01 №16. Тип 20 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#57328Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $√ - 7 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию радиус окружности равен $√ - 7 3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√ - 7√3 = a--3 - 6 a√3= 7√ 3⋅6 a = 42.

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$6ha0∘$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

sin60∘ = h. a

Подставим табличное значение $√ - sin60∘ =--3 2$ и выразим высоту $h.$

√ - --3= h- 2 a a√3- h = 2 .

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

h a√3 r = 3-=-6-.

По условию радиус окружности равен $7√3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√ - a√3- 7 3= --6- √- √ - a 3= 7 3⋅6 a = 42.

Ответ: 42

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#98351Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $√ - 10 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 3

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию радиус окружности равен $√ - 10 3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√- 10√3 = a-3- - 6 a√ 3= 10√3⋅6 a = 60.

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$6ha0∘$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

sin60∘ = h. a

Подставим табличное значение $√ - sin60∘ =--3 2$ и выразим высоту $h.$

√ - --3= h- 2 a a√3- h = 2 .

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

h a√3 r = 3-=-6-.

По условию радиус окружности равен $10√3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√- a√3 10 3 = -6-- √ - √- a 3= 10 3⋅6 a = 60.

Ответ: 60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#116408Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $√ - 5 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию радиус окружности равен $√ - 5 3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√ - 5√3 = a--3 - 6 a√3= 5√ 3⋅6 a = 30.

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$6ha0∘$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

sin60∘ = h. a

Подставим табличное значение $√ - sin60∘ =--3 2$ и выразим высоту $h.$

√ - --3= h- 2 a a√3- h = 2 .

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

h a√3 r = 3-=-6-.

По условию радиус окружности равен $5√3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√ - a√3- 5 3= --6- √- √ - a 3= 5 3⋅6 a = 30.

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#123762Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $√ - 2 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию радиус окружности равен $√ - 2 3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√ - 2√3 = a--3 - 6 a√3= 2√ 3⋅6 a = 12.

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$6ha0∘$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

sin60∘ = h. a

Подставим табличное значение $√ - sin60∘ =--3 2$ и выразим высоту $h.$

√ - --3= h- 2 a a√3- h = 2 .

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

h a√3 r = 3-=-6-.

По условию радиус окружности равен $2√3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√ - a√3- 2 3= --6- √- √ - a 3= 2 3⋅6 a = 12.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#123763Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $√ - 4 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию радиус окружности равен $√ - 4 3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√ - 4√3 = a--3 - 6 a√3= 4√ 3⋅6 a = 24.

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$6ha0∘$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

sin60∘ = h. a

Подставим табличное значение $√ - sin60∘ =--3 2$ и выразим высоту $h.$

√ - --3= h- 2 a a√3- h = 2 .

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

h a√3 r = 3-=-6-.

По условию радиус окружности равен $4√3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√ - a√3- 4 3= --6- √- √ - a 3= 4 3⋅6 a = 24.

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#133480Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $√ - 8 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию радиус окружности равен $√ - 8 3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√ - 8√3 = a--3 - 6 a√3= 8√ 3⋅6 a = 48.

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$6ha0∘$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

sin60∘ = h. a

Подставим табличное значение $√ - sin60∘ =--3 2$ и выразим высоту $h.$

√ - --3= h- 2 a a√3- h = 2 .

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

h a√3 r = 3-=-6-.

По условию радиус окружности равен $8√3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√ - a√3- 8 3= --6- √- √ - a 3= 8 3⋅6 a = 48.

Ответ: 48

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#133481Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $√ - 11 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию радиус окружности равен $√ - 11 3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√- 11√3 = a-3- - 6 a√ 3= 11√3⋅6 a = 66.

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$6ha0∘$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

sin60∘ = h. a

Подставим табличное значение $√ - sin60∘ =--3 2$ и выразим высоту $h.$

√ - --3= h- 2 a a√3- h = 2 .

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

h a√3 r = 3-=-6-.

По условию радиус окружности равен $11√3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√- a√3 11 3 = -6-- √ - √- a 3= 11 3⋅6 a = 66.

Ответ: 66

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#133482Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $√ - 3 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию радиус окружности равен $√ - 3 3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√ - 3√3 = a--3 - 6 a√3= 3√ 3⋅6 a = 18.

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$6ha0∘$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

sin60∘ = h. a

Подставим табличное значение $√ - sin60∘ =--3 2$ и выразим высоту $h.$

√ - --3= h- 2 a a√3- h = 2 .

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

h a√3 r = 3-=-6-.

По условию радиус окружности равен $3√3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√ - a√3- 3 3= --6- √- √ - a 3= 3 3⋅6 a = 18.

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#133483Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $√ - 6 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию радиус окружности равен $√ - 6 3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√ - 6√3 = a--3 - 6 a√3= 6√ 3⋅6 a = 36.

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$6ha0∘$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

sin60∘ = h. a

Подставим табличное значение $√ - sin60∘ =--3 2$ и выразим высоту $h.$

√ - --3= h- 2 a a√3- h = 2 .

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

h a√3 r = 3-=-6-.

По условию радиус окружности равен $6√3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√ - a√3- 6 3= --6- √- √ - a 3= 6 3⋅6 a = 36.

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#133484Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $√ - 9 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию радиус окружности равен $√ - 9 3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√ - 9√3 = a--3 - 6 a√3= 9√ 3⋅6 a = 54.

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$6ha0∘$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

sin60∘ = h. a

Подставим табличное значение $√ - sin60∘ =--3 2$ и выразим высоту $h.$

√ - --3= h- 2 a a√3- h = 2 .

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

h a√3 r = 3-=-6-.

По условию радиус окружности равен $9√3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√ - a√3- 9 3= --6- √- √ - a 3= 9 3⋅6 a = 54.

Ответ: 54

01 Задачи №16 из банка ФИПИ → 01.20 №16. Тип 20