = 2-3⋅--3= 2⋅3-= 1. 6 6

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$∘ 6ha0$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

∘ h- sin60 = a.

Подставим табличное значение $√3- sin60∘ =-2-$ и выразим высоту $h.$

√3 h -2-= a- √- h = a-3. 2

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

√- r = h-= a-3. 3 6

По условию сторона треугольника равна $2√3.$ Значит, радиус вписанной окружности равен:

√ - √ - 2-3⋅--3 2⋅3- r = 6 = 6 = 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#133477Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√ - 20 3$ . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию сторона треугольника равна $√ - 20 3.$ Значит, радиус вписанной окружности равен:

√- √- r = 20-3-⋅-3 = 20⋅3= 10. 6 6

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$∘ 6ha0$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

∘ h- sin60 = a.

Подставим табличное значение $√3- sin60∘ =-2-$ и выразим высоту $h.$

√3 h -2-= a- √- h = a-3. 2

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

√- r = h-= a-3. 3 6

По условию сторона треугольника равна $20√3.$ Значит, радиус вписанной окружности равен:

√- √- 20-3-⋅-3 20⋅3 r = 6 = 6 = 10.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#133478Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√- 8 3$ . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию сторона треугольника равна $√ - 8 3.$ Значит, радиус вписанной окружности равен:

√ - √ - r = 8-3⋅--3= 8⋅3-= 4. 6 6

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$∘ 6ha0$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

∘ h- sin60 = a.

Подставим табличное значение $√3- sin60∘ =-2-$ и выразим высоту $h.$

√3 h -2-= a- √- h = a-3. 2

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

√- r = h-= a-3. 3 6

По условию сторона треугольника равна $8√3.$ Значит, радиус вписанной окружности равен:

√ - √ - 8-3⋅--3 8⋅3- r = 6 = 6 = 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#133479Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√ - 12 3$ . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию сторона треугольника равна $√ - 12 3.$ Значит, радиус вписанной окружности равен:

√ - √ - r = 12-3⋅--3= 12⋅3 = 6. 6 6

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$∘ 6ha0$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

∘ h- sin60 = a.

Подставим табличное значение $√3- sin60∘ =-2-$ и выразим высоту $h.$

√3 h -2-= a- √- h = a-3. 2

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

√- r = h-= a-3. 3 6

По условию сторона треугольника равна $12√3.$ Значит, радиус вписанной окружности равен:

√ - √ - 12-3⋅--3 12⋅3 r = 6 = 6 = 6.

Ответ: 6

01 Задачи №16 из банка ФИПИ → 01.19 №16. Тип 19