01 №16. Тип 14 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88756Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC =12,$ $BC = 5,$ угол $C$ равен $90∘.$ Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

$ABC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABC15??2$

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:

2 2 2 AB = BC + AC .

Выразим $AB$ и подставим известные значения:

∘ ---2----2- ∘ -2----2 AB = √BC--+-AC √=--5 + 12 = = 25+ 144= 169 = 13

Если вписанный угол равен $∘ 90 ,$ то он опирается на диаметр.

Угол $ACB$ вписанный и равен $90∘.$ Значит, угол $ACB$ опирается на диаметр, то есть $AB$ — диаметр.

Радиус окружности равен половине диаметра. Значит, радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ равен:

R = 1AB = 13= 6,5. 2 2

Ответ: 6,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#123739Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 10,$ $BC = 24,$ угол $C$ равен $90∘.$ Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

$ABC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABC12??04$

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:

AB2 = BC2 + AC2.

Выразим $AB$ и подставим известные значения:

∘---------- ∘ -------- AB = BC2 + AC2 = 242 +102 = = √576-+-100-= √676= 26

Если вписанный угол равен $90∘,$ то он опирается на диаметр.

Угол $ACB$ вписанный и равен $∘ 90.$ Значит, угол $ACB$ опирается на диаметр, то есть $AB$ — диаметр.

Радиус окружности равен половине диаметра. Значит, радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ равен:

R = 1AB = 26 =13. 2 2

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#133438Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC =6,$ $BC = 8,$ угол $C$ равен $90∘.$ Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

$ABC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABC68??$

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:

AB2 = BC2 + AC2.

Выразим $AB$ и подставим известные значения:

∘ ---------- ∘ ------ AB = BC2 + AC2 = 82 +62 = = √64-+-36= √100= 10

Если вписанный угол равен $90∘,$ то он опирается на диаметр.

Угол $ACB$ вписанный и равен $∘ 90.$ Значит, угол $ACB$ опирается на диаметр, то есть $AB$ — диаметр.

Радиус окружности равен половине диаметра. Значит, радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ равен:

R = 1AB = 10 = 5. 2 2

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#133440Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC =8,$ $BC = 15,$ угол $C$ равен $90∘.$ Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

$ABC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABC81??5$

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:

AB2 = BC2 + AC2.

Выразим $AB$ и подставим известные значения:

∘ ---------- ∘ ------- AB = BC2 + AC2 = 152+ 82 = = √225+-64= √289-= 17

Если вписанный угол равен $90∘,$ то он опирается на диаметр.

Угол $ACB$ вписанный и равен $∘ 90.$ Значит, угол $ACB$ опирается на диаметр, то есть $AB$ — диаметр.

Радиус окружности равен половине диаметра. Значит, радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ равен:

R = 1AB = 17= 8,5. 2 2

Ответ: 8,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#133441Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 16,$ $BC = 12,$ угол $C$ равен $90∘.$ Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

$ABC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABC11??62$

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:

2 2 2 AB = BC + AC .

Выразим $AB$ и подставим известные значения:

∘---2-----2 ∘ -2----2- AB = √BC--+-AC- =√--12 +16 = = 144+ 256 = 400= 20

Если вписанный угол равен $∘ 90 ,$ то он опирается на диаметр.

Угол $ACB$ вписанный и равен $90∘.$ Значит, угол $ACB$ опирается на диаметр, то есть $AB$ — диаметр.

Радиус окружности равен половине диаметра. Значит, радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ равен:

R = 1AB = 20 =10. 2 2

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#133443Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC =7,$ $BC = 24,$ угол $C$ равен $90∘.$ Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

$ABC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABC72??4$

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:

AB2 = BC2 + AC2.

Выразим $AB$ и подставим известные значения:

∘ ---------- ∘ ------- AB = BC2 + AC2 = 242+ 72 = = √576+-49= √625-= 25

Если вписанный угол равен $90∘,$ то он опирается на диаметр.

Угол $ACB$ вписанный и равен $∘ 90.$ Значит, угол $ACB$ опирается на диаметр, то есть $AB$ — диаметр.

Радиус окружности равен половине диаметра. Значит, радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ равен:

R = 1AB = 25 = 12,5. 2 2

Ответ: 12,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#133445Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 20,$ $BC = 21,$ угол $C$ равен $90∘.$ Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

$ABC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABC22??01$

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:

AB2 = BC2 + AC2.

Выразим $AB$ и подставим известные значения:

∘---------- ∘ -------- AB = BC2 + AC2 = 212 +202 = = √441-+-400-= √841= 29

Если вписанный угол равен $90∘,$ то он опирается на диаметр.

Угол $ACB$ вписанный и равен $∘ 90.$ Значит, угол $ACB$ опирается на диаметр, то есть $AB$ — диаметр.

Радиус окружности равен половине диаметра. Значит, радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ равен:

R = 1AB = 29 = 14,5. 2 2

Ответ: 14,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#133447Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 30,$ $BC = 16,$ угол $C$ равен $90∘.$ Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

$ABC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABC31??06$

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:

2 2 2 AB = BC + AC .

Выразим $AB$ и подставим известные значения:

∘---2-----2 ∘ -2----2- AB = √BC--+-AC =√ --16 +30 = = 256+ 900= 1156 = 34

Если вписанный угол равен $∘ 90 ,$ то он опирается на диаметр.

Угол $ACB$ вписанный и равен $90∘.$ Значит, угол $ACB$ опирается на диаметр, то есть $AB$ — диаметр.

Радиус окружности равен половине диаметра. Значит, радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ равен:

R = 1AB = 34 =17. 2 2

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#133449Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC =40,$ $BC = 9,$ угол $C$ равен $90∘.$ Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

$ABC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABC49??0$

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:

2 2 2 AB = BC + AC .

Выразим $AB$ и подставим известные значения:

∘ ---2----2- ∘ -2----2 AB = √-BC--+-AC √=--9-+ 40 = = 81 +1600= 1681 = 41

Если вписанный угол равен $∘ 90 ,$ то он опирается на диаметр.

Угол $ACB$ вписанный и равен $90∘.$ Значит, угол $ACB$ опирается на диаметр, то есть $AB$ — диаметр.

Радиус окружности равен половине диаметра. Значит, радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ равен:

R = 1AB = 41 = 20,5. 2 2

Ответ: 20,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#133450Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 40,$ $BC = 30,$ угол $C$ равен $90∘.$ Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

$ABC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABC43??00$

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:

2 2 2 AB = BC + AC .

Выразим $AB$ и подставим известные значения:

∘---2-----2 ∘ -2----2- AB =√ BC--+-AC- =√--30 +40 = = 900+ 1600 = 2500= 50

Если вписанный угол равен $∘ 90 ,$ то он опирается на диаметр.

Угол $ACB$ вписанный и равен $90∘.$ Значит, угол $ACB$ опирается на диаметр, то есть $AB$ — диаметр.

Радиус окружности равен половине диаметра. Значит, радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ равен:

R = 1AB = 50 =25. 2 2

Ответ: 25

01 Задачи №16 из банка ФИПИ → 01.14 №16. Тип 14